备考2024届高考数学一轮复习讲义第四章三角函数第4讲简单的三角恒等变换

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命题点1 三角函数式的化简
例1 （1）[2021全国卷甲]若α∈（0，π2），tan 2α＝csα2－sinα，则tan α＝（ A ）
A.1515B.55C.53D.153
解析 因为tan 2α＝sin2αcs2α＝2sinαcsα1－2sin2α，且tan 2α＝csα2－sinα，所以2sinαcsα1－2sin2α＝csα2－sinα，由α∈（0，π2）得cs α≠0，解得sin α＝14，cs α＝154，tan α＝sinαcsα＝1515.故选A.
（2）化简：2cs2α－12tan（π4－α）sin2（π4＋α）＝ 1 .
解析 原式＝cs2α2tan（π4－α）cs2（π4－α）＝cs2α2sin（π4－α）cs（π4－α）＝cs2αsin（π2－2α）＝cs2αcs2α＝1.
方法技巧
化简三角函数式的方法与技巧
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构特征.
2.化简时要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子与三角函数公式间的联系，找到变形方向.
训练1 [2021新高考卷Ⅰ]若tan θ＝－2，则sinθ（1+sin2θ）sinθ＋csθ＝（ C ）
A.－65B.－25C.25D.65
解析 解法一 因为tan θ＝－2，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋csθ＝sinθ（sinθ＋csθ）2sinθ＋csθ＝sin θ（sin θ＋
cs θ）＝sin2θ＋sinθcsθsin2θ＋cs2θ＝tan2θ＋tanθtan2θ+1＝4－24+1＝25.故选C.
解法二 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以sinθ＝25，csθ＝－15或sinθ＝－25，csθ＝15，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋csθ＝sinθ（sinθ＋csθ）2sinθ＋csθ＝sin θ（sin θ＋
cs θ）＝sin2θ＋sin θcsθ＝45－25＝25.故选C.
命题点2 三角函数式的求值
角度1 给角求值
例2 （1）sin 50°（1＋3tan 10°）＝ 1 .
解析 sin 50°（1＋3tan 10°）＝sin 50°（1＋tan 60°tan 10°）＝
sin 50°×cs60°cs10°＋sin60°sin10°cs60°cs10°＝sin 50°×cs（60°－10°）cs60°cs10°＝2sin50°cs50°cs10°＝sin100°cs10°＝cs10°cs10°＝1.
（2）sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝ 116 .
解析 原式＝12cs 20°·cs 40°·cs 80°＝sin20°·cs20°·cs40°·cs80°2sin20°＝sin160°16sin20°＝116.
方法技巧
给角求值问题的解题策略
一般给出的角都是非特殊角，求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，然后进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用及变形化简求值.
注意 当式子中出现12，1，32，3等数时，要考虑引入特殊角，通过“值变角”化简计算.
角度2 给值求值
例3 （1）[2022浙江高考]若3sin α－sin β＝10，α＋ β＝π2，则sin α＝ 31010 ，cs 2 β＝ 45 .
解析 因为α＋ β＝π2，所以 β＝π2－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin（π2－α）＝3sin α－cs α＝10sin（α－φ）＝10，其中sin φ＝1010，cs φ＝31010，所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin（π2＋φ＋2kπ）＝cs φ＝31010，k∈Z.因为sin β＝3sin α－10＝－1010，所以cs 2 β＝1－2sin2 β＝1－15＝45.
（2）[江苏高考]已知tanαtan（α＋π4）＝－23，则sin（2α＋π4）的值是 210 .
解析 解法一 tanαtan（α＋π4）＝tanαtanα+11－tanα＝tanα（1－tanα）tanα+1＝－23，解得tan α＝2或tan α＝－13.
当tan α＝2时，sin 2α＝2sinαcsαsin2α＋cs2α＝2tanαtan2α+1＝45，cs 2α＝cs2α－sin2αsin2α＋cs2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此时sin 2α＋cs 2α＝15.同理当tan α＝－13时，sin 2α＝－35，cs 2α＝45，此时sin 2α＋cs 2α＝15，所以sin（2α＋π4）＝22（sin 2α＋cs 2α）＝210.
解法二 tanαtan（α＋π4）＝sinαcs（α＋π4）csαsin（α＋π4）＝－23，则sin αcs（α＋π4）＝－23cs αsin（α＋π4），又22＝sin[（α＋π4）－α]＝sin（α＋π4）cs α－cs（α＋π4）·sin α＝53sin（α＋π4）cs α，则sin（α＋π4）cs α＝3210，则sin（2α＋π4）＝sin[（α＋π4）＋α]＝sin（α＋π4）cs α＋cs（α＋π4）sin α＝13sin（α＋π4）·cs α＝13×3210＝210.
方法技巧
给值求值问题的解题策略
1.将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据已知条件和角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.把已知角与未知角建立联系求解.求解时要注意，角的范围不确定时应分类讨论.
角度3 给值求角
例4 （1）若sin 2α＝55，sin（ β－α）＝1010，且α∈[π4，π]， β∈[π，3π2]，则α＋ β的值是（ A ）
A.7π4B.9π4
C.5π4或7π4D.5π4或9π4
解析 因为α∈[π4，π]，所以2α∈[π2，2π].又sin 2α＝55，所以2α∈（π2，π），α∈（π4，π2），所以cs 2α＝－1－sin22α＝－255.因为 β∈[π，3π2]，所以α＋ β∈（54π，2π）， β－α∈（π2，5π4），所以cs（ β－α）＝－1－sin2（β－α）＝－31010，所以cs（α＋ β）＝cs[2α＋（ β－α）]＝cs 2αcs（ β－α）－sin 2α·sin（ β－α）＝－255×（－31010）－55×1010＝22.又α＋ β∈（5π4，2π），所以α＋ β＝7π4.
（2）已知α， β为锐角，且（1－3tan α）（1－3tan β）＝4，则α＋ β＝ 2π3 .
解析 将（1－3tan α）（1－3tan β）＝4展开，得－3（tan α＋tan β）＝3（1－
tan α·tan β），即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan（α＋ β）＝－3，由于α， β为锐角，所以0＜α＋ β＜π，故α＋ β＝2π3.
方法技巧
给值求角问题的解题策略
1.给值求角问题可转化为给值求值问题，通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则.
（1）已知正切函数值，选正切函数.
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0，π2），选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数较好；若角的范围为（－π2，π2），选正弦函数较好.
注意 所选函数尽量在确定的角的范围内单调，即一个函数值只对应一个角，避免产生多解.
2.准确缩小角的范围也是求解的关键.常见的缩小角范围的方法：一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质（如“同向可加性”）求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围.
训练2 （1）[2024湖南省长沙市第一中学模拟]已知0＜ β＜α＜π2，且cs（α－ β）＝1213，cs 2 β＝35，则cs（α＋ β）＝（ A ）
A.1665B.3365C.5665D.6365
解析 由0＜ β＜α＜π2，得0＜α－ β＜π2，又cs（α－ β）＝1213，所以sin（α－ β）＝1－（1213）2＝513，因为0＜2 β＜π，cs 2 β＝35，所以sin 2 β＝1－（35）2＝45，所以
cs（α＋ β）＝cs[（α－ β）＋2 β]＝cs（α－ β）cs 2 β－sin（α－ β）sin 2 β＝1213×35－513×45＝1665.故选A.
（2）[2024 河南省南阳市第一中学质量评估]已知tan α＝17，sin β＝1010，α， β∈（0，π2），则α＋2 β＝ π4 .
解析 因为tan α＝17，α是锐角，所以0＜α＜π4，因为sin β＝1010， β为锐角，所以0＜ β＜π4，0＜α＋2 β＜3π4，因为sin β＝1010，所以cs β＝31010，tan β＝13，则tan 2 β＝2tanβ1－tan2β＝2×131－（13）2＝34，tan（α＋2 β）＝tanα＋tan2β1－tanαtan2β＝17＋341－17×34＝1，故α＋2 β＝π4.
（3）（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝ 2 .
解析 由题意知，（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°.因为tan 20°＋tan 25°＝tan 45°（1－tan 20°tan 25°）＝1－tan 20°tan 25°，所以（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
能运用和、差、倍角公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.
三角函数式的化简
2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9
本讲每年必考，主要考查利用三角函数的基本关系、诱导公式以及和、差、倍角公式进行化简求值.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.
三角函数式的求值
2022浙江T13；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10