备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第5讲解三角形应用举例

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测量中的常用术语
1.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B与树所在的直线在同一平面内），从A，B两点测得树尖P的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为（ A ）
A.（30＋303）mB.（30＋153）m
C.（15＋303）mD.（15＋33）m
解析 解法一 在△ABP中，由正弦定理可得60sin（45°－30°）＝PBsin30°，则PB＝60×12sin15°＝30（6＋2）.
设树的高度为h m，则h＝PBsin 45°＝30＋303.
解法二 设树的高度为h m，则AB＝htan30°－htan45°＝60，解得h＝30＋303.
2.[易错题]两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（ B ）
A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°
解析 灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故选B.
3.[教材改编]已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为3 km，则A，B两船的距离为（ A ）
A.13 kmB.15 kmC.23 kmD.32 km
解析 画出图形如图所示，由题意可得∠ACB＝（90°－25°）＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝3，在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs 150°＝13，所以AB＝13，即A，B两船的距离为13 km.
研透高考 明确方向
命题点 余弦定理、正弦定理应用举例
角度1 距离问题
例1 [2023合肥市二检]如图，某地需要经过一座山两侧的D，E两点修建一条穿山隧道.工程人员先选取直线DE上的三点A，B，C，在隧道DE正上方的山顶P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为45°，C处的俯角为30°，且测得AB＝1.4 km，BD＝0.2 km，CE＝0.5 km，则拟修建的隧道DE的长为 0.7km .
解析 由题意知，∠PAB＝15°，∠PBC＝45°，∠PCB＝30°，所以∠APB＝∠PBC－∠PAB＝30°，∠BPC＝180°－∠PBC－∠PCB＝105°，在△PAB中，由正弦定理得ABsin∠APB＝PBsin∠PAB，则1.4sin30°＝PBsin15°，所以PB＝2.8sin 15°（km）.
在△PBC中，由正弦定理得PBsin∠PCB＝BCsin∠BPC，则PBsin30°＝BCsin105°，所以BC＝PBsin30°×sin 105°＝2PB×sin 105°＝5.6sin 15°·sin 105°＝5.6sin 15°cs 15°＝2.8sin 30°＝1.4（km），所以DE＝BC－BD－EC＝1.4－0.2－0.5＝0.7（km），
即拟修建的隧道DE的长为0.7 km.
角度2 高度问题
例2 [2021全国卷甲]2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86 （单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'－CC'约为（3≈1.732）（ B ）
A.346B.373C.446D.473
解析 如图所示，根据题意过C作CE∥C'B'，交BB'于E，过B作BD∥A'B'，交AA'于D，则BE＝100，C'B'＝CE＝100tan15°.
在△A'C'B'中，∠C'A'B'＝75°，则BD＝A'B'＝C'B'×sin45°sin75°.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝C'B'×sin45°sin75°，所以高度差AA'－CC'＝AD＋BE＝C'B'×sin45°sin75°＋100＝100tan15°×sin45°sin75°＋100＝100sin45°sin15°＋100＝100×226－24＋100＝100（3＋1）＋100≈373.故选B.
角度3 角度问题
例3 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cs θ＝ 2114 .
解析 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs 120°＝2 800，所以BC＝207.
由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.
由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cs∠ACB＝277，从而cs θ＝cs（∠ACB＋30°）＝cs∠ACBcs 30°－sin∠ACBsin 30°＝277×32－217×12＝2114.
方法技巧
1.解三角形实际问题的一般求解步骤
（1）分析.理解题意，分析已知与未知，画出示意图.
（2）建模.根据已知条件与求解目标，把已知量与所求量尽量集中在相关的三角形中，建立一个解三角形的模型.
（3）求解.利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.
（4）检验.检验上述所求出的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.
2.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一类是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.
训练（1）如图，为测量某塔的高度CD，在点A测得塔底在北偏东60°方向的点D处，塔顶C的仰角为30°.在点A的正东方向且距离D点50 m的B点测得塔底在北偏西45°方向，则塔的高度CD约为（参考数据：6≈2.4）（ C ）
A.30 mB.35 mC.40 mD.45 m
解析 由题意知，BD＝50 m，∠DAB＝∠DAC＝30°，∠DBA＝45°，在△ABD中，由正弦定理得ADsin45°＝50sin30°，则AD＝502 m，所以tan∠DAC＝CDAD＝CD502＝33，得CD＝5063≈
40（m），故塔的高度CD约为40 m.故选C.
（2）[多选]一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为123海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则下列结论正确的有（ ABD ）
A.AD＝24海里
B.CD＝12海里
C.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°
D.∠CDA＝60°
解析 如图，由题意得∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，AB＝126海里，AC＝123海里，在△ABD中，易得B＝45°，由正弦定理得ADsin45°＝ABsin60°，则AD＝126×2232＝24（海里），故A正确.在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cs 30°，得CD2＝（123）2＋242－2×123×24×32＝144，所以CD＝12海里，故B正确.在△ACD中，由正弦定理得CDsin30°＝ACsin∠CDA，得sin∠CDA＝12×12312＝32，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因为AD＞AC，所以∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，故C错误，D正确.故选ABD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
余弦定理、正弦
定理应用举例
2021全国卷乙T9；
2021全国卷甲T8
本讲知识单一，主要考查利用正、余弦定理求解距离、高度、角度问题，对数学建模能力的要求较高，一般以选择题形式出现，难度中等.在2025年高考的备考中要提升阅读理解能力，要能够从文字信息中提取出解三角形的模型.
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与
俯角
在竖直平面内的目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线① 上方 的叫做仰角，目标视线在水平视线② 下方 的叫做俯角.
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0≤θ＜2π.
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α.
北偏东α 南偏西α
坡角与
坡度
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角.坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫坡度.
设坡角为α，坡度为i，则i＝hl＝tan α.