备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第6讲复数

这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第6讲复数，共7页。
2.复数的几何意义
思维拓展
（1）r1≤｜z｜≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；
（2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆.
3.复数的四则运算
（1）复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.
（2）复数的运算律
对任意的z1，z2，z3∈C：
（3）复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行
若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数；复数z1－z2是OZ1－OZ2＝Z2Z1所对应的复数.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.复数z＝a－bi（a，b∈R）中，虚部为b
B.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小
C.已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数
D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
2.[2023南京市六校联考]复数z＝1+i1+2i（i为虚数单位），则｜z｜＝（ D ）
A.25B.23C.103D.105
解析 解法一 z＝1+i1+2i＝（1+i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝3－i5＝35－15i，所以｜z｜＝（35）2＋（－15）2＝105，故选D.
解法二 ｜z｜＝｜1+i1+2i｜＝｜1+i｜｜1+2i｜＝12＋1212＋22＝25＝105，故选D.
3.[2021新高考卷Ⅰ]已知z＝2－i，则z（z＋i）＝（ C ）
A.6－2iB.4－2iC.6＋2iD.4＋2i
解析 因为z＝2－i，所以z（z＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝6＋2i，故选C.
4.[2023合肥市二检]设i是虚数单位，复数z＝2i1－i，则在复平面内z所对应的点位于（ B ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为z＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1＋i，所以在复平面内z所对应的点为（－1，1），位于第二象限.故选B.
研透高考 明确方向
命题点1 复数的概念
例1 （1）[全国卷Ⅲ]复数11－3i的虚部是（ D ）
A.－310B.－110C.110D.310
解析 11－3i＝1+3i（1+3i)(1－3i）＝1+3i10＝110＋310i，所以复数的虚部为310.故选D.
（2）[2023全国卷甲]设a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，则a＝（ C ）
A.－2B.－1
C.1D.2
解析 ∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.
（3）[2022全国卷甲]若z＝1＋i，则｜iz＋3z｜＝（ D ）
A.45B.42
C.25D.22
解析 因为z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22＋（－2）2＝22.故选D.
方法技巧
1.求解与复数有关概念问题的技巧：将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，然后根据复数的有关概念求解即可.
2.若两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.
3.复数的概念中的常用性质
（1）z1±z2＝z1±z2；z1·z2＝z1·z2；（z1z2）＝z1z2（z2≠0）.
（2）｜z｜＝｜z｜，｜z2｜＝｜z｜2＝z·z，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜z1z2｜＝｜z1｜｜z2｜.
训练1 （1）[2023全国卷乙]设z＝2+i1+i2＋i5，则z＝（ B ）
A.1－2iB.1＋2i
C.2－iD.2＋i
解析 z＝2+i1+i2＋i5＝2+i1－1+i＝－i（2+i）－i2＝1－2i，所以z＝1＋2i，故选B.
（2）[2022全国卷乙]已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b为实数，则（ A ）
A.a＝1，b＝－2B.a＝－1，b＝2
C.a＝1，b＝2D.a＝－1，b＝－2
解析 由题意知z－＝1＋2i，所以z＋az－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a＋b+1=0，2a－2=0，解得a=1，b＝－2，故选A.
（3）[2023武汉市5月模拟]设复数z满足z－1z+1为纯虚数，则｜z｜＝（ A ）
A.1B.2C.3D.2
解析 因为z－1z+1为纯虚数，所以可设z－1z+1＝bi（b≠0），则z＝1+bi1－bi.
解法一 因为z＝（1+bi）2（1－bi)(1+bi）＝1－b21+b2＋2b1+b2i，所以｜z｜＝（1－b2）2（1+b2）2＋（2b）2（1+b2）2＝1+2b2＋b4（1+b2）2＝1，故选A.
解法二 ｜z｜＝｜1+bi1－bi｜＝｜1+bi｜｜1－bi｜＝1+b21+(－b）2＝1，故选A.
命题点2 复数的运算
例2 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知z＝1－i2+2i，则z－z＝（ A ）
A.－iB.i
C.0D.1
解析 因为z＝1－i2+2i＝（1－i）22（1+i)(1－i）＝－12i，
所以z＝12i，所以z－z＝－12i－12i＝－i.
故选A.
（2）[2022全国卷甲]若z＝－1＋3i，则zzz－1＝（ C ）
A.－1＋3iB.－1－3i
C.－13＋33iD.－13－33i
解析 zzz－1＝－1+3i（－1+3i)(－1－3i）－1＝－1+3i3＝－13＋33i.故选C.
方法技巧
1.复数运算的解题策略
（1）复数的加法、减法、乘法运算类比多项式的运算.
（2）复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共轭复数，即分母实数化.
2.复数运算中的常用结论
（1）（1±i）2＝±2i，1+i1－i＝i，1－i1+i＝－i.
（2）a＋bii＝b－ai.
（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.
训练2 （1）[2022新高考卷Ⅰ]若i（1－z）＝1，则z＋z＝（ D ）
A.－2B.－1
C.1D.2
解析 因为i（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选D.
（2）[2023重庆二调]已知复数z满足z＋3＝4z＋5i，i是虚数单位，则z2＝（ B ）
A.－2iB.2i
C.1＋iD.1－i
解析 令z＝a＋bi（a，b∈R），则a＋bi＋3＝4a－4bi＋5i，即3a－3＋（5－5b）i＝0，
∴3a－3＝0，5－5b＝0，解得a＝1，b＝1，
∴z＝1＋i，∴z2＝2i.故选B.
命题点3 复数的几何意义
例3 （1）[2023新高考卷Ⅱ]在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（ A ）
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
解析 因为（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为（6，8），位于第一象限，故选A.
（2）[全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满足｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，则｜z1－z2｜＝ 23 .
解析 如图所示，设复平面内复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，O为原点，则OP＝OZ1＋OZ2.
由题知｜OP｜＝3+1＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠OZ2Z1＝30°，｜Z1Z2｜＝2｜OZ2｜·cs 30°＝23，所以｜z1－z2｜＝｜Z1Z2｜＝23.
方法技巧
1.根据复数、点、向量之间的一一对应关系，把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时运用数形结合的方法，可以更加直观地解决问题.
2.思维拓展
｜z－z0｜表示在复平面内复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离；｜z－z0｜＝r（r＞0）表示在复平面内复数z对应的点在以复数z0对应的点为圆心、r为半径的圆上；｜z－z1｜＝｜z－z2｜表示在复平面内复数z对应的点在复数z1，z2对应点所连线段的垂直平分线上.
训练3 （1）[2023湖北十一校联考]复数z满足｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，则｜z｜＝（ C ）
A.10B.13
C.32D.5
解析 解法一 由｜z－5｜＝｜z－1｜，得复数z对应的点到点（5，0）和到点（1，0）的距离相等，所以复数z对应的点在直线x＝3上；由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得复数z对应的点到点（1，0）和到点（0，－1）的距离相等，所以复数z对应的点在直线y＝－x上.因为直线x＝3和直线y＝－x的交点为（3，－3），所以z＝3－3i，所以｜z｜＝32＋（－3）2＝32，故选C.
解法二 设z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，得｜a－5＋bi｜＝｜a－1＋bi｜＝｜a＋（b＋1）i｜，得（a－5）2＋b2＝（a－1）2＋b2，（a－1）2＋b2＝a2＋（b+1）2，解得a=3，b＝－3，则｜z｜＝a2＋b2＝32.
（2）[多选/2023石家庄市三检]已知复数z1＝1＋2i，复数z满足｜z－z1｜＝2，则下列说法正确的有（ AD ）
A.z1·z1＝5
B.5－2＜｜z｜＜5＋2
C.复数z1在复平面内所对应的点为（－1，2）
D.若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则（x－1）2＋（y－2）2＝4
解析 因为复数z1＝1＋2i，所以z1＝1－2i，其在复平面内所对应的点为（1，－2），所以选项C错误；z1·z1＝（1＋2i）（1－2i）＝5，所以选项A正确；若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则可设复数z＝x＋yi，由｜z－z1｜＝2得，｜（x－1）＋（y－2）i｜＝2，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以选项D正确；由D选项的分析知，若设复数z在复平面内对应的点为Z（x，y），则｜z｜＝x2＋y2，其几何意义为圆（x－1）2＋（y－2）2＝4上任意一点到原点的距离，圆心（1，2）到原点的距离为5，半径为2，所以5－2≤｜z｜≤5＋2，所以选项B错误.综上，选AD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.通过方程的解，认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
复数的概念
2023全国卷乙T1；2023全国卷甲T2；2022全国卷乙T2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022浙江T2；2021全国卷甲T3；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅠT1；2020全国卷ⅢT2；2019全国卷ⅡT2
本讲每年必考，主要考查复数的有关概念和运算，复数的几何意义，一般以选择题的形式出现，属于送分题.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要注意对复数几何意义的理解和应用.
复数的运算
2023新高考卷ⅠT2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022新高考卷ⅡT2；2021新高考卷ⅠT2；2021新高考卷ⅡT1；2021全国卷乙T1；2021全国卷甲T3；2020新高考卷ⅡT2；2019全国卷ⅢT2
复数的几何意义
2023新高考卷ⅡT1；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅡT15；2020北京T2；2019全国卷ⅠT2；2019全国卷ⅡT2
名称
含义
复数的定义
形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中实部为① a ，虚部为② b ，i为虚数单位且i2＝③ －1 .
复数分类
a＋bi为实数⇔b＝0；a＋bi为虚数⇔b≠0；a＋bi为纯虚数⇔④ a＝0且b≠0 （a，b∈R）.
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.
注意 实数能比较大小，虚数不能比较大小.
共轭复数
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔⑤ a＝c且b＝－d （a，b，c，d∈R）.
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做⑥ 实轴 ，y轴叫做⑦ 虚轴 .
说明 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数.
复数的模
设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝⑧ a2＋b2 .
运算法则
运算形式
加法
z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝⑨ （a＋c）＋（b＋d）i .
减法
z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝⑩ （a－c）＋（b－d）i .
乘法
z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝⑪ （ac－bd）＋（ad＋bc）i .
除法
z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi)(c－di）（c＋di)(c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i（c＋di≠0）.
加法运算律
交换律：z1＋z2＝⑫ z2＋z1 .结合律：（z1＋z2）＋z3＝⑬ z1＋（z2＋z3） .
乘法运算律
交换律：z1z2＝z2z1.结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）.分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.