山东省济南市莱芜区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省济南市莱芜区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中， y 随 x 的增大而增大的函数有（ ）
A．y=−3x−2B．y=−3x (x<0)
C．y=3x2D．y=−2x
2．某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是( )
A．买1张这种彩票一定不会中奖
B．买1张这种彩票一定会中奖
C．买100张这种彩票一定会中奖
D．当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%
3．如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为（ ）
A．11米B．（36﹣15 3 ）米
C．15 3 米D．（36﹣10 3 ）米
5．如图，四边形 ABCD 是半圆的内接四边形， AB 是直径， DC=CB .若 ∠C=110° ，则 ∠ABC 的度数等于（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（ ）
A．（3，4）B．（1，2）C．（3，2）D．（1，4）
7．某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1： 3 的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4 2 米，那么新传送带AC的长是（ ）
A．8米B．4米C．6米D．3米
8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为（ ）
A．5B．532C．5 2D．5 3
9．如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C ，若 AC=BC=2 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π4B．12+π4C．π2D．12+π2
10．工人师傅用一张半径为24cm，圆心角为150°的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）cm．
A．119B．2119C．46D．12119
11．一次函数 y=−ax+a 与反比例函数 y=ax (a≠0) 在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
12．在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象如图所示，现给出以下结论：
①abc<0 ；②c+2a<0 ；③9a−3b+c=0 ；④a−b≥m (am+b) （ m 为实数）；⑤4ac−b2<0 ．
其中正确结论的个数有（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
13．如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于 米．
14．二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2+bx=0的根是 ．
15．从 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任取两个不同的数，分别记为 a 和 b ，则 a2+b2>19 的概率是 ．
16．如图，矩形 ABCD 的两边 AD，AB 的长分别为 3，8 ， E 是 DC 的中点，反比例函数 y=mx 的图象经过点 E ，与 AB 交于点 F ，若 AF−AE=2 ，则 m 的值为 ．
17．如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 23 ，分别以点A， D 为圆心，以 AB ， DC 为半径作扇形 ABF ，扇形 DCE ．则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留根号和 π ）
三、解答题
18．计算： 12+(sin60°−2021)0−(−13)−2−4cs30° ．
19．某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为 a ， b ， c ，并且设置了相应的垃圾箱，“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱和“其他垃圾”箱，分别记为 A ， B ， C ．若将三类垃圾随机投入三类垃圾箱，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率．
20．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．
备用数据： 3≈1.7 ， 2≈1.4 ．
21．如图，已知反比例函数 y1=kx 与一次函数 y2=ax+b 交于点 A(−4，1) 和点 B(m，−4) ．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求线段 AB 的长；
（3）直接写出当 y1>y2 时 x 的取值范围．
22．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）.设这种双肩包每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少.
23．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， D 为 AB 的中点，以 CD 为直径的 ⊙O 分别交 AC ， BC 于点 E ， F 两点，过点 F 作 FG⊥AB 于点 G ．
（1）试判断 FG 与 ⊙O 的位置关系，并说明理由．
（2）若 AC=6 ， CD=5 ，求 FG 的长．
24．如图，抛物线 y=ax2+bx+c (a≠0) 经过点 A(−4，0) 、 B(2，0) ，交 y 轴于点 C(0，−83) ． D 为抛物线在第三象限部分上的一点，作 DE⊥x 轴于点 E ，交线段 AC 于点 F ，连接 AD ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段 DF 长度的最大值，并求此时点 D 的坐标；
（3）若线段 AF 把 △ADE 分成面积比为 1：2 的两部分，求此时点 E 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】A. y=−3x−2 ， ∵k=−3<0 ， y 随 x 的增大而减小，故A选项不符合题意；
B. y=−3x (x<0) ， ∵k=−3<0 ， x<0 ， y=−3x 的图像位于第二象限， y 随 x 的增大而增大，故B选项符合题意；
C. y=3x2 ， ∵a=3>0 ，对称轴为 y 轴，在对称轴的左边， y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边， y 随 x 的增大而增大，故C选项不符合题意；
D. y=−2x ， ∵k=−2<0 ， y 随 x 的增大而减小，故D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据 y 随 x 的增大而增大 ，对每个选项一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】可能性的大小
【解析】【分析】由某种彩票的中奖机会是1%，即可得中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】A、因为中奖机会是1%，就是说中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生，故本选项错误；
B、买1张这种彩票中奖的概率是1%，即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错误；
C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D、当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%，故本选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了概率的意义．此题难度不大，注意概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生，注意概率是大量实验出现时，频数的一个稳定的数值
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】从左边看是等长的上下两个矩形，上边的矩形小，下边的矩形大，两矩形的公共边是虚线
故答案为：D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD，交BD于点E，
在Rt△ABE中，AE＝30米，∠BAE＝30°，
∴BE＝30×tan30°＝10 3 （米），
∴AC＝ED＝BD﹣BE＝（36﹣10 3 ）（米）．
∴甲楼高为（36﹣10 3 ）米．
故答案为：D．
【分析】先求出BE＝30×tan30°＝10 3 （米），再求出AC的值即可。
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵DC=CB ，
∴∠CAB= 12 ∠DAB=35°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°。
故答案为：A。
【分析】连接AC，根据圆内接四边形的对角互补得出∠DAB=180°-∠C=70°，根据等弧所对的圆周角相等得出∠CAB= 12 ∠DAB=35°，根据直径所对的圆周角等于90°得出∠ACB=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余即可算出答案。
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），
∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x﹣1）2，
∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4），
故选：A．
【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点A′的坐标．
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4 2 ，
∴AD=BD=ABsin45°=4 2 × 22 =4，
∵坡度i=1： 3 ，
∴ADDC = 4DC = 13
则DC=4 3 ，
∴AC= AD2+DC2 =8（m）．
故答案为：A.
【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理
【解析】【解答】连接OA、OB、OP，
∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°
∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cs30°•PB= 32 ×5= 532 ，∴AP=2PD= 53 ，
故答案为：D．
【分析】先求出∠PAB=∠APB=30°，再求出∠OBP=∠OBA=60°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
9．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB 为直径，
∴∠ACB=90° ，
∵AC=BC=2 ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2AC=2 ，则OA=OB=1，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都为等腰直角三角形，
∴S△AOC=S△BOC ，
∴S阴影=S扇形AOC=90⋅π×12360=π4 ；
故答案为：A．
【分析】先求出△ABC是等腰直角三角形，再求出S△AOC=S△BOC ，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
10．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由题意可得圆锥的母线长为：24cm，
设圆锥底面圆的半径为r，则2πr= 150π×24180 ，
解得：r=10，
故这个圆锥的高为： 242−102=2119 （cm）．
故答案为：B．
【分析】先求出2πr= 150π×24180 ，再求出r=10，最后利用勾股定理计算求解即可。
11．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A、由函数 y=−ax+a 的图象可知-a>0，a>0，由函数 y=ax (a≠0) 的图象可知a>0，相矛盾，故A不符合题意；
B、由函数 y=−ax+a 的图象可知-a<0， a>0，由函数 y=ax (a≠0) 的图象可知a<0，相矛盾，故B不符合题意；
C、由函数 y=−ax+a 的图象可知-a<0，a<0，由函数 y=ax (a≠0) 的图象可知a>0，相矛盾，故C不符合题意；
D、由函数 y=−ax+a 的图象可知-a>0， a<0，由函数 y=ax (a≠0) 的图象可知a<0，相一致，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据 一次函数 y=−ax+a 与反比例函数 y=ax (a≠0) 的图象与性质，对每个选项一一判断即可。
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】①：由抛物线可知：a>0，c<0，对称轴 x=−b2a=−1<0 ，
∴b>0
∴abc<0，故①符合题意；
②由对称轴 x=−b2a=−1 ，
∴b=2a
∵x=1时，y=a+b+c=0，
∴a+2a+c=0，即c+3a=0，
∴c=-3a，
∴c+2a=-3a+2a=-a<0，故②符合题意；
③（1，0）关于x=-1的对称点为（-3，0）
∴x=-3时，y=9a-3b+c=0，故③符合题意；
④当x=-1时，y有最小值为a-b+c，
∴x=m时，y=am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a-b+c，即a-b≤m（am+b），故④不符合题意
⑤∵抛物线与x轴有两个交点
∴Δ>0 ，即b2-4ac>0，
∴4ac-b2<0，故⑤符合题意；
综上所知①②③⑤符合题意，有4个．
故答案为：C．
【分析】根据 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象与性质一一判断即可。
13．【答案】10
【知识点】平行投影
【解析】【解答】如图所示，
作DH⊥AB与H，则DH=BC=8 m，
CD=BH=2 m，根据题意得∠ ADH = 45°，所以△ADH为等腰直角三角形，
所以AH=DH=8 m，所以AB=AH+BH=8+2=10 m.
所以本题的正确答案应为10米.
【分析】先求出△ADH为等腰直角三角形，再求出AH=DH=8 m，最后计算求解即可。
14．【答案】x=0或x=2
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵y=ax2+bx+3 经过点A（-1，0），B（3，0）
∴a−b+3=09a+3b+3=0 ，解得 a=−1b=2
∴ax2+bx=0 即为 −x2+2x=0
解得： x=0 或 x=2
故答案为：x=0或x=2．
【分析】先求出a−b+3=09a+3b+3=0，再求出a=−1b=2，最后计算求解即可。
15．【答案】13
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵要从1、2、3、4中取2个数
∴一共有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）这6种情况、
∵12+22=5 ， 12+32=10 ， 12+42=17 ， 22+32=13 ， 22+42=20 ， 32+42=25
∴a2+b2>19 的结果有2种
∴a2+b2>19 的概率 =26=13
故答案为： 13 .
【分析】先求出一共有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）这6种情况，再求出a2+b2>19 的结果有2种，最后求概率即可。
16．【答案】-4
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】∵AD，AB 的长分别为 3，8 ， E 是 DC 的中点
∴DE=4 ，
根据勾股定理可得 AE=5 ，
∵AF−AE=2 ，
∴AF=7 ，
∴BF=AB-AF=8=7=1．
设E点的坐标为 (a，4) ，则点F的坐标为 (a−3，1) ，
∵E、F都在 y=mx 上，
∴4a=a−3 ，
解得 a=−1 ，
∴E(−1，4) ，
∴m=−4 ．
故答案为-4．
【分析】先求出AF=7 ，再求出a=−1 ，最后求出m的值即可。
17．【答案】183−8π
【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为 23 ，
∴正六边形ABCDEF的面积是：
23×(23sin60°)2×6=3×23×32×6=183 ，
∵∠FAB=∠EDC=120°，
∴图中阴影部分的面积是：
183−120×π×(23)2360×2=183−8π ；
故答案为： 183−8π ．
【分析】利用锐角三角函数和扇形面积公式计算求解即可。
18．【答案】解：原式 =23+1−(−3)2−4×32
=23+1−9−23
=−8
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值和负整数指数幂，零指数幂计算求解即可。
19．【答案】解：三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：
由树状图可知垃圾投放正确的概率为 39=13 ；
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】先画树状图，再求概率即可。
20．【答案】（1）解：解：延长PQ交直线AB于点E，
∠BPQ=90°﹣60°=30°
（2）解：设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE= 33 PE= 33 x米，
∵AB=AE﹣BE=6米，
则x﹣ 33 x=6，
解得：x=9+3 3 ．
则BE=（3 3 +3）米．
在直角△BEQ中，QE= 33 BE= 33 （3 3 +3）=（3+ 3 ）米．
∴PQ=PE﹣QE=9+3 3 ﹣（3+ 3 ）=6+2 3 ≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
21．【答案】（1）解：把 A(−4，1) 代入 y1=kx ，得 k=−4×1=−4 ，
∴ 反比例函数的表达式为 y1=−4x ，
把 B(m，−4) 代入 y1=−4x ，得 −4m=−4 ，解得 m=1 ，则 B(1，−4) ，
把 A(−4，1) ， B(1，−4) 代入 y2=ax+b ，
得 −4a+b=1a+b=−4 ，解得： a=−1b=−3 ，
∴ 一次函数的表达式为 y2=−x−3 ；
（2）解：由（1）可得： A(−4，1) ， B(1，−4) ，
∴由两点距离公式可得： AB=(−4−1)2+(1+4)2=52 ；
（3）解：由 y1>y2 可知反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，
∴由图象可得当 −41 时， y1>y2 ，
∴x的取值范围是：-4＜x＜0或x＞1．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据点A和点B的坐标，再利用两点间的距离公式计算求解即可；
（3）先求出 由图象可得当 −41 时， y1>y2 ， 再求取值范围即可。
22．【答案】（1）解：w＝（x﹣30）•y
＝（﹣x+60）（x﹣30）
＝﹣x2+30x+60x﹣1800
＝﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w＝﹣x2+90x﹣1800
（2）解：根据题意得：w＝﹣x2+90x﹣1800＝﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x＝45时，w有最大值，最大值是225
（3）解：当w＝200时，﹣x2+90x﹣1800＝200，
解得x1＝40，x2＝50，
∵50＞42，x2＝50不符合题意，舍，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元。
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据单个的利润乘以销售数量等于总利润建立出W与x的函数关系式；
（2）根据（1）所得函数的性质即可解决问题；
（3）将W=200代入（1）所得的函数解析式，求解算出对应的自变量的值，进而根据题干条件检验即可得出答案。
23．【答案】（1）解： FG 与 ⊙O 相切．
理由：如图，连接， OF ，
∵ ∠ACB=90° ， D 为 AB 的中点，
∴ CD=BD ，
∴ ∠DBC=∠DCB ，
∵ OF=OC ，
∴ ∠OFC=∠OCF ，
∴ ∠OFC=∠DBC ，
∴ OF//DB ，
∵ FG⊥AB ，
∴ ∠DGF=90° ，
∴ ∠OFG=90° ，
∴ FG 与 ⊙O 相切；
（2）解：连接 DF ， ∵ CD=5 ，
∴ AB=2CD=10 ，
∴ BC=AB2−AC2=8 ，
∵ CD 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠DFC=90° ，
∴ FD⊥BC ，
∴ BF=12BC=4 ，
∵ sin∠ABC=ACAB=FGFB ，
即： 610=FG4 ，
∴ FG=125 ．
【知识点】切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先求出∠OFC=∠DBC，再求出∠OFG=90°，最后证明求解即可；
（2）利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
24．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为 y=a(x+4)(x−2) ，
将 C(0，−83) 代入表达式，解得 a=13 ，
∴ 抛物线的表达式为： y=13(x+4)(x−2) ，
即： y=13x2+23x−83 ；
（2）解：设直线 AC 的表达式为： y=kx+b ．则 b=−83 ，将 A(−4，0) 代入表达式，得 k=−23 ，
∴ 直线 AC 得表达式为： y=−23x−83 ；
设 F(x，−23x−83) ， D(x，13x2+23x−83) ．
则 DF=−23x−83−(13x2+23x−83)=−13x2−43x=−13(x+2)2+43 ；
把 x=−2 代入 y=13x2+23x−83y=−83 ，得： y=−83 ，
∴ D(−2，−83) ，
∴ 线段 DF 长度得最大值是 43 ，此时 D 的坐标是 D(−2，−83) ；
（3）解：根据题意， S△AEF：S△AFD=EF：FD ，
当 S△AEF：S△AFD=1：2 时，有： 23x+83−13x2−43x=12 ，
解得 x=−4 （舍去）；
当 S△AEF：S△AFD=2：1 时，有： 23x+83−13x2−43x=2 ，
解得： x1=−1 ， x2=−4 （舍去）；
综上所述：当 E （-1，0）时，满足条件．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线 AC 得表达式为： y=−23x−83 ，再求出点D的坐标，最后求解即可；
（3）分类讨论，列方程计算求解即可。