山东省济南市槐荫区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省济南市槐荫区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知 ab = 25 ，则 a+bb 的值为（ ）．
A．25B．35C．75D．23
2．下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，直线 a//b//c ，分别交直线 m ， n 于点 A ， B ， C ， D ， E ， F ，若 AB=2 ， BC=4 ， DE=3 ，则 EF 的长是（ ）
A．5B．6C．8D．9
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，csA＝ 35 ，AB＝10，AC的长是（ ）
A．3B．6C．9D．12
5．如图， AB 为 ⊙O 的直径， C，D 为 ⊙O 上两点，若 ∠BCD＝40° ，则 ∠ABD 的大小为（ ）．
A．60°B．50°C．40°D．20°
6．二次函数 y=2(x+2)2−1 的图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．小明在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 y=−112x2+23x+53 ，则小明此次成绩为（ ）
A．8米B．10米C．12米D．14米
8．将函数 y=6x 的图象沿 x 轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（ ）
A．y=6x+1B．y=6x−1C．y=6x+1D．y=6x−1
9．若点 A(x1,−5),B(x2,2),C(x3,5) 都在反比例函数 y=10x 的图象上，则 x1,x2,x3 的大小关系是（ ）
A．x110．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝ kx （k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y＝ −33xB．y＝ −3xC．y＝ −3xD．y＝ 3x
11．如图， △ABC 是边长为6的等边三角形，以边 BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，点 D 为射线 AO 上任意一点（不与点 A 重合），以点 D 为圆心的圆始终与 AB 所在直线相切．在点 D 沿着射线 AO 平移的过程中⊙D与 x 轴相切时，其半径为（ ）
A．3B．33C．3 或 33D．23 或 33
12．二次函数 y=ax2+bx+c ，若 ab<0 ， a−b2>0 ，点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) 在该二次函数的图象上，其中 x1A．y1=−y2B．y1>y2
C．y1二、填空题
13．如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为 m．
14．如图所示， ∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则 sin∠AOB 的值是 .
15．如图，直线 AB 过原点分别交反比例函数 y=6x ，于A．B，过点A作 AC⊥x 轴，垂足为C，则△ ABC 的面积为 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ 2 ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ ．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为x=2，顶点为A.点P为抛物线的对称轴上一点，连接OA、OP.当OA⊥OP时，点P的坐标为 ．
18．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
三、解答题
19．计算：2cs45° −32 tan30°cs30°+sin260°．
20．如图，在 10×10 网格中，点 O 是格点， △ABC 是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点 A1 是点 A 以点 O 为位似中心的对应点．
（1）△A1B1C1 与 △ABC 的位似比是 ；
（2）画出 △ABC 以点 O 为位似中心的位似图形 △A1B1C1 ．
21．已知：如图，在 △ABC 中， AB=6 ， AC=8 ， D 、 E 分别在 AB 、 AC 上， BD=2 ， CE=5 ．求证： △AED∽△ABC ．
22．如图，在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠A=30° ， BC=4 ，以 BC 为直径的半圆 O 交斜边 AB 于点 D ．
（1）证明： AD=3BD ；
（2）求阴影部分的面积．
23．如图，二次函数 y=ax2+bx+3 的图象交 x 轴于点 A(1，0) ， B(3，0) ，交 y 轴于点 C ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求点 A 到直线 BC 的距离．
24．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8．tan37°≈0.75）
25．如图，一次函数 y1=ax+b 与反比例函数 y2=kx 的图象相交于 A(2，8)，B(8，2) 两点，连接 AO，BO ，延长 AO 交反比例函数图象于点 C
（1）求一次函数 y1 的表达式与反比例函数 y2 的表达式；
（2）当 y1（3）点 P 是 x 轴上一点，当 S△PAC=54S△AOB 时，请直接写出点 P 的坐标为 ．
26．如图，四边形 ABCD 是矩形
（1）如图1， E 、 F 分别是 AD 、 CD 上的点， BF⊥CE ，垂足为 G ，连接 AG ．
①求证： CEBF=CDBC ；
②若 G 为 CE 的中点，求证： sin∠AGB=CEBF ；
（2）如图2，将矩形 ABCD 沿 MN 折叠，点 A 落在点 R 处，点 B 落在 CD 边的点 S 处，连接 BS 交 MN 于点 P ， Q 是 RS 的中点.若 AB=2 ， BC=3 ，直接写出 PS+PQ 的最小值为 ．
27．如图1，抛物线 y=ax2+(a+3)x+3(a≠0) 与 x 轴交于点 A(4,0) ，与y轴交于点 B ，在 x 轴上有一动点 E(m,0)(0（1）求a的值和直线 AB 的函数表达式；
（2）设 ΔPMN 的周长为 C1 ， ΔAEN 的周长为 C2 ，若 C1C2=65 ，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段 OE 绕点O逆时针旋转得到 OE′ ，旋转角为 α(0°<α<90°) ，连接 E′A 、 E′B ，求 AE′+23BE′ 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】∵ab = 25 ，
∴a+bb=5+25=75 ；
故答案为：C．
【分析】根据 ab = 25 ，计算求解即可。
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：选项A：俯视图是圆，主视图是三角形，故答案为：A错误；
选项B：俯视图是圆，主视图是长方形，故答案为：B错误；
选项C：俯视图是正方形，主视图是正方形，故答案为：C正确；
选项D：俯视图是三角形，主视图是长方形，故答案为：D错误.
故答案为：C.
【分析】俯视图是指从上面往下看，主视图是指从前面往后面看，根据定义逐一分析即可求解.
3．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】根据题意可得： ABBC=DEEF ，即 24=3EF ，
∴EF=6 ．
故答案为：B．
【分析】先求出ABBC=DEEF，再求出24=3EF，最后计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，csA＝ ACAB=35 ，AB＝10，
∴AC＝6．
故答案为：B．
【分析】根据角的余弦值与三角形边的关系即可求解．
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
解：连接 AD ，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90° ．
∵∠BCD=40° ，
∴∠A=∠BCD=40° ，
∴∠ABD=90°−40°=50° ．
故答案为：B．
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠A=∠BCD=40°，从而求出∠ABD的度数，
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】由二次函数 y=2(x+2)2−1 可得：开口向上，顶点坐标为 (−2,−1) ，对称轴为直线 x=−2 ；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的解析式可得到顶点坐标、对称轴即可判断。
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当 y=0 时， −112x2+23x+53=0 ，即 (x+2)(x−10)=0 .
解得： x1=−2 （舍）， x1=10 .
则小明此次成绩时10米.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知实心球落地时 y=0 ，即求 −112x2+23x+53=0 的解即可
8．【答案】B
【知识点】函数解析式；平移的性质
【解析】【解答】解：将函数 y=6x 的图象沿x轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是 y=6x−1 ，
故答案为：B．
【分析】根据将函数 y=6x 的图象沿x轴向右平移1个单位长度，求函数解析式即可。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】将A，B，C三点分别代入 y=10x ，可求得 x1=−2,x2=5,x3=2 ，比较其大小可得： x1故答案为：C．
【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解 x1,x2,x3 ，然后直接比较大小即可．
10．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【解答】解：因为在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，所以OC＝2，∠COB＝60°.
如答图，过点C作CD⊥OB于点D，
则OD＝OC·cs∠COB＝2×cs60°＝2× 12 ＝1，CD＝OC·sin∠COB＝2×sin60°＝2× 32 ＝ 3 .
因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（－1， 3 ）.
因为顶点C在反比例函数y═ kx 的图象上，所以 3 ＝ k−1 ，得k＝ −3 ，
所以反比例函数的解析式为y＝ −3x ，
因此本题选B.
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式.
11．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图1，当D与x轴相切时，且D在x轴的上方，即D是△ABC的内切圆，连接BD，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠DBO=30°， BO= 3，
∴OD=BO·tan30°= 3 ；
如图2，当D与x轴相切时，且D在x轴下方，设D与直线AB相切与E，连接DE，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠EAD=30°，AO= 33 ，∠AED=90°，
∴DE= 12 AD=（ 33 ＋DE），
∴DE= 33 ，
∴DE的半径为 3 或 33 ，
故答案为：C．
【分析】分类讨论，利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵a−b2>0 ，b2≥ 0,
∴a>0.
又∵ab<0 ，
∴b<0.
∵x1∴x2=−x1 ,x1<0.
∵点 A(x1,y1) ， B(x2,y2) 在该二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上
∴y1=ax12+bx1+c ， y2=ax22+bx2+c=ax12−bx1+c .
∴y1-y2=2bx1>0.
∴y1>y2.
故答案为：B.
【分析】首先分析出a,b,x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1,y2，再作差法比较y1,y2的大小.
13．【答案】143
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥OP，
∴△ABC∽△OPC，
∴ABOP=CBCP ，
即 2OP=33+4 ，
∴OP＝ 143 m．
故答案为： 143 ．
【分析】先求出△ABC∽△OPC，再求出2OP=33+4 ，最后计算求解即可。
14．【答案】22
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示：连接AB，
设小正方形的边长为1，
∴OA2 = 32+1 =10， BA2=32+1=10 ， OB2=42+22=20 ，
∴OA2+AB2=OB2，
∴△ABO 是直角三角形，且∠BAO=90°，
∴sin∠AOB=BAOB=1020=22 ，
故答案为： 22 .
【分析】连接AB，根据勾股定理的逆定理得出△ABO是直角三角形，再根据正弦的定义得出sin∠AOB=BAOB，即可得出答案.
15．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△BOC=S△AOC，
又∵A是反比例函数上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积= 12|k| = 12 ×6=3，
∴△ABC的面积=6
故答案为：6．
【分析】先求出S△BOC=S△AOC，再求出△AOC的面积= 12|k| = 12 ×6=3，最后求面积即可。
16．【答案】43
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ 12 CD＝ 12 AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ABDE ＝ PBPD ，
∴21 ＝ PBPD ，
∴PBBD ＝ 23 ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴PQCD ＝ BPBD ＝ 23 ，
∵CD＝2，
∴PQ＝ 43 ，
故答案为： 43 ．
【分析】先求出△ABP∽△EDP，再求出PQCD ＝ BPBD ＝ 23 ，最后计算求解即可。
17．【答案】（2，-4）
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图
∵ 抛物线y=ax2+x的对称轴为x=2 ，
∴- 12a =2，
∴a=- 14 ，
∴抛物线y=- 14 x2+x，
∴A（2，1）
∴在Rt△AOE中，tan∠OAE= OEAE =2，∠OAE+∠AOE=90°，
∵ OA⊥OP ，
∴∠AOP=∠AOE+∠EOP=90°，
∴∠OAE=∠EOP，
∴tan∠EOP= EPOE =2，
∵OE=2，
∴EP=4，
∴P（2，-4）
故答案为（2，-4）.
【分析】先求出A（2，1），再求出tan∠EOP= EPOE =2，最后求点的坐标即可。
18．【答案】2 3 ﹣2
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵G（0，2），
∴OG＝2，
在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，
∴AG＝2OG，OA＝ 42−22 ＝2 3 ，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4 3 ，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝4 3 ，MG＝ 12 CG＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝2 3 ﹣2，
故答案为：2 3 ﹣2．
【分析】先求出∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4 3 ，再求出AC＝2OA＝4 3 ，MG＝ 12 CG＝2，最后计算求解即可。
19．【答案】解：原式 =2×22−32×33×32+(32)2
= 2 ﹣ 34 + 34
= 2 ．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入后按二次根式的混合运算顺序计算即可.
20．【答案】（1）3
（2）解：如图所示， △A1B1C1 即为所求．
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）如图连接 OA 和 OA1 ，则 △A1B1C1 和 △ABC 的位似比 =OA1OA=31=3 ．
【分析】（1）求出 △A1B1C1 和 △ABC 的位似比 =OA1OA=31=3 即可作答；
（2）根据题意作图即可。
21．【答案】证明：∵AB=6 ， BD=2 ，
∴AD=4 ，
∵AC=8 ， CE=5 ，
∴AE=3 ，
∴AEAB=36=12 ， ADAC=48=12 ．
∴AEAB=ADAC ，
∵∠EAD=∠BAC
∴△AED∽△ABC ．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 AD=4 ， 再求出 AEAB=ADAC ， 最后证明求解即可。
22．【答案】（1）证明：∵在 Rt△ABC 中， ∠ACB=90° ， ∠A=30° ，
∴∠B=60° ， AB=2BC ，
∵BC 为半圆 O 的直径，
∴∠CDB=90° ，
∴∠BCD=30° ，
∴BC=2BD ，
∴AB=2BC=4BD ，
∴AD=3BD ；
（2）解：由（1）得 ∠B=60° ，
∴∠COD=120° ，
∵BC=4 ，
∴OC=OD=OB=2 ，
∴S扇形COD=120π×22360=4π3 ，
∵在 Rt△BCD 中， ∠BCD=30° ， BC=4 ，
∴CD=32BC=23 ，
∴S△COD=12×23×1=3 ，
∴图中阴影部分的面积 =S扇形COD−S△COD=4π3−3 ．
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出 ∠B=60° ， AB=2BC ，再求出BC=2BD ， 最后证明求解即可；
（2）利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求解即可。
23．【答案】（1）解：将 A(1，0) ， B(3，0) 代入函数解析式，得 a+b+3=0①9a+3b+3=0②
①×3−②得： −6a+6=0 ，
a=1 ，
把 a=1 代入①得： 1+b+3=0 ，
b=−4 ，
∴这个二次函数的表达式是 y=x2−4x+3 ；
（2）解：作 AD⊥BC 于点 D ，
由抛物线的表达式知点 C(0，3) ，
∵B(3，0)
∴BO=CO=3 ．
∴∠CBO=45° ．
∵A(1，0) ， B(3，0) ，
∵AB=2 ，
∴AD=AB⋅sin∠CBO=2×22=2 ．
∴点 A 到直线 BC 的距离为 2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 ∠CBO=45° ，再利用锐角三角函数计算求解即可。
24．【答案】（1）解：如图①，作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，
∴DH5 = sin37°， BH5 ＝cs37°，
∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cs37°＝5×0.8＝4（cm）．
∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，
∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），
∴DE＝ DH2+EH2=32+92=310(cm)
答：连接杆DE的长度为 310 cm．
（2）解：如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC＝127°，
∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，
在Rt△DBH中， BHBD=BH5 ＝sin37°＝0.6，
∴BH＝3cm，
∴DH＝4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，
∴（EB+3）2+16＝90，
∴EB＝（ 74−3 ）（cm），
∴点E滑动的距离为：15﹣（ 74−3 ）﹣2＝（16﹣ 74 ）（cm）．
答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣ 74 ）cm．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可；
（2）先求出 DH＝4cm， 再利用勾股定理计算求解即可。
25．【答案】（1）解：将 A(2，8) ， B(8，2) 代入 y=ax+b 得 2a+b=88a+b=2 ，
解得 a=−1b=10 ，
∴ 一次函数为 y=−x+10 ，
将 A(2，8) 代入 y2=kx 得 8=k2 ，解得 k=16 ，
∴ 反比例函数的解析式为 y=16x ；
（2）x＞8或0＜x＜20
（3）P（3，0）或P（-3，0）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： （2）由图象可知，当 y18 或 0故答案为 x>8 或 0（3）由题意可知 OA=OC ，
∴SΔAPC=2SΔAOP ，
把 y=0 代入 y1=−x+10 得， 0=−x+10 ，解得 x=10 ，
∴D(10，0) ，
∴SΔAOB=SΔAOD−SΔBOD=12×10×8−12×10×2=30 ，
∵SΔPAC=45SΔAOB=45×30=24 ，
∴2SΔAOP=24 ，
∴2×12OP×yA=24 ，即 2×12OP×8=24 ，
∴OP=3 ，
∴P(3，0) 或 P(−3，0) ，
故答案为 P(3，0) 或 P(−3，0) ．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据函数图象求取值范围即可；
（3）先求出SΔAPC=2SΔAOP，再求出2SΔAOP=24 ，最后求点的坐标即可。
26．【答案】（1）解：①证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDE＝∥BCF＝90°，
∵BF⊥CE，
∴∠BGC＝90°，
∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，
∴∠FBC＝∠ECD，
∴△FBC∽△ECD，
∴CEBF=CDBC ．
②证明：如图1中，连接BE，GD．
∵BF⊥CE，EG＝CG，
∴BF垂直平分线段EC，
∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，
∵DG＝CG，
∴∠CDG＝∠GCD，
∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，
∴∠ADG＝∠BCG，
∵AD＝BC，
∴△ADG≌△BCG（SAS），
∴∠DAG＝∠CBG，
∴∠DAG＝∠EBG，
∴∠AEB＝∠AGB，
∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝ ABBE=ABBC=CDBC=CEBF
（2）10
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．
∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，
∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，
∴BP＝PS，
∵∠BCS＝90°，
∴PC＝PS＝PB，
∴PQ+PS＝PT+PC，
当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝ BC2+BT2=32+12=10 ，
∴PQ+PS的最小值为 10 ．
【分析】（1）①先求出 ∠BGC＝90°， 再求出 △FBC∽△ECD， 最后证明求解即可；
②先求出 ∠CDG＝∠GCD， 再利用SAS证明 △ADG≌△BCG ，最后证明求解即可；
（2）先求出BP＝PS，再求出PQ+PS＝PT+PC，最后利用勾股定理计算求解即可。
27．【答案】（1）解：令 y=0 ，则 ax2+(a+3)x+3=0 ，
∴(x+1)(ax+3)=0 ，
∴x=−1 或 −3a ，
∵ 抛物线 y=ax2+(a+3)x+3(a≠0) 与 x 轴交于点 A(4,0) ，
∴−3a=4 ，
∴a=−34 .
∵A(4,0) ， B(0,3) ，
设直线 AB 解析式为 y=kx+b ，则 b=34k+b=0 ，
解得 k=−34b=3 ，
∴ 直线 AB 解析式为 y=−34x+3 ；
（2）解：如图1中，
∵PM⊥AB ， PE⊥OA ，
∴∠PMN=∠AEN ，
∵∠PNM=∠ANE ，
∴ΔPNM∽ΔANE ，
∴ PNAN=65 ，
∵NE//OB ，
∴ ANAB=AEOA ，
∴AN=54(4−m) ，
∵ 抛物线解析式为 y=−34x2+94x+3 ，
∴PN=−34m2+94m+3−(−34m+3)=−34m2+3m ，
∴ −34m2+3m54(4−m)=65 ，
解得 m=2 ；
（3）解：如图2中，在y轴上 取一点 M′ 使得 OM′=43 ，连接 AM′ ，在 AM′ 上取一点 E′ 使得 OE′=OE .
∵OE′=2 ， OM′⋅OB=43×3=4 ，
∴OE′2=OM′⋅OB ，
∴ OE′OM′=OBOE′ ，
∵∠BOE′=∠M′OE′ ，
∴ △ M′OE′∽ △ E′OB ，
∴ M′E′BE′=OE′OB=23 ，
∴M′E′=23BE′ ，
∴AE′+23BE′=AE′+E′M′=AM′ ，
此时 AE′+23BE′ 最小（两点间线段最短，A、 M′ 、 E′ 共线时），
最小值 =AM′=42+(43)2=4310 .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）由△PNM∽△ANE，推出 PNAN=65 ，列出方程即可解决问题;
（3）在y轴上 取一点M使得OM′= 43 ，构造相似三角形，可以证明AM′就是 AE′+23BE′ 的最小值.