山东省滨州市惠民县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省滨州市惠民县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一元二次方程 x2−4=0 的解是（ ）
A．-2B．2C．±4D．±2
2．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1=2xB．x2+1=0C．x2−2x=3D．x2−2x=0
4．用配方法解关于 x 的一元二次方程 x2−2x−3=0 ，配方后的方程可以是（ ）
A．(x−1)2=4B．(x+1)2=4C．(x−1)2=1D．(x+1)2=16
5．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5B．20C．24D．32
6．如图，A、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，则AB等于（ ）米．
A．asin40°B．acs40°C．atan40°D．atan400
7．若点 A(−1,y1),B(2,y2),C(3,y3) 在反比例函数 y=−6x 的图像上，则 y1,y2,y3 的大小关系为（ ）
A．y1>y2>y3B．y2>y3>y1C．y1>y3>y2D．y3>y2>y1
8．定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V数”.若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”得概率是（ ）
A．14B．310C．12D．34
9．如图，已知 △ABC 中， ∠CAB=∠B=30° ， AB=23 ，点 D 在 BC 边上，把 △ABC 沿 AD 翻折使 AB 与 AC 重合，得 △AB′D ，则 △ABC 与 △AB′D 重叠部分的面积为（ ）
A．3−32B．3−12C．3−3D．3−36
10．如图， Rt△ABC 中， ∠C=90° ，点D在 AC 上， ∠DBC=∠A ．若 AC=4，csA=45 ，则 BD 的长度为（ ）
A．94B．125C．154D．4
11．如图，在 ΔABC 中， ∠ACB=90° .边 BC 在x轴上，顶点 A，B 的坐标分别为 (−2，6) 和 (7，0) .将正方形 OCDE 沿x轴向右平移当点E落在 AB 边上时，点D的坐标为（ ）
A．(32，2)B．(2，2)C．(114，2)D．(4，2)
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．方程 x2=9x−8 的解是 ．
14．把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.设∠A＝α，且tanα＝ 13 ，则tan2α＝ ．
16．一等腰三角形，底边长是18厘米，底边上的高是18厘米，现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形，画出的矩形是正方形时停止，则这个矩形是第 个．
17．如图，在矩形 ABCD 中， ∠ABC 的平分线 BE 与 AD 交于点 E ， ∠BED 的平分线 EF 与 DC 交于点 F ，若 AB=12 ， DF=2FC ，则 BC 的长是 ．
18．如图，已知动点A在函数 y=4x (x>)的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当QE：DP=4：9时，图中的阴影部分的面积等于
三、解答题
19．计算： 2cs60°+tan45°−3tan30° ．
20．解方程： x2−2x−3=0 .
21．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC=1，CD=2，DB=4．
求证：△ACP∽△PDB．
22．现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字–1，–2，1，2，3．先将标有数字–2，1，3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里．现分别从两个盒子里各随机取出一个小球．
（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果；
（2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率．
23．某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从C处入海，径直向B处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去.若CD=40米，B在C的北偏东35°方向，甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达B处？请说明理由.
(参考数据：sin55°≈0.82，cs55°≈0.57，tan55°≈1.43)
24．阅读下列内容，并答题：我们知道，计算 n 边形的对角线条数公式为： 12n(n−3) ．如果一个 n 边形共有20条对角线，那么可以得到方程 12n(n−3)=20 ．整理得 n2−3n−40=0 ；解得 n=8 或 n=−5 ， ∵n 为大于等于3的整数， ∴n=−5 不合题意，舍去． ∴n=8 ，即多边形是八边形．根据以上内容，问：
（1）若一个多边形共有9条对角线，求这个多边形的边数；
（2）小明说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为小明同学说法正确吗?为什么?
25．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b(a≠0) 的图象与反比例函数 y=kx(k≠0) 的图象交于一、三象限内的A．B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（2，m)，点B的坐标为（n，－2），tan∠BOC＝ 25 ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上有一点E（O点除外），使得△BCE与△BCO的面积相等，求出点E的坐标．
26．如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， CD 是中线， AC=BC ，一个以点 D 为顶点的45°角绕点 D 旋转，使角的两边分别与 AC ， BC 的延长线相交，交点分别为点 E ， F ， DF 与 AC 交于点 M ， DE 与 BC 交于点 N ．
（1）如图①，若 CE=CF ，求证： DE=DF ；
（2）如图②，在 ∠EDF 绕点 D 旋转的过程中：若 CE=4 ， CF=2 ，
①求线段 AB 的长；
②求 DN 的长．
27．综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线 y=12x2+bx+c 经过点 A(−4，0) ，点 M 为抛物线的顶点，点 B 在 y 轴上，且 OA=OB ，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C(2，6) ，如图．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线 AB 的函数解析式为 ，点 M 的坐标为 ， sin∠ACO= ．
（3）在 y 轴上找一点 Q ，使得 △AMQ 的周长最小．请求出点 Q 的坐标；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点 N ，使以点 A 、 O 、 C 、 N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】 x2−4=0 ，
x2=4 ，
开方得： x=±2 ，
故答案为：D．
【分析】利用直接开平方法解方程即可。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】几何体的主视图是：
故答案为：A．
【分析】根据所给的几何体作图即可。
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】A. x2+1=2x 变形为 x2−2x+1=0 ，此时△=4-4=0，此方程有两个相等的实数根，A符合题意；
B. x2+1=0 中△=0-4=-4＜0，此时方程无实数根，B不符合题意；
C. x2−2x=3 整理为 x2−2x−3=0 ，此时△=4+12=16＞0，此方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意；
D. x2−2x=0 中，△=4＞0，此方程有两个不相等的实数根，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据根的判别式逐一判断即可．
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】 x2−2x−3=0 ，
移项得： x2−2x=3 ，
两边加上 1 即 {(−22)2} 得： x2−2x+1=3+1 ，
整理得： (x−1)2=4 ，
故答案为：A．
【分析】先求出x2−2x=3，再求出x2−2x+1=3+1，最后求解即可。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，
根据题意得AO＝ 12×8=4 ，BO＝ 12×6=3 ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB＝ AO2+BO2=16+9=5 ，
∴此菱形的周长为：5×4＝20.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AC=a米，∠A=90°，∠C=40°，
∴tanC=tan40°= ABAC ，
∴AB=atan40°．
故答案为：C
【分析】先求出tanC=tan40°= ABAC ，再求解即可。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 A(−1,y1),B(2,y1),C(3,y3) 在反比例函数 y=−6x 的图象上，
∴y1=−6−1=6 ， y2=−62=−3 ， y3=−63=−2 ，
∵−3<−2<6 ，
∴y1>y3>y2 ，
故答案为：C．
【分析】分别将x=-1 、2、3分别代入y=−6x中，求出相对应的函数值，然后比较函数值的大小即可.
8．【答案】C
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】画树状图得：
∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425，
其中是“V数”的有：423，523，324，524，325，425六个，
∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是： 612=12 。
故答案为：C。
【分析】利用树状图列举出共有12等可能结果，求出能与2组成“V数”的有6种，利用概率公式计算即可.
9．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，
∵△ABC中，∠CAB＝∠B＝30°， AB=23 ，
∴AC＝BC，AF＝ 12 AB= 3 ，
∴AC＝AF÷cs∠CAB＝ 3 ÷ 32 =2，
由折叠的性质得：AB′= AB=23 ，∠B′＝∠B＝30°，
∵∠B′CD＝∠CAB＋∠B＝60°，
∴∠CDB′＝90°，
∵B′C＝AB′−AC＝2 3 −2，
∴CD＝ 12 B′C＝ 3 −1，B′D＝B′C•csB′＝（2 3 −2）× 32 =3− 3 ，
∴DE＝ CD•B′DB′C ＝ (3−1)•(3−3)23−2=3−32
∴S阴影＝ 12 AC•DE＝ 12 ×2× 3−32 = 3−32
故答案为：A．
【分析】利用锐角三角函数和三角形的面积公式计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，
∴csA=ACAB ，
∵AC=4，csA=45 ，
∴AB=5，
根据勾股定理可得BC= AB2−AC2 =3，
∵∠DBC=∠A ，
∴cs∠DBC=csA= 45 ，
∴cs∠DBC= BCBD = 45 ，即 3BD = 45
∴BD= 154 ，
故答案为：C．
【分析】先根据 AC=4，csA=45 ，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据 ∠DBC=∠A ，即可得cs∠DBC=csA= 45 ，即可求出BD．
11．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意知： C(−2，0)，
∵ 四边形 COED 为正方形，
∴CO=CD=OE， ∠DCO=90°，
∴D(−2，2)，E(0，2)，
如图，当E落在 AB 上时，
∵A(−2，6)，B(7，0)，
∴AC=6，BC=9，
由 tan∠ABC=ACBC=EO′O′B，
∴69=2O′B，
∴O′B=3，
∴OO′=7−3=4，OC′=2，
∴D(2，2).
故答案为：B
【分析】先画出E落在AB上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解 O′B 的长度，结合正方形的性质，从而可得答案.
12．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的其他应用
【解析】【解答】由图知：抛物线的开口向下，则a＜0；抛物线的对称轴x=- b2a ＞-1，且c＞0．
①由图可得：当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0，故①符合题意；
②已知x=- b2a ＞-1，且a＜0，所以2a-b＜0，故②符合题意；
③因为抛物线的开口方向向下，所以a＜0，故③符合题意；
④由于抛物线的对称轴x=- b2a ＞-1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即 4ac−b24a ＞2，由于a＜0，所以4ac﹣b2＜8a，即b2+8a＞4ac，故④符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据 二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，2)，且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2， 再结合函数图象对每个选项一一判断即可。
13．【答案】x1=1 ， x2=8
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2−9x+8=0 ，
(x−1)(x−8)=0 ，
x−1=0 或 x−8=0 ，
解得， x1=1 ， x2=8 ，
故答案为： x1=1 ， x2=8 ．
【分析】先求出(x−1)(x−8)=0 ，再求出x−1=0 或 x−8=0 ，最后解方程即可。
14．【答案】14
【知识点】列表法与树状图法
【解析】
解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是 ．
故答案为： ．
分析：举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
15．【答案】34
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】连接BE，∵点D是AB的中点，ED⊥AB，∠A=α，∴ED是AB的垂直平分线，∴EB=EA，
∴∠EBA=∠A=α，∴∠BEC=2α，∵tanα= 13 ，设DE=a，∴AD=3a，AE= 10a ，∴AB=6a，∴BC= 3a105 ，AC= 9a105 ，∴CE=AC–AE= 9a105−10a=4a105 ，∴tan2α= BCCE=3a1054a105=34 ，故答案为 34 ．
【分析】先求出∠BEC=2α，再求出CE=AC–AE= 9a105−10a=4a105 ，最后求解即可。
16．【答案】5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，
则 318 ＝ x18 ，解得x=3，
所以另一段长为18-3=15，
因为15÷3=5，所以是第5张．
故答案为5.
【分析】先求出318 ＝ x18 ，再求出x=3，最后求解即可。
17．【答案】82+4
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长EF和BC，交于点G，
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴ AB＝AE＝12，
∴直角三角形ABE中， BE=122+122=122 ，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD//BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝ 122 ，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
∴△EFD∽△GFC，
∴CGDE=CFDF=12 ，
设CG＝x，DE＝2x，则AD＝12＋2x＝BC，
∵BG＝BC＋CG，
∴122 ＝12+2x+x
解得：x＝ 42−4 ，
∴BC=12+2(42−4)=82+4 ，
故答案为： 82+4
【分析】先求出 AB＝AE＝12，再求出△EFD∽△GFC，最后利用相似三角形的性质计算求解即可。
18．【答案】133
【知识点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EF⊥y轴于点F．
∵A在函数 y=4x (x>)的图象上，∴设A（t， 4t ），
则AD=AB=DG= 4t ，AE=AC=EF=t．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE=AD2+AE2=(4t)2+t2=t4+16t ．
∵△EFQ∽△DAE，∴QE：DE=EF：AD．∴QE= tt4+164 ．
∵△ADE∽△GPD，∴DE：PD=AE：DG．∴DP= 4t4+16t3 ．
又∵QE：DP=4：9，∴tt4+164：4t4+16t3=4：9 ．解得 t2=83 ．
∴图中阴影部分的面积= 12AC2+12AB2=12t2+12⋅16t2=43+3=133
【分析】利用勾股定理和相似三角形的性质计算求解即可。
19．【答案】解： 2cs60°+tan45°−3tan30°
=2×12+1−3×33
=1+1−1
=1 ．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
20．【答案】解：因式分解得：（x+1）（x-3）=0，
即x+1=0或x-3=0，
解得：x1=-1，x2=3
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将方程的左边因式分解后即可求得方程的解
21．【答案】证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2
∴∠ACP＝∠PDB＝120°
∴ACPD=CPDB=12 .
∴△ACP∽△PDB.
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由等边三角形的各角相等、各边相等可得 ∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝PD＝CD＝2 ，根据邻补角的意义可得 ∠ACP＝∠PDB＝120° ，由计算可得ACPD=CPDB，由“ 两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似”可求解。
22．【答案】（1）解：列表得：
则共有6种结果，且它们的可能性相同；
（2）解：∵取出的两个小球上的数字之和等于0的有：（1，-1），（-2，2），
∴两个小球上的数字之和等于0的概率为： 26=13 ．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）先列表求出 共有6种结果，且它们的可能性相同 ，再求解即可；
（2）根据题意求出 取出的两个小球上的数字之和等于0的有：（1，-1），（-2，2）， 再求概率即可。
23．【答案】解：由题意得∠BCD=55°，∠BDC=90°．
∵tan∠BCD=BDCD ，
∴BD=CD•tan∠BCD=40×tan55°≈57.2．
∵cs∠BCD=CDBC ，
∴BC=CDcs∠BCD=40cs55°≈70.2 ．
∴t甲=57.22+10=38.6(秒)，t乙=70.22=35.1(秒) ．
∴t甲>t乙 ．
答：乙先到达B处．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。
24．【答案】（1）解：根据题意得： 12n(n−3)=9 ，整理得： n2−3n−18=0 ，
解得： n=6 或 n=−3 ．
∵n 为大于等于3的整数，
∴n=−3 不合题意，舍去．
∴n=6 ，即多边形是六边形；
（2）解：小明同学说法是错误的，理由如下：当 12n(n−3)=10 时，
整理得： n2−3n−20=0 ，
解得： n=3±892 ，
∴ 符合方程 n2−3n−20=0 的正整数 n 不存在，
∴ 多边形的对角线不可能有10条．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先求出 n=6 或 n=−3 ，再求解即可；
（2）根据题意求出 n2−3n−20=0 ， 再求出 n=3±892 ， 最后作答即可。
25．【答案】（1）解：过B点作BD⊥x轴，垂足为D，
∵B（n，﹣2），
∴BD=2，
在Rt△OBD在，tan∠BOC= BDOD ，即 2OD=25
，解得OD=5，
又∵B点在第三象限，
∴B（﹣5，﹣2），
将B（﹣5，﹣2）代入y= kx 中，得k=xy=10，
∴反比例函数解析式为y= 10x ，
将A（2，m）代入y= 10x 中，得m=5，∴A（2，5），
将A（2，5），B（﹣5，﹣2）代入y=ax+b中，
得 2a+b=5−5a+b=−2 ，解得 a=1b=3 ，
则一次函数解析式为y=x+3；
（2）解：由y=x+3得C（﹣3，0），即OC=3，
∵S△BCE=S△BCO，∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E（﹣6，0）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先求出 BD=2， 再求出 反比例函数解析式为y= 10x ， 最后利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意求出 CE=OC=3， 再求解即可。
26．【答案】（1）证明： ∵∠ACB=90° ， AC=BC ， CD 是中线，
∴∠BCD=∠ACD=45° ， ∠BCE=∠ACF=90° ，
∴∠DCE=∠DCF=135° ，
在 △DCE 与 △DCF 中， CE=CF∠DCE=∠DCFCD=CD ，
∴△DCE≅△DCF(SAS) ，
∴DE=DF ；
（2）解：①由（1）可知， ∠DCF=∠DCE=135° ，
∴∠CDF+∠F=180°−135°=45° ，
由题意得： ∠EDF=45° ，
∴∠CDF+∠CDE=∠EDF=45° ，
∴∠F=∠CDE ，
在 △CDF 和 △CED 中， ∠DCF=∠ECD∠F=∠CDE ，
∴△CDF∼△CED ，
∴CDCE=CFCD ，即 CD2=CE⋅CF ，
∵CE=4，CF=2 ，
∴CD2=4×2=8 ，
解得 CD=22 或 CD=−22 （不符题意，舍去），
∵∠ACB=90° ， AC=BC ， CD 是中线，
∴CD=12AB ，
即 AB=2CD=42 ；
②如图，过 D 作 DG⊥BC 于点 G ，
则 ∠DGN=∠ECN=90° ， CG=DG ，
由（2）①可知， CD=22 ，
由（1）可知， ∠BCD=∠ACD=45° ，
∴ Rt△CDG 是等腰直角三角形，
∴CG=DG=CD⋅sin∠DCG=22×sin45°=2 ，
在 △CEN 和 △GDN 中， ∠ECN=∠DGN∠ENC=∠DNG ，
∴△CEN∼△GDN ，
∴CNGN=CEDG=42=2 ，
∴GN=13CG=13×2=23 ，
∴DN=GN2+DG2=(23)2+22=2103 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）先求出 ∠DCE=∠DCF=135° ， 再利用SAS证明三角形全等，最后求解即可；
（2）①先求出 ∠EDF=45° ， 再利用相似三角形的判定与性质求解即可；
②利用特殊角的锐角三角函数值和相似三角形的判定与性质求解即可。
27．【答案】（1）解：将点 A 、 C 的坐标代入抛物线表达式得： 12×16−4b+c=012×4+2b+c=6 ，
解得 b=2c=0
故抛物线的表达式为： y=12x2+2x ；
（2）y=x+4；（-2，-2）；55
（3）解：如图，
作点 A 点关于 y 轴的对称点 A' ，连接 MA' ，交 y 轴于 Q 点，则点Q即为所求作的点 ，连接AM，MQ，此时 △AMQ 的周长最小，
设直线 A′M 的表达式为： y=k1x+b1 ，则 4k1+b1=0−2k1+b1=−2 ，解得 k1=13b1=−43 ，
故直线 A′M 的表达式为： y=13x−43
令 x=0 ，则 y=−43 ，故点 Q(0，−43) ；
（4）解：存在.依题意画出 ▱AOCN ，设点N的坐标为（-2，n ），
当 AO=NC，AN=OC 时，四边形 AOCN 是平行四边形，
∴n=6 ，
所以N的坐标为 (−2，6)
故点 N(−2，6) ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（2）解：点 A(−4，0) ， OB=OA=4 ，故点 B(0，4) ，
设直线AB的解析式为： y=kx+b，(k≠0) ，
∴0=−4k+b4=b ，解得， k=1b=4
∴直线 AB 的表达式为： y=x+4 ；
对于 y=12x2+2x ，函数的对称轴为 x=−b2a=−22×12=−2 ，
把x=2代入 y=12x2+2x ， y=12×(−2)2+2×(−2)=−2
∴顶点 M(−2，−2) ；
如图，设抛物线的对称轴交AB于点E，连接OE，
把x=-2代入 y=x+4 ，得y=2，
∴E(−2，2) ，
∴E 为线段AB的中点， OE=(−2)2+22=22 ，
在 Rt△AOB 中，OA=OB，
∴OE⊥AB ，
∵C(2，6) ，
∴OC=22+62=210 ，
在 Rt△OCE 中， sin∠ACO=OEOC=22210=55
故答案为： y=x+4 ；（-2，-2）； 55 ；
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）先求出直线 AB 的表达式为： y=x+4 ，再求出顶点 M(−2，−2)，最后利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可；
（3）利用待定系数法求出 直线 A′M 的表达式为： y=13x−43 ，再求点的坐标即可；
（4）先求出n=6，再求点的坐标即可。
-1
2
-2
-3
0
1
0
3
3
2
5