浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年高一实验班上学期1月期末教学质量调测数学试题

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选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）
1-4：ADDC 5-8:BBDD
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
9.BCD 10.AD 11.BCD 12.ABD
三、填空题（本大题共4小题，单空每空5分,共20分．）
13. 14.外心 15. 16.
四、解答题（共6小题，70分.）
17.（10分）
(1) ………………………………2分
………………………………5分
（2） ………………………………7分
………………………………10分
18.（12分）
……… …………… ……… …………5分
（2）当时， ……………………8分
当时，………………11 分
， …………………12 分
19.（12分）
（1）过作面
,取的中点
…………… ……2分
，在平面中，以为原点
直线AB,AC分别为轴，
…………………………4分
与E点重合，P在底面投影在E上 ……………………………6分
法二.(1)以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，过点A且垂直于面ABCD的直线向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则,设，
则由得，因为x>0,解得，∴. …………………………2分
设，,,，
由得，解得， ……………………4分
故，若E为BC中点，则,则，
易知面ABCD的一个法向量为，∵，∴EP⊥面ABCD ……………………………6分
(2)，
过，
由三垂线定理，即所求角， ……………………………9分

二面角的余弦值 ………………………………12分
法二： (2)∵直线PB与平面ABC所成角为45°，点P到面ABC的距离为c，
故有，∵c>0解得，故,
则，
设面PAB的一个法向量为，则有即
取， ……………………………8分
设面PBC的一个法向量为，则有即
取, …………………………10分
设二面角A-PB-C的平面角为，为锐角，故.
故二面角A-PB-C的余弦值为. …………………………12分
20.（12分）
解法1： ……3分
即证. ………………………………5分

解法2：要证，只要证，
即证
………………………3分
只要证 ………………………5分
（2） ………………………7分
……………9分
设
………………………………12分
21.（12分）
（1） ………………………………4 分
（2）四支球队总积分一样，可以每次都是平局，
也可以每个队伍是一胜一负一平。 ………………………………6分
如:
A胜B负，A负C胜，AD平
BC平，B胜D负，C负D胜
不难发现，A的三种情况确定后，比赛结果是确定的，所以只要去看可能出现的情况，
A胜B负，A负C胜，AD平，
A负B胜，A胜C负，AD平
A胜B负，A负D胜，AC平 ,
A负B胜，A胜D负，AC平
A胜C负，A负D胜, AB平 ,
A负C胜，A胜D负，AB平
共6+1=7种 ………………………………9 分
………………………………12 分
22.（12分）
(1)如图建立空间直角坐标系
因为,
设
所以,,,
,,

所以,
,,.
设平面PBC的法向量，
由得
取，
解得. ………………………………3分
设平面PEC的法向量，
由得 取
设平面与平面所成锐二面角为，则
所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是 …………6分
(2)是四面体的表面积，，令与面所成角为,
…………………………8分
,因为是公垂线。上的点和上的点的最短距离是
（取不到等号，）
…………………………10分
…………………………12分