北师大版数学八年级下册 1.1.3 《等腰三角形（3）》课件+分层练习（含答案解析）

1.1.3等腰三角形（3）学习目标探索等腰三角形判定定理．0102理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。031.等腰三角形的两底角相等．（简写成“等边对等角”） ∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等边对等角)等腰三角形有哪些性质？文字语言符号语言2.等腰三角形是轴对称图形情境导入3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合．（简称“三线合一”）①∵AB=AC，BD=CD∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC②∵AB=AC，∠BAD=∠CAD∴BD=CD，AD⊥BC③∵AB=AC，AD⊥BC∴ BD=CD，∠BAD=∠CAD文字语言符号语言①②③中知一得二情境导入等腰三角形的判定 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么他们所对的角相等。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ABC探究新知猜想：若∠B= ∠C,则AB=AC做一做：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？3cm3cm测量后发现AB与AC相等.探究新知分析：如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明 AB=AC，只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC 成为对应边就可以了. 证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.求证：AB=AC .探究新知证明： 作AD⊥BC于点D，∴ ∠ADB= ∠ADC=90°.又∵ ∠B= ∠C ， AD=AD，∴ △ABD≌△ACD.∴ AB=AC.证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知：如图，在△ABC 中， ∠B= ∠C.求证：AB=AC .D探究新知归纳总结1．判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形．(简称等角对等边)应用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C, ∴AB＝AC. ACB探究新知归纳总结ACB2．等腰三角形的判定与性质的异同相同点：都是在一个三角形中；区别：判定是由角到边，性质是由边到角．即： ． 探究新知例： 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形.证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,∴△ABD≌△DCA(SSS),∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,∴AE=DE(等角对等边）,∴ △AED是等腰三角形.探究新知反证法小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等，即在△ABC 中， 如果 ∠B≠∠C，那么AB≠AC.你认为这个结论成立吗？如果成立，请证明.探究新知 如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,此时, AB与AC要么相等,要么不相等. 假设AB=AC, 那么根据“等边对等角”定理可得∠B=∠C, 但已知条件是 ∠B≠∠C，“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，因此AB≠AC.小明是这样想的:你能理解他的推理过程吗?利用了“反证法”探究新知归纳总结 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 探究新知归纳总结用反证法证题的一般步骤1. 假设: 先假设命题的结论不成立;2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与 定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题 的结论正确.探究新知例： 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证： ∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是 直角，即 ∠A= 90°，∠B = 90°.于是 ∠A＋∠B＋∠C = 90°＋ 90°＋ ∠C > 180°.这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是 直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.探究新知适宜用反证法证明的命题：反证法主要用于直接证明比较困难的命题，例如下面几种常见类型的命题就适宜用反证法：(1)结论以否定形式出现的命题，如钝角三角形中不能有两个钝角；(2)唯一性命题，如两条直线相交只有一个交点；(3)命题的结论以“至多”“至少”等形式叙述的命题，如一个凸多边形中至多有3个锐角．归纳总结探究新知1.把下列命题用反证法证明时的第一步写出来.（1）三角形中必有一个内角不小于60度；（2）一个三角形中不能有两个角是钝角；（3）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.假设三角形中三个内角都小于60度假设一个三角形中有两个角是钝角假设在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线不平行随堂练习2.已知△ABC三个内角的对边分别为a，b，c，则下列条件中，△ABC不是等腰三角形的是(　　)A. a=3，b=3，c=4B. a∶b∶c=4∶5∶6C. ∠B=50°，∠C=80°D. ∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2B随堂练习3.已知△ABC中，AB=AC，求证:∠B<90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;②因此假设不成立,所以∠B<90°;③假设在△ABC中,∠B≥90°;④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是　　　　　　.(填序号) ③④①②随堂练习4.在平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( 　　)A．5 B．6 C．7 D．8B随堂练习6. 如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中等腰三角形的个数是　　　　. 5. 在△ABC中,∠A=50°,若∠B=　　 　　,则△ABC是等腰三角形. 50°或65°3随堂练习7. 如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,AF与DE相交于点G.求证:GE=GF.证明:如图.∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,∵AB=DC,∠B=∠C,BF=CE,∴△ABF≌△DCE,∴∠1=∠2,∴GE=GF.随堂练习证明：∵ DE∥BC ， ∴∠DBC=∠EDB .又∵BD是∠ABC的平分线 ，∴∠ ABD= ∠CBD. ∴∠EDB = ∠ABD . ∴ BE=ED（等角对等边），∴ △EBD是等腰三角形.8.如图，在△ABC 中，∠ABC的平分线交 AC于点 D，DE∥BC.求证：△EBD是等腰三角形.随堂练习9. 用反证法证明:等腰三角形的两底角必为锐角.证明:①假设等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是直角,则　　　　　　　　, 从而　　　　　　　>180°, 这与　　　　　　　　　 矛盾. ②假设等腰三角形ABC的底角∠B,∠C都是钝角,则　　　　　　,从而　　　　　　　　　, 这与　　　　　　　 　矛盾. 综上所述,假设①②　　　　 ,所以∠B,∠C只能为　　　. 故等腰三角形的两底角必为锐角.∠B=∠C=90°∠A+∠B+∠C三角形内角和为180°∠B=∠C>90°∠A+∠B+∠C>180°三角形内角和为180°均不成立锐角随堂练习等腰三角形的判定等角对等边有两个角相等的三角形是等腰三角形反证法先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.课堂小结课程结束