北师大版数学九年级下册 1.5 《三角函数的应用》课件+分层练习（含答案解析）

1.5三角函数的应用学习目标正确理解方位角、仰角和坡角的概念； 三角函数在航海、测量、改造工程等方面的应用情境导入情境导入情境导入与方位角有关的实际问题方向角： 如图，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．探究新知ABC25° 例：如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.一货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55º的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25º的C处.之后，货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？ 55°探究新知AB55°C25°你是怎样想的？与同伴进行交流.20海里Dx Rt△ABD中, Rt△ACD中, ∴BC=BD－CD=x·tan55°－x·tan25° ∴x= ≈20.79 海里∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.探究新知例：如图, 一艘海轮位于灯塔P的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处.这时，B处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？65°34°探究新知65°34°解：如图，在Rt△APC中， PC =PA • cos(90°-65°) =80 × cos 25° ≈72. 505. 在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约 130 n mile.探究新知归纳总结 利用解直角三角形解决简单问题的一般解题步骤： 1. 将实际问题抽象为数学问题；2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；3. 得到数学问题的答案；4. 得到实际问题的答案.探究新知仰角和俯角问题仰角和俯角： 如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做_________，视线在水平线下方的叫做________．仰角俯角探究新知 例：欣赏完图片后，如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30º,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60º,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).探究新知答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=30º, ∠DBC=60º,AB=50m. 设CD=x, 则∠ADC=60º,∠BDC=30º,探究新知例 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．仰角水平线俯角探究新知解：如图，α = 30°,β= 60°， AD＝120．答：这栋楼高约为277.1m.探究新知归纳总结常见的俯角仰角问题的基本图形45°30°45030°45°450探究新知60°45°20020045°30°归纳总结常见的俯角仰角问题的基本图形探究新知利用坡角解决实际问题坡度和坡角： 如图，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l之比叫_______，用字母i表示，把坡面与水平面的夹角叫做_______，记做α，于是i＝____＝tanα，显然，坡度越大，α角越大，坡面就越陡．坡角坡度α为坡角坡度和坡角有什么区别？探究新知例：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).40°35°ABCD∟AC-AB=CD-BDCBAD=AB·sin40°AC=ADsin35°探究新知如图,∠ADB=90°, 求(1)AC-AB.AB=4m.∠ABD=40°,∠C=35°,解：∵sin40° ABAD∴AD=AB·sin40°∵sin35°ACAD∴AC=ADsin35°AB·sin40°sin35°4×0.6430.574答:调整后的楼梯会加长约0.48m.AC-AB=4.48-4探究新知如图,∠ADB=90°, 求CBAB=4m.∠ABD=40°,∠C=35°,解：∵tan40°BDADtan40°∴BD=AD∵tan35°CDADtan35°∴CD=AD∴CB=CD-BD=AD()=4×0.643()答:楼梯多占约0.61m长的一段地面.探究新知例 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.  45°30°4米12米ABCD探究新知解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知　 DE＝CF＝4（米），　 CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中， 在Rt△BCF中，同理可得 因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．　　答： 路基下底的宽约为22.93米．探究新知1. 课外活动小组测量学校旗杆的高度. 当太阳光线与 地面成30°角时，测得旗杆在地面上的影长为24米， 那么旗杆的高度约是 ( )B随堂练习2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得 ∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得 AC=100米，则B点到河岸AD的距离为 ( )A. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米B随堂练习3.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.4.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.100图1图2BCBC随堂练习4. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由 (参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).随堂练习 分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．随堂练习随堂练习5.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)． 分析： 将坝顶与坝脚的距离看做直角三角形的斜边，将坡角看做直角三角形的一个锐角，分别作AE，DF垂直于BC，构造直角三角形，求出BE，BF，进而得到AD的长．随堂练习随堂练习解直角三角形的简单应用一般解题步骤1. 将实际问题抽象为数学问题2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形3. 得到数学问题的答案4. 得到实际问题的答案课堂小结课程结束