广东省阳江市高新区2023-2024学年高二上学期1月期末监测数学试题

这是一份广东省阳江市高新区2023-2024学年高二上学期1月期末监测数学试题，共12页。试卷主要包含了设，，，则，已知正数，满足，则等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年度第一学期高二期末监测题
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则最小值为（ ）
A．5B．C．4D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知非零向量与满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱锥中，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，，分别取的中点E，F，G，连接，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知全国农产品批发价格200指数月度变化情况如图所示，下列选项正确的是（ ）
A．全国农产品夏季价格比冬季低
B．全国农产品批发价格200指数2022年每个月逐渐增加
C．2022年“菜篮子”产品批发价格指数与农产品批发价格200指数趋势基本保持一致
D．2022年6月农产品批发价格200指数大于126
7．直线与圆交于A，B两点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知正数，满足，则（ ）
A．的最小值为3B．的最小值为
C．的最小值为3D．的最大值为
10．在三棱锥中，已知，棱AC，BC，AD的中点分别是E，F，G，，则（ ）
A．过点的平面截三棱锥所得截面是菱形
B．平面平面
C．异面直线互相垂直
D．三棱锥外接球的半径为
不透明的袋中装有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球、2个白球，从袋中一次性取出2个球，记事件 “两球同色”，事件“两球异色”，事件 “至少有一红球”，则（ ）
A． B．
C．事件A与事件B是对立事件D．事件A与事件B是相互独立事件
12．已知为双曲线：上位于第一象限内一点，过点作x轴的垂线，垂足为，点与点关于原点对称，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A．若，则 B．若，则的面积为9
C． D．的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B袋内有大小相同的1个红球和2个白球.现从A、B两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为 .
14．若函数的定义域为，则的定义域为 ．
15．已知直三棱柱，底面三角形是等腰直角三角形，其中为直角顶点，且．若点为棱的中点，点为平面的一动点，则的最小值是 ．
16．已知函数且过定点，直线过定点，则
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在中,为的角平分线,且.
(1)若,,求的面积;
(2)若,求边的取值范围.
18．（12分）
如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，平面为内的动点(含边界).
(1)求平面与平面夹角的正弦值;
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
19．（12分）
古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．
(1)求频数分布表中a和b的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
(2)已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
20．（12分）
已知直线与圆相交于，两点.
(1)求；
(2)若为圆上的动点，求的取值范围.
21．（12分）
已知椭圆的离心率为，斜率为2的直线l与x轴交于点M，l与C交于A，B两点，D是A关于y轴的对称点．当M与原点O重合时，面积为．
(1)求C的方程；
(2)当M异于O点时，记直线与y轴交于点N，求周长的最小值．
22．（12分）
已知函数，，
(1)若对任意的，总存在，使得，求a的取值范围；
(2)设，记为函数在上的最大值，求的最小值.
样本分数段
频数
5
10
20
a
25
10
频率
0.05
0.1
0.2
b
0.25
0.1
2023-2024学年度第一学期高二期末监测题
数学参考答案及评分标准：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．ABD 10．ABD 11．BC 12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．5
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．
【解析】（1）因为,
所以,
得:,
解得,
所以.······················（4分）
（2）设,,
由得
,
即,
所以,
又在中,
所以,
得,
因为且,
得,
则,
所以,
即边的取值范围为.······················（10分）
18．
【解析】（1）以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意知，，又，则，
则，
所以，······················（4分）
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
则，
设平面与平面夹角为，则，
则，
即平面与平面夹角的正弦值为.······················（6分）
（2）如（1）建系及图可知，平面的法向量为，
平面的法向量为，
设，则，······················（2分）
因为平面面，所以，
解得，所以，
又因为平面，所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
又为内的动点(含边界)所以，解得，
所以，
令，则，
因为，所以，所以，
所以，所以，
两边同乘以3可得直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.·······（6分）
19．
【解析】（1）解：（1）由，解得，则，
由，所以，
由成绩在的频率为，所以中位数为，
平均数为．······················（6分）
（2）解：由表可知，分数在的市民人数为10人，成绩在的市民人数为20人，
故，
则，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．······················（6分）
20．
【解析】（1）∵圆
∴，
∴圆心为，半径，······················（4分）
则圆心到直线的距离：，
∴.······················（6分）
（2）表示圆上的任意点与连线的斜率，
设，即，则直线与圆有公共点，
∴
∴
∴的取值范围为.······················（6分）
21．
【解析】（1）当M与原点O重合时，可设，则有、，
且，即有,······················（2分）
则，
即，又，故，则，
即有，由离心率为，即，
则，故，即有，
解得，故，即C的方程为；
······················（6分）
（2）设直线方程为，令，有，即，
设点、，则，
联立直线与椭圆方程：，消去有，
，即，
有，，
为，
令，故，
由，故，
其中，即，
则
，
当且仅当时等号成立，
故周长的最小值为.
············································（6分）
22．
【解析】（1）若对任意的，总存在，使得，
则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.
函数图象的对称轴是直线，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
而，即，
所以在上的函数值的取值集合为.
①当时，，不符合题意，舍去；
②当时，在上单调递增，值域为，
只需，解得；
③当时，在上单调递减，值域为，
只需，无解；
综上，实数的取值范围为.······················（6分）
（2）由题意可得，此时的对称轴为，
当时，对于恒成立，所以，
此时，所以在上单调递增，则，
当时，对于恒成立，所以，
此时，所以在上单调递减，
则在上单调递增，则，
故当或时，在上单调递增，则；
当时，此时，
所以，
解得，
故当时，，
综上，，
当时，单调递减，没有最小值，
当或时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，
于是的最小值为············································（6分）