广东省湛江市2023-2024学年高一上学期1月期末调研测试数学试题

这是一份广东省湛江市2023-2024学年高一上学期1月期末调研测试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．命题“，有”的否定为（ ）
A．，使B．，使
C．，有D．，有
2．若集合，，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．的值为（ ）
A．0B．C．D．
4．已知函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
6．角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradient system）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．在R上定义新运算，若存在实数，使得成立，则m的最小值为（ ）
A．B．C．0D．
二、多选题
9．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
11．下列函数在上单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A．1B．3C．5D．7
三、填空题
13．函数的定义域为 ．
14．已知，满足，则 ．
15．德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数，其中表示“不超过x的最大整数”，如，，，则 ．
16．已知函数，若存在实数a，b，c满足，且，则的取值范围是 ．
四、解答题
17．（1）若的终边经过点，求的值；
（2）若，且，求的值．
18．已知幂函数的图象过点．
(1)求的值；
(2)若，求实数a的取值范围．
19．已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．
(1)当时，求与；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
20．随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x万斤司料.当时，年收入为万元；当时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.
(1)写出年利润与生产饲料数量x的函数关系式；
(2)求年利润的最大值.
21．已知函数．
(1)求的最小值及相应x的取值；
(2)若把的图象向左平移个单位长度得到的图象，求在上的单调递增区间．
22．已知函数．
(1)当时，求在上的最值；
(2)设函数，若存在最小值，求实数a的值．
参考答案：
1．A
【分析】根据全称命题否定为特称命题即可.
【详解】根据将全称命题否定为特称命题即可.可得“，有”的否定为“，使”，
故选：A．
2．B
【分析】利用集合运算求解阴影部分即可.
【详解】易知，故图中阴影部分表示的集合为，共4个元素，
故选：B．
3．D
【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.
【详解】.
故选：D．
4．D
【分析】根据题意，利用，得到，结合题意，即可求解.
【详解】由函数的图象知，，则，
因为，且处在函数的递减区间，所以，
又因为，所以.
故选：D．
5．C
【分析】根据零点存在性定理即可求解.
【详解】由于均为定义域（0,+∞）内的单调递增函数，
所以函数在上单调递增，至多只有一个零点，
且，，故，
故选：C．
6．B
【分析】根据题意可得40-00密位的圆心角的弧度为 ，进而根据扇形的弧长公式即可求解.
【详解】40-00密位的圆心角的弧度为，设该扇形的半径为r，由，
解得，
故选：B．
7．A
【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】因为，故C错误；
又因为，
故函数的图象关于对称，故B错误；
当趋近时，趋近，趋近，所以趋近正无穷，故D错误.
故选：A.
8．A
【分析】根据题意，转化为，令函数，，结合函数的奇偶性和单调性，求得，即可求解.
【详解】由，可得，
因为存在实数，使得，即，
令函数，，
由，可得是奇函数，且，
当时，，所以在上单调递减，所以，
同理可得，当时，，故，即，
所以实数的最小值为.
故选：A．
9．BC
【分析】依题意列举A、B中的元素，观察可得答案
【详解】依题意，
，，
观察可知A，D错误，B，C正确，
故选：BC．
10．AB
【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用赋值法判断C.
【详解】因为 ，所以 ，且，故，故A正确；
因为，所以，故，故B正确；
取，，，则，，故C错误；
因为 ，由，则，故D错误，
故选：AB．
11．BC
【分析】A选项，由对勾函数性质得到A错误；B选项，根据对数函数性质直接得到B正确；C选项，配方后得到函数的单调性；D选项，求出，故D错误.
【详解】A选项，由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
B选项，在上单调递增，故B正确；
C选项，在上单调递增，故C正确；
D选项，因为，，故D错误.
故选：BC．
12．AB
【分析】由，知函数的图象关于直线对称，结合可知是函数的零点，进而得到，，由在上单调，可得，进而，分类讨论验证单调性即可判断.
【详解】由，知函数的图象关于直线对称，
又，即是函数的零点，
则，，
即，.
由在上单调，
则，即，
所以.
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上单调递增，故符合题意；
当时，由，，得，，
又，所以，此时当时，，
所以在上不单调，故不符合题意.
综上所述，或3.
故选：AB.
13．
【分析】根据对数真数必须大于零可得不等式，求解得到定义域
【详解】依题意，，得，则，故所求定义域为．
故答案为：
14．0
【分析】根据三角函数的对称性可得，即可代入求解.
【详解】因为，由，得，所以．
故答案为：0
15．
【分析】通过已知条件确定取整函数的取值法则，即，；利用对数运算法则计算，进而确定的值.
【详解】，
因为为增函数，所以，，
故．
故答案为：
16．
【分析】画出分段函数图像，数形结合，找到三根的关系，利用图像交点求出最后结果.
【详解】作出函数的图象，
知，，
故，即的取值范围是．
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】（1）首先根据正切定义求出，再利用两角和的正切公式即可；
（2）根据同角三角函数关系求出，再利用两角和的正弦公式即可.
【详解】（1）因为的终边经过点，
所以，
所以．
（2）因为，则，且，
所以，，
所以
．
18．(1)
(2)
【分析】（1）代入点到函数中即可求解解析式，进而可求解值，
（2）根据函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）依题意，，解得，故（），
则．
（2）易知在上是增函数，
依题意，，解得，
故实数a的取值范围为．
19．(1)，．
(2)
【分析】（1）用集合的新定义求解即可；
（2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可.
【详解】（1），
当时，，
所以，
．
（2）因为“”是“”的必要条件，
所以，
故，
解得，
即实数a的取值范围是．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据年利润公式列分段函数解析式即可；
（2）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求分段函数的最值，比较即可得最大值.
【详解】（1）由题意，当时，；
当时，；
所以；
（2）当时，，
当且仅当即时等号成立；
当时，；
因为，所以当时，年利润有最大值为万元.
21．(1)时，取得最小值．
(2)，．
【分析】（1）化简得到，根据正弦型函数的性质，即可求解；
（2）化简得到，结合题意，利用正弦型函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以当，即时，取得最小值．
（2）由函数，
由，可得，
又，取时，可得；取时，可得；
所以在上的单调递增区间为，．
22．(1)最小值为；最大值8
(2)
【分析】（1）换元后结合二次函数单调性得到最值；
（2）令，求出，转化为在区间上存在最小值，分和两种情况，结合函数单调性，得到方程，求出实数a的值.
【详解】（1）当时，，
令，因为，所以．
所以，．
故当时，；当时，，
即当时，取得最小值；当时，取得最大值8．
（2），
令，则，当且仅当，即时，等号成立，
于是问题等价转化为在区间上存在最小值，
二次函数的对称轴方程为，
当，即时，在区间上单调递增，此时存在最小值，
令，解得，不符合题意，舍去；
当，即，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以存在最小值，
令，解得（负值舍去）．
综上得，．