广西桂林市2023-2024学年度高一上学期数学期末质量检测

这是一份广西桂林市2023-2024学年度高一上学期数学期末质量检测，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
5．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．三角形全等是三角形面积相等的
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（ ）
A．16B．17C．18D．19
二、多选题
9．若，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数B．的图象不过原点
C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增
11．甲、乙两袋里有除颜色外完全相同的球.从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，下列结论正确的是（ ）
A．从甲袋中摸出一个球，不是红球的概率是
B．从乙袋中摸出一个球，不是红球的概率是
C．从两袋中各摸出一个球，2个球都是红球的概率为
D．从两袋中各摸出一个球，2个球都不是红球的概率为
12．下列区间上，函数有零点的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．某公司生产、、三种型号的新能源汽车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，则种型号的新能源车应抽取 辆.
14．已知幂函数的图象经过点，则 .
15．已知，则的最小值为 .
16．一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2.现样本加入新数据4，5，6，此时样本容量为10，方差为 .
四、解答题
17．已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．2023年11月，首届全国学生（青年）运动会在广西举行.10月31日，学青会火炬传递在桂林举行，广西师范大学有5名教师参与了此次传递，其中男教师2名，女教师3名.现需要从这5名教师中任选2名教师去参加活动.
(1)写出试验“从这5名教师中任选2名教师”的样本空间；
(2)求选出的2名教师中至多有1名男教师的概率.
19．已知函数.
(1)判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)求在上的值域.
20．在某校进行男生身高调查，随机抽取100名男生，测得他们的身高（单位：），并按照区间，，，，分组，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该校一位男生的身高位于区间的概率及该校男生身高的分位数；
(2)估计该校男生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值为代表）.
21．疫情后全国各地纷纷布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：一工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足（为常数，且），日销售量（单位：件）与时间（单位：天）的部分数据如下表：
(1)给出以下三个函数模型：①；②；③.请你根据上面的数据图表，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出的解析式；
(2)已知第2天该工艺品的日销售收入为220元.求在过去的30天中，哪几天该工艺品的日销售收入不低于588元.
22．已知函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若的最大值是，求的值；
(3)已知，，当的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.
（天）
2
14
18
22
26
30
44
128
140
144
140
128
参考答案：
1．C
【分析】根据交集的含义即可得到答案.
【详解】根据交集的含义得，
故选：C.
2．A
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题“，”的否定是“，”，
故选:A．
3．B
【分析】根据对数型函数定义域即可得到不等式，解出即可.
【详解】由题意得，解得，则其定义域为，
故选：B.
4．C
【分析】直接解出一元二次不等式即可.
【详解】即，解得，
即该不等式的解集为，
故选：C.
5．A
【分析】利用指数函数和对数函数的图象和性质判断即可.
【详解】解：由于中的底数，所以为减函数，所以排除BC，
由于中的底数，所以为增函数，所以排除D，
故选：A.
6．A
【详解】当三角形的面积相等时，三角形不一定全等，但是三角形全等时面积一定相等.
即：三角形全等是三角形面积相等的充分但不必要条件.
本题选择A选项.
7．A
【分析】由指数函数的性质可得，则对数函数的性质可得，即可得答案.
【详解】解：因为，，
，且，所以，
所以.
故选：A.
8．D
【分析】确定2023年初的种群数量为时的函数值，根据题意可列不等式，结合对数运算即可求得答案.
【详解】由题意可知2023年初的种群数量为时的函数值，
故令，即，
则，，
由于，故n的最小值为19，
故选：D
9．AC
【分析】根据不等式性质逐项分析判断.
【详解】因为，由不等式的性质可知：，，故A正确；D错误；
可知，则，即，故B错误；
可知，可得，故C正确；
故选：AC.
10．BC
【分析】根据函数奇偶性即可判断A，利用函数定义域即可判断B，根据反比例函数的性质即可判断CD,
【详解】对A，的定义域为，关于原点对称，
且，则为偶函数，故A错误；
对B，当时，函数无意义，则的图象不过原点，故B正确；
对C，当时，，显然其在上单调递增，故C正确；
对D，当时，，显然其在上单调递减，故D错误
故选：BC.
11．ACD
【分析】对于AB：根据对立事件概率求法分析求解；对于CD：根据独立事件概率求法分析求解.
【详解】记“甲袋中摸出一个红球”为事件A，“乙袋中摸出一个红球”为事件B，
则，
对于选项A：可知“甲袋中摸出一个球，不是红球”为事件，
所以，故A正确；
对于选项B：可知“乙袋中摸出一个球，不是红球”为事件，
所以，故B错误；
对于选项C：可知“从两袋中各摸出一个球，2个球都是红球”为事件，
所以，故C正确；
对于选项D：可知“从两袋中各摸出一个球，2个球都不是红球”为事件，
所以，故D正确；
故选：ACD.
12．AD
【分析】根据零点存在定理结合函数单调性分析即可.
【详解】由题意得且，解得且，
则该函数的定义域为，
当时，时，；当时，，
又因为函数图象在连续不间断，且在上均单调递增，
则在上单调递增，
则在上存在唯一零点，使得；
当时，因为，且时，，
又因为函数图象在连续不间断，且在上均单调递增，
则在上单调递增，
则在上存在唯一零点，使得；
综上，AD正确，BC错误.
故选：AD.
【点睛】关键点睛：本题的关键是灵活运用零点存在定理和函数单调性相关结论，同时需要有一定的极限思想，最后即可得到函数零点所在区间.
13．6
【分析】根据分层抽样的定义即可得到答案.
【详解】根据分层抽样定义得得种型号的新能源车应抽取，
故答案为：6.
14．9
【分析】图象经过的点代入函数解析式，求出，得到，再求即可.
【详解】幂函数的图象经过点,则有，解得，
所以，有.
故答案为：9
15．
【分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．
【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可.
【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，
所以，，
所以.
当加入新数据4，5，6后，平均数，
方差.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）代入值，根据并集的概念即可；
（2）根据包含关系得到不等式组，解出即可.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）因为，所以，
又，
所以，
，解得.
所以实数的取值范围为
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）写出所有可能发生的情况即可；
（2）写出所有满足题意的情况数，根据古典概型即可计算概率.
【详解】（1）将2位男教师记为，3位女教师记为，
则样本空间，共10个样本点.
（2）设事件表示“选出的2名教师中至多有1名男教师”,
则，
中包含9个样本点,所以.
19．(1)在上单调递增，证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用定义法取值、作差、变形再判断符号即可；
（2）根据函数单调性即可得到其值域.
【详解】（1）在上单调递增.
证明：任取，且，
，
，且，
，即，
在上单调递增.
（2）由（1）可知在上单调递增，
，
所以在上的值域为.
20．(1)；
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率估计概率运算求解，并根据百分位数的定义求分位数；
（2）直接利用平均数公式求出平均数.
【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为，
身高位于区间的频率为，
用频率估计概率，估计该校一位男生的身高位于区间的概率为，
又因为的人数占比为0.10，的人数占比为0.20.
可知该校100名生学身高的分位数落在.
设该校100名生学身高的分位数为x，则，解得.
故该校100名生学身高的分位数为.
（2）根据频率分布直方图，由平均数公式可得：
21．(1)
(2)第18天至第25天该工艺品的日销售收入不低于588元.
【分析】（1）根据题意可知随着的增加，先增后减，则选择模型②，然后利用表格中数据即可求解解析式.
（2）由（1）中结论得出每天的收入为，从而可求解.
【详解】（1）由题中表格知，随着的增加，先增后减，而模型①与③都是单调函数不符题意，
模型②为二次函数模型，符合题意，故选模型②，
由函数图象对称性可知，
由表格数据可得，解得，
所以.
（2）已知第2天该工艺品的日销售收入为220元，即售价为，
所以，解得，所以，
所以销售收入，
日销售收入不低于588元，所以只需，解得.
所以在过去的30天中，第18天至第25天该工艺品的日销售收入不低于588元.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据对数和指数函数单调即可求解；
（2）设，通过二次函数的性质分析即可；
（3）通过二次函数单调性得到，再代入利用韦达定理结合二次函数根的分布得到不等式组，解出即可.
【详解】（1）当时，，
则，解得，
故不等式的解集为.
（2）当时，，不合题意；
时，设，令.
①若开口向上没有最大值，故无最大值，不合题意;
②当时，此时对称轴，函数的最大值是，
所以，
解得或(舍)，
所以.
（3）当时，设，
而的对称轴，
所以当时，为增函数，故为增函数.
因为函数的定义域为时，的值域为，
，
；，
所以为方程的两根.
故有两个大于1的不同实根.
所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用换元法结合二次函数函数的性质进行合理分类讨论即可，第三问的关键是将其转化为二次函数根的分布，从而得到不等式组.