河南省新乡市2023-2024学年高一上学期期末测试数学试题

这是一份河南省新乡市2023-2024学年高一上学期期末测试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．“”是是幂函数”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：
则该零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
6．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
7．若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数且在上的值域为，则的值为（ ）
A．或B．0或C．或D．或
二、多选题
9．若某扇形的周长为18，面积为20，则该扇形的半径可能为（ ）
A．2B．4C．5D．10
10．已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数对任意恒有，且，则（ ）
A．B．可能是偶函数
C．D．可能是奇函数
12．已知函数且，下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的图象与直线一定没有交点
C．若的图象与直线有2个交点，则的取值范围是
D．若的图象与直线交于两点，则线段长度的取值范围是
三、填空题
13． ； .
14．已知，则 .
15．已知函数在上是减函数，则的取值范围是 .
16．若函数在上恰有3个零点分别为，，，则 ，的取值范围为 .
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
18．已知函数为偶函数.
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.
19．已知函数满足，且的图象经过点.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域.
20．已知函数.
(1)将化为的形式；
(2)若，求的值.
21．如图，一个半径为5米的筒车按逆时针每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为2.5米.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：秒）之间的关系为.
(1)求的值；
(2)5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？
22．已知函数且.
(1)若，函数，求的定义域；
(2)若，求的取值范围.
参考答案：
1．A
【分析】化简集合，根据交集直接求解.
【详解】由题意可得，
则.
故选：A
2．C
【分析】根据幂函数定义及充分必要条件关系可判断.
【详解】令，得，
故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3．B
【分析】根据分段函数解析式直接求解即可.
【详解】依题意得.
故选：B
4．D
【分析】根据结合两角差的正切公式计算即可.
【详解】.
故选：D.
5．C
【分析】先判定函数的单调性，然后将表中数据按照从小到大排列，根据函数零点存在性定理即可求解.
【详解】因为函数和都是上的单调增函数，所以函数为单调递增函数.
将表格中数据按照从小到大排列如下：
由表格可得：.
由函数零点存在性定理可得：函数有唯一零点，所在的区间为.
故选：C.
6．D
【分析】根据函数图象的平移变换,结合奇函数，即可得到答案.
【详解】依题意函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得，即，
因为为奇函数，所以，解得，
因为，所以.
故选：D.
7．B
【分析】构造函数，利用函数的单调性，寻找中间值比较大小．
【详解】因为，
所以，因为，所以.
故选：B．
8．A
【分析】先根据对数函数的单调性求出函数的值域，再分和两种情况讨论，结合指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以函数在上的值域为，
当时，在上单调递减，则，解得，
则，得，
当时，在上单调递增，则，解得或（舍去），
则，得，
综上，或.
故选：A.
9．BC
【分析】根据扇形的周长公式和面积公式求解即可.
【详解】设该扇形的半径为，弧长为，则，解得或5.
故选：BC
10．ABD
【分析】对于A，对于B，由基本不等式即可得到结果；对于C，由“1”的代换及基本不等式即可得到结果；对于D，由对数的运算及基本不等式即可求得结果.
【详解】对于A，由题意可得，A正确.
对于B，因为,，所以，当且仅当时，等号成立，B正确.
对于C，，
当且仅当，即时，等号成立，C错误.
对于D，，D正确.
故选：ABD
11．AB
【分析】根据条件，通过赋值法，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，令，得，则，所以选项A正确；
令，得，则，
对于选项B，若是偶函数，则，所以选项B正确；
对于选项D，若是奇函数，则，所以不可能是奇函数，所以选项D错误；
对于选项C，令，得，所以选项C错误；
故选：AB.
12．ABC
【分析】对于A，利用偶函数的定义判断即可；对于B，讨论和时的单调性及最值即可判断；对于C，的图象与直线有2个交点，等价于方程有两个实数根，根据的图象即可得到结果；对于D，由C项分析知，线段的长度为即可判断选项.
【详解】，所以是偶函数，正确.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，此时的图象与直线没有交点.
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，此时的图象与直线没有交点，
故的图象与直线一定没有交点，B正确.
令，则，即.若的图象与直线有2个交点，
则1，解得.又因为且，所以的取值范围是，C正确.
由，解得，所以，错误.
故选：ABC.
13． 1
【分析】利用指数运算性质，对数运算性质，对数的概念进行运算即可．
【详解】，
.
故答案为：；1．
14．
【分析】由二倍角公式及诱导公式即可求得结果.
【详解】因为，所以.
由，得，
则.
故答案为：.
15．
【分析】由复合函数的单调性及在上恒成立，列出不等关系即可求解.
【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减.
由解得.
故答案为：
16． 4
【分析】利用换元法，根据的范围，求出的范围，将函数零点问题转化为函数的图象与直线的交点问题，利用数形结合求解即可.
【详解】由，得，
因为，令，则，
在上恰有3个零点，
，的图象与直线有三个交点，
，，，
所以，得，
所以，
在上恰有3个零点，
，得.
故答案为：4；.
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，再计算并集即可.
（2）根据集合的包含关系和集合，两种情况，得到不等式，即可解得答案.
【详解】（1）由，解得：，
时，，
所以.
（2）当时，，解得；
当时，，解得.
综上，的取值范围为.
18．(1)0
(2)在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）由偶函数的概念即可求解；
（2）根据函数单调性的定义，利用定义法证明即可.
【详解】（1）由题意可得，
则，
解得.
（2）在上单调递减.
证明：令，则，
，
即，
故在上单调递减.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用指数和对数的互化公式，代入点的坐标即可求解；
（2）利用换元法直接求解函数值域即可.
【详解】（1）因为，所以.
又因为的图象经过点，所以，
解得，
故的解析式为.
（2）当时，，令，
则，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，
又，
所以的值域为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式即辅助角公式即可求解.
（2）先根据求出；再结合，利用平方关系求出；最后利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为
.
（2）由，得，则.
因为，
所以，
所以.
所以
.
21．(1)
(2)100
【分析】（1）根据最大值与最小值求出求的值，根据周期求出得值，根据特殊点求出的值；
（2）由（1）得，解三角不等式，即可求得5分钟内，盛水筒在水面下的时间.
【详解】（1）由图可知，的最大值为的最小值为，
则，
.
因为筒车按逆时针每分钟转2圈，所以，
所以.
当时，，所以，则，
因为，所以.
（2）由（1）得，
令，则，得，
则，
解得，
5分钟秒，则令，得，
故5分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数函数性质求解析式有意义的x的范围即可；
（2）分和两种情况，分别研究和恒成立问题，即可得到答案.
【详解】（1），代入可得：
，
有意义可得，所以，
的定义域为.
（2）.
因为且，所以恒成立.
若，则函数是增函数.
因为，所以，即.
设，要使时，恒成立，
只需或
解得.
故符合题意.
若，则函数是减函数.
因为，所以，即.
结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立.
故不符合题意.
综上，的取值范围为.