四川省内江市2023-2024学年高一上学期期末检测数学试题

这是一份四川省内江市2023-2024学年高一上学期期末检测数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，，则是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．单位圆上一点绕坐标原点O逆时针方向转动后，到达点，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则的终边在（ ）
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限D．第一、二、四象限
8．已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为a、b，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
9．若非空集合M，N，P满足：，，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．将手表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°
B．终边经过点的角的集合是
C．若，则为第一象限角
D．半径为3 cm，圆心角为30°的扇形面积为
11．已知是上的增函数，那么实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数，下面四个结论中正确的是（ ）
A．的值域为
B．是偶函数
C．在区间上单调递增
D．的图象与的图象有4个不同的交点
三、填空题
13．已知集合，则的非空子集的个数是 ．
14．若，则 ， .
15．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数在区间恰有2024个零点，则的一个可能取值是 ．
四、解答题
17．已知二次函数.
(1)当时，解关于的不等式；
(2)若的解集是，解关于的不等式
18．设不等式的解集为，不等式的解集为，集合.
(1)求，；
(2)若，求实数的取值范围.
19．已知函数的周期为．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
20．已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．
21．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加，假设基金平均年利率为，资料显示：2013年诺贝尔奖发放后基金总额约为20000万美元，设表示第年诺贝尔奖发放后的基金总额（2013年记为，2014年记为，…，依此类推）．
(1)用表示和，并根据所求结果归纳出函数的表达式；
(2)试根据的表达式判断网上一则新闻“2023年度诺贝尔奖各项奖金高达130万美元”是否为真，并说明理由．
（参考数据：，，，）
22．已知函数，，设．
(1)求的值；
(2)是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出的取值集合；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】列举反例说明ACD；利用不等式的性质判断B.
【详解】对于A：当时，，A错误；
对于B：，，所以，B正确；
对于C：当时，满足，但，C错误；
对于D：当时，满足，，D错误.
故选：B.
2．C
【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】解：因为命题，是存在量词命题，
所以其否定为全称量词命题，即，，
故选：C
3．C
【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可.
【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误；
选项B：定义域不是，值域为，故错误；
选项C：定义域和值域均为，故正确；
选项D：不满足函数的定义，故错误；
故选：C.
4．A
【分析】先用三角函数表示点坐标，然后通过旋转可求出点坐标，利用诱导公式计算即可.
【详解】单位圆上一点，即，其绕坐标原点O逆时针方向转动后，到达点，
则，
又，
，
所以.
故选：A.
5．D
【分析】分别从充分性和必要性角度去判断即可.
【详解】由得，由得，
当，时，满足，但不满足；
当，时，满足，但不满足；
故“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
6．A
【分析】将指数式两边同时取常用对数，然后利用对数的运算法则计算即可.
【详解】由的，
所以，
解得，
故选：A.
7．D
【分析】先通过条件确定的范围，再求出的范围，进而可得角所在象限.
【详解】因为，，
所以为第二象限角，即，
所以，
则的终边所在象限为所在象限，
即的终边在第一、二、四象限.
故选：D.
8．B
【分析】作出函数图像，利用反函数的性质判断即可.
【详解】
设，，，，
因为与互为反函数，图像关于对称，
设它们与的交点坐标分别为，
可知交点坐标也关于直线对称，所以，即.
故选：B
9．ACD
【分析】先根据交集、并集运算的结果得到，然后再逐项进行判断.
【详解】因为，，所以，所以，
对于A：因为，所以，故正确；
对于B：因为，所以不一定成立，故错误；
对于C：因为，所以，故正确；
对于D：因为，，所以，故正确；
故选：ACD.
10．BD
【分析】顺时针转动了，判断A选项；根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合,判断B选项；根据同号，确定角所在象限判断C选项；扇形面积公式进行求解，判断D选项
【详解】A选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动，故分针转过的角度是，故A错误；
B选项，终边经过点的角的终边在直线上，故角的集合是，B正确；
C选项，若，则为第一象限角或第三象限角，故C错误；
D选项，扇形面积为，故D正确．
故选：BD．
11．AC
【分析】先分析各段函数在对应区间上单调递增，然后结合分段点处函数值大小关系确定出的可取值.
【详解】当时，，若单调递增，则，解得，
当时，，若单调递增，则，解得，
又，解得，
综上可知，，可得AC符合.
故选：AC.
12．ABD
【分析】利用函数性质逐项判断即可.
【详解】对于A，由题当定义域为R，时，当时，
，当且仅当时取等号，
则，所以的值域为，A正确；
对于B，，，所以是偶函数，B正确；
对于C，当时，，由但，
显然在区间上不单调递增，C错误；
对于D，的图象与的图象有交点个数等于方程解的个数，
由，
解得，所以或四个解，
所以的图象与的图象有4个不同的交点，故D正确；
故选：ABD
13．
【分析】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解.
【详解】,
集合中有个元素，
则的非空子集的个数是.
故答案为：.
14．
【分析】利用换元法令求出解析式即可求出答案.
【详解】令，则，
故答案为:；
15．
【分析】采用常数分离法转化为恒成立，只需求的最小值即可.
【详解】对任意正实数，不等式恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当即时取“＝”.
所以
故答案为：
16．2023（答案不唯一）.
【分析】利用整体法得到，再根据零点个数得到右边界的范围即可.
【详解】当，时，，令，则，
因为其在区间恰有2024个零点，
所以，解得，则可取2023，
故答案为：2023（答案不唯一）.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）将代入，解二次不等式即可得解；
（2）由题意得是方程的两根，从而求得，进而解二次不等式即可得解.
【详解】（1）当时，，
则不等式，即为
即，解得，
所以的解集为.
（2）因为的解集是，
所以是方程即的两根，
则，解得，
所以可化为，
即，解得或，
所以的解集为或.
18．(1)；
(2)
【分析】（1）先化简集合，再结合集合的交集和补集的运算即可；
（2）由，得，再结合包含关系列出不等式组，即可解.
【详解】（1）由，得，由，得，
则，；
（2）若，则，
当时，，此时，解得：；
当时，，此时，解得：，则，
综上：
19．(1)
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）由周期计算公式求出然后根据正弦函数单调递减区间可得答案；
（2）由题可得，后由正弦函数图象和性质可得答案.
【详解】（1）因为函数的周期为，
所以，，即，
所以，
令，，即，，
函数的单调递减区间为.
（2）因为，所以，
所以，即，
在区间上的最大值为，最小值为.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数对称性和最小值设顶点式，代入零点即可得到解析式；
（2）分和讨论即可；
（3）通过分离参数法和基本不等式即可求出的范围.
【详解】（1）因为对都有，
所以的图象关于直线对称，
又因为二次函数的最小值为，
所以可设二次函数的解析式为，
又因为是其一个零点，
所以，解得，
所以的解析式为.
（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
当时，，
.
（3）因为关于的不等式在区间上有解，
即不等式在上有解，所以，
记，因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，
所以，即，
故存在实数符合题意，所求实数的取值范围为.
21．(1)
(2)真新闻，理由见解析
【分析】（1）由题意求得和，结合指数式的特点，由此归纳出的表达式；
（2）先计算出2022年诺贝尔奖发放后基金总额及2023年诺贝尔奖各项金额，从而判断新闻的真假.
【详解】（1）由题意可得，
，
所以；
（2）2022年诺贝尔奖发放后基金总额为，
2023年诺贝尔奖各项金额为，
和新闻“2023年度诺贝尔奖各项奖金高达130万美元”一样，
因此是真新闻.
22．(1)
(2)
【分析】（1）直接代值计算即可；
（2）首先确定函数为奇函数，并观察出函数为单调减函数，然后利用单调性和奇偶性去掉，将恒成立问题转化为最值问题求解即可.
【详解】（1）由已知，
所以；
（2），其定义域为，
又，
所以函数为奇函数，
又，
因为均为定义域上的减函数，
所以函数在上单调递减，
因为恒成立，
即，
所以
即对恒成立，
所以，即，
故存在这样的负实数，使对一切恒成立，且的取值集合为.
【点睛】关键点点睛：针对一个复杂函数的不等式恒成立问题，要有意识有目的的去求函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质来解决不等式问题.