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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后作业题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课后作业题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
二、多选题
6．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
7．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．时，满足的点有2个B．时，满足的点有4个
C．的周长等于D．的最大值为a2
8．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）
A．5B．4C．D．
三、填空题
9．若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．
10．若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围是_______
11．已知点，的周长是，则的顶点的轨迹方程为___.
四、解答题
12．曲线任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，求的方程.
13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆的长半轴为，半焦距长为；
（2）经过点，且与椭圆有共同的焦点；
（3）经过两点．
14．已知是椭圆两个焦点，且椭圆的长轴长为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的面积.
参考答案
1．D
【分析】
利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离.
【详解】
由椭圆方程知：，又，，
∴.
故选：D
2．B
【分析】
根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由于方程表示椭圆，
所以.
故选：B
3．C
【分析】
根据椭圆的定义即可求出．
【详解】
设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而，所以．
故选：C．
4．B
【分析】
根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程．
【详解】
因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．
故选：B．
5．A
【分析】
由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】
设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
6．AD
【分析】
利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可.
【详解】
解：圆与圆的圆心分别为：；，
则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为，
所以的最大值为；
的最小值.
故选：AD.
7．ABD
【分析】
对和，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点，利用余弦定理与基本不等式即可得到答案；
对，结合椭圆定义及和的大小关系即可得到答案；
对，结合椭圆定义及基本不等式即可得到答案.
【详解】
对和，
又
又
当时，，两个短轴端点恰能使，正确；
当时，，点位于短轴端点时，为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使，正确；
对，，的周长为，错误；
对，，，正确.
故选：.
8．BC
【分析】
根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积.
【详解】
由可得，，所以，
根据对称性只需考虑或，
当时，将代入可得，
如图：，，所以的面积为，
当时，由椭圆的定义可知：，
由勾股定理可得，
因为，
所以，解得：，
此时的面积为，
综上所述：的面积为或.
故选：BC.
9．##
【分析】
根据三角形的面积的最大值求得，进而求得，从而求得椭圆方程.
【详解】
依题意，椭圆焦点在轴上，
三角形的面积的最大值为，
所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：
10．
【分析】
利用椭圆的标准方程，结合焦点在y轴上，列出不等关系，求解即可
【详解】
由题意，
解得：
则实数m的取值范围是
故答案为：
11．
【分析】
由于点P满足，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且的椭圆（由于P与M、N不共线，故），再利用待定系数法求解.
【详解】
由于点P满足，
知点P的轨迹是以M、N为焦点，且的椭圆（由于P与M、N不共线，故），
∴，
又，∴，
故的顶点P的轨迹方程为，
故答案为：.
12．
【分析】
设点，根据条件建立等式，化简即可；
【详解】
设，由题意：，
化简得：，即C的方程为：.
13．（1），或；（2）；（3）。
【分析】
（1）根据椭圆的性质即可求出椭圆的短半轴，即可求出结果.
（2）先求出椭圆的交点坐标为，设所求椭圆方程为，再根据题意和椭圆的性质，列出方程组，即可求出结果.
（3）设椭圆的方程为，将两点的坐标代入椭圆方程，求出待定系数的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】
（1）因为椭圆的长半轴为，半焦距长为，
所以短半轴，所以椭圆方程为，或；
（2）∵椭圆化为标准方程，得，焦点为，
∴设经过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆方程为，
由题意，得，解得，∴所求椭圆方程为；
（3）设椭圆的方程为：，
将代入方程，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为：．
14．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题可得，从而可得方程；
（2）设，在中利用余弦定理可得，进一步可求得的面积．
【详解】
（1）由题意知,
∴，又，
∴，
椭圆方程为.
(2)设，
由椭圆的定义得，又，
在中由余弦定理得，
得，
.
1．若椭圆上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．设P是椭圆上的点，P到该椭圆左焦点的距离为2，则P到右焦点的距离为（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若椭圆内一点A(1,1)，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
二、多选题
6．已知是椭圆上一动点，，分别是圆与圆上一动点，则（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
7．已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（ ）
A．时，满足的点有2个B．时，满足的点有4个
C．的周长等于D．的最大值为a2
8．已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ）
A．5B．4C．D．
三、填空题
9．若椭圆的两焦点分别为，，点P在椭圆上，且三角形的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．
10．若椭圆＋＝1的焦点在y轴上，则实数m的取值范围是_______
11．已知点，的周长是，则的顶点的轨迹方程为___.
四、解答题
12．曲线任意一点到点的距离与它到直线的距离之比等于，求的方程.
13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆的长半轴为，半焦距长为；
（2）经过点，且与椭圆有共同的焦点；
（3）经过两点．
14．已知是椭圆两个焦点，且椭圆的长轴长为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的面积.
参考答案
1．D
【分析】
利用椭圆的定义有，结合已知即可求A到焦点的距离.
【详解】
由椭圆方程知：，又，，
∴.
故选：D
2．B
【分析】
根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由于方程表示椭圆，
所以.
故选：B
3．C
【分析】
根据椭圆的定义即可求出．
【详解】
设该椭圆左焦点为，右焦点为，由题可知，所以，而，所以．
故选：C．
4．B
【分析】
根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程．
【详解】
因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．
故选：B．
5．A
【分析】
由椭圆定义把转化为到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.
【详解】
设椭圆的右焦点为，，，
又，，
当三点共线时取等号，的最小值为3（取最小值时是射线与椭圆的交点），
故选：A.
6．AD
【分析】
利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可.
【详解】
解：圆与圆的圆心分别为：；，
则、是椭圆的两个焦点坐标，两个圆的半径为，
所以的最大值为；
的最小值.
故选：AD.
7．ABD
【分析】
对和，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点，利用余弦定理与基本不等式即可得到答案；
对，结合椭圆定义及和的大小关系即可得到答案；
对，结合椭圆定义及基本不等式即可得到答案.
【详解】
对和，
又
又
当时，，两个短轴端点恰能使，正确；
当时，，点位于短轴端点时，为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使，正确；
对，，的周长为，错误；
对，，，正确.
故选：.
8．BC
【分析】
根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积.
【详解】
由可得，，所以，
根据对称性只需考虑或，
当时，将代入可得，
如图：，，所以的面积为，
当时，由椭圆的定义可知：，
由勾股定理可得，
因为，
所以，解得：，
此时的面积为，
综上所述：的面积为或.
故选：BC.
9．##
【分析】
根据三角形的面积的最大值求得，进而求得，从而求得椭圆方程.
【详解】
依题意，椭圆焦点在轴上，
三角形的面积的最大值为，
所以，
所以椭圆方程为.
故答案为：
10．
【分析】
利用椭圆的标准方程，结合焦点在y轴上，列出不等关系，求解即可
【详解】
由题意，
解得：
则实数m的取值范围是
故答案为：
11．
【分析】
由于点P满足，知点P的轨迹是以M、N为焦点，且的椭圆（由于P与M、N不共线，故），再利用待定系数法求解.
【详解】
由于点P满足，
知点P的轨迹是以M、N为焦点，且的椭圆（由于P与M、N不共线，故），
∴，
又，∴，
故的顶点P的轨迹方程为，
故答案为：.
12．
【分析】
设点，根据条件建立等式，化简即可；
【详解】
设，由题意：，
化简得：，即C的方程为：.
13．（1），或；（2）；（3）。
【分析】
（1）根据椭圆的性质即可求出椭圆的短半轴，即可求出结果.
（2）先求出椭圆的交点坐标为，设所求椭圆方程为，再根据题意和椭圆的性质，列出方程组，即可求出结果.
（3）设椭圆的方程为，将两点的坐标代入椭圆方程，求出待定系数的值，进而求出椭圆的方程．
【详解】
（1）因为椭圆的长半轴为，半焦距长为，
所以短半轴，所以椭圆方程为，或；
（2）∵椭圆化为标准方程，得，焦点为，
∴设经过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆方程为，
由题意，得，解得，∴所求椭圆方程为；
（3）设椭圆的方程为：，
将代入方程，得，解得，所以所求椭圆的标准方程为：．
14．（1）；（2）.
【分析】
（1）由题可得，从而可得方程；
（2）设，在中利用余弦定理可得，进一步可求得的面积．
【详解】
（1）由题意知,
∴，又，
∴，
椭圆方程为.
(2)设，
由椭圆的定义得，又，
在中由余弦定理得，
得，
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