高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆测试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若将一个椭圆绕其中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆中是“对偶椭圆”的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1
3．椭圆焦距为（ ）
A．B．8C．4D．
4．已知椭圆的离心率为，直线与圆相切，则实数m的值是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点做倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
6．已知椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．椭圆的长轴长为
C．椭圆的短轴长为1
D．椭圆的离心率为
7．椭圆的离心率为，则的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．已知是椭圆：上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是( )
A．点纵坐标为
B．
C．的周长为
D．的内切圆半径为
三、填空题
9．椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的________倍．
10．已知椭圆C：的左，右焦点分别为，P为椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为___________.
11．已知椭圆， 焦点F1（-c，0）， F2（c，0）（c> 0），若过F1的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则椭圆的离心率是_______.
四、解答题
12．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程
13．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，AB为椭圆的一条弦，直线y=kx（k>0）经过弦AB的中点M，与椭圆C交于P，Q两点，设直线AB的斜率为，点P的坐标为（1，）
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：为定值.
14．设椭圆的中点是坐标原点，焦点在轴上，离心率，已知点到椭圆上一点的最远距离是，求椭圆的标准方程.
参考答案
1．A
【分析】
根据给定定义可得椭圆的短半轴长与半焦距相等，再对各选项逐一计算判断作答.
【详解】
由“对偶椭圆”定义得：短半轴长b与半焦距c相等的椭圆是“对偶椭圆”，
对于A，，即，A是“对偶椭圆”；
对于B，，即，B不是“对偶椭圆”；
对于C，，即，C不是“对偶椭圆”；
对于D，，即，D不是“对偶椭圆”.
故选：A
2．A
【分析】
根据条件，求得，进而可得椭圆的标准方程
【详解】
由题意，长轴，长轴三等分后，
故，
则该椭圆的标准方程是＋＝1
故选：.
3．A
【分析】
由题意椭圆的焦点在轴上，故，求解即可
【详解】
由题意，，故椭圆的焦点在轴上
故焦距
故选：A
4．B
【分析】
根据椭圆的离心率为，得，从而得到直线方程，再根据直线与圆的位置关系代数解法即可求出．
【详解】
由题意知，，则，∵直线，即，代入得，，由解得．
故选：B．
5．A
【分析】
设,过点的直线方程为,联立,根据，得到，再结合韦达定理，由求解.
【详解】
设,过点的直线方程为,
由,得,
由韦达定理得:,,
因为，
所以，
则，即，
解得，
因为，
所以，
故选：A
6．AB
【分析】
由题意，，结合，可得，根据椭圆的性质依次验证，即得解
【详解】
由题意，
，即
或
当时，不成立
故，A正确；
此时
故长轴长，B正确；
短轴长，C错误；
离心率，D错误
故选：AB
7．BD
【分析】
讨论焦点位置，进而利用离心率计算公式计算即得结论．
【详解】
①，，则，则，即，解得，
②，，则，则，即，解得，
故选：BD．
8．BCD
【分析】
对于选项A：首先求出焦距，然后利用三角形面积即可求解；对于选项B：结合椭圆定义，利用余弦定理求解焦点三角形面积，根据已知条件即可求解；对于选项C：根据椭圆方程和定义即可求解；对于选项D：利用三角形面积与内切圆半径之间的关系求解即可.
【详解】
不妨设，，由题意可知，椭圆的长半轴长，短半轴长，
故，即，
对于选项A：因为的面积为，故A错误；
对于选项B：不妨令，，，
由椭圆定义可知，，且，
故利用余弦定理可得，，
从而的面积，
因为，的面积为，所以，故B正确；
对于选项C：由的周长为，故C正确；
对于选项D：由面积，(其中为内切圆半径)，解得，，故D正确.
故选：BCD.
9．2
【分析】
根据题设条件可得与一焦点构成等边三角形的两顶点必是短轴二端点，由此求出半焦距与短半轴长的关系即可得解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
因椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则这两个顶点为椭圆短轴的二端点，于是得，
，即，
所以椭圆的长轴长是短轴长的2倍.
故答案为：2
10．##
【分析】
首先根据和的大小判断出以为直径的圆在椭圆的内部，从而得出或，从而可求出的面积.
【详解】
易知，因为，所以以为直径的圆在椭圆的内部，
即以为直径的圆与椭圆没有交点，
所以要使为直角三角形，则或.
不妨设，则，即，
所以的面积为.
故答案为：.
11．
【分析】
由几何关系可得为，结合相似三角形可得的比例关系，联立焦点三角形公式即可求解
【详解】
由题可知，，，故，因为过F1的直线和圆相切，所以，又PF2⊥x轴，故，即，设则，椭圆离心率
故答案为：
12．（1）； （2）或.
【分析】
（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出椭圆方程；
（2）设直线l为，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，再利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程，可求出的值，从而可得直线的方程.
【详解】
（1）因为椭圆经过点，离心率为，
所以，，
因为，所以得，
所以椭圆方程为，
（2）设直线l为，设，
由，得，
由，得，
由根与系数的关系得，
因为
所以
，
解得，
所以直线的方程为或
13．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据题意可列方程组，解之即得；
（2）利用“点差法”即证.
【详解】
（1）由题意知解得
故椭圆的方程为.
（2）证明：设，，，由于A，B为椭圆C上的点，所以，，
两式相减得，
所以.
又，
故，为定值.
14．.
【分析】
设椭圆的标准方程，根据离心率可得，再应用两点距离公式，结合椭圆的有界性，求椭圆上的点到最远距离为时参数a、b，进而写出椭圆方程.
【详解】
依题意，可设椭圆的标准方程：（），则，
∴，即，
设椭圆上到的距离为，则（），
若，则当时有最大值，于是，解得，与矛盾，
∴必有，此时，有最大值，于是，解得，
∴，，
∴所求椭圆的标准方程为.