（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第29讲 抛物线（讲义+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第29讲 抛物线（讲义+解析），共16页。试卷主要包含了抛物线的定义，抛物线的标准方程与几何性质等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
1.抛物线的定义
(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
考点和典型例题
1、抛物线的定义和标准方程
【典例1-1】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【典例1-2】抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【典例1-3】已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例1-4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【典例1-5】已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2、抛物线的几何性质及应用
【典例2-1】对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
【典例2-2】已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-3】抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A．B．C．D．
【典例2-4】已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
【典例2-5】已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4B．8C．10D．16
3、抛物线的综合问题
【典例3-1】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
【典例3-3】已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-4】已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【典例3-5】已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
第29讲 抛物线
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
1.抛物线的定义
(1)一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
考点和典型例题
1、抛物线的定义和标准方程
【典例1-1】过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】
如图所示，设，，
因为，所以点到准线的距离为3，
所以，得，
因为，
所以，
所以，得，
所以的值为，
故选：C
【典例1-2】抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】
由题意知，焦点坐标为，准线方程为，
由到焦点距离等于到准线距离，得，则，
，可得，
故选：A.
【典例1-3】已知抛物线上的一点到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】
由题可知，抛物线准线，可得，解得，
所以该抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：A.
【典例1-4】焦点在直线上的抛物线的标准方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【详解】
解：直线与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，-3），
当以（4，0）为焦点时，抛物线的标准方程为，
当由（0，-3）为焦点时，抛物线的标准方程为，
故选：B
【典例1-5】已知直线恒过定点，抛物线：的焦点坐标为，为抛物线上的动点，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
方程可化为，
所以直线恒过定点，
因为抛物线：的焦点坐标为，
所以，即，
所以，
过点作准线，垂足为，则，
过点作准线，垂足为，
所以，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为3，
故选：C.
2、抛物线的几何性质及应用
【典例2-1】对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为D．开口向右，焦点为
【答案】A
【详解】
由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为.
故选：A.
【典例2-2】已知过点的直线与抛物线相交于，两点，点，若直线，的斜率分别为，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
因为过点的直线与抛物线相交于，两点，
所以可设，，直线的方程为：，
由得，因此，，
且，
又直线，的斜率分别为，，点，
所以，，
因此，
当时，；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以；
当时，，
且，
当且仅当，即时，等号成立；
所以，
综上.
故选：C.
【典例2-3】抛物线与圆交于、两点，圆心，点为劣弧上不同于、的一个动点，平行于轴的直线交抛物线于点，则的周长的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：如图，
可得圆心也是抛物线的焦点，
过作准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得
故的周长，
由可得，.
的取值范围为
的周长的取值范围为
故选：.
【典例2-4】已知圆与抛物线相交于M，N，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】B
【详解】
因为圆与抛物线相交于M，N，且，
由对称性，不妨设，
代入抛物线方程，则，解得，
所以，
故
故选：B
【典例2-5】已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（ ）
A．4B．8C．10D．16
【答案】B
【详解】
以为圆心，半径为5的圆的方程为,
由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，
又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，
∴它们的交点A,B关于x轴对称，
因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，
∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,
不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,
又∵A在圆上，∴,解得,
故选：B.
3、抛物线的综合问题
【典例3-1】已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
由题意知：，；
，，
；
令，则，
，
则当，即时，取最大值，此时.
故选：C.
【典例3-2】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于点P，Q，M，N，则的最小值为（ ）
A．23B．26C．36D．62
【答案】B
【详解】
解法一：设抛物线的方程，则，得，
所以抛物线方程为，焦点，圆，圆心，半径，可得圆心恰好是抛物线的焦点，即直线l过焦点F.
设直线l的方程为：，设P、Q坐标分别为和，
由联立，得，∴，
，∴，，
，当且仅当，即，时取等号.
解法二：，又，
，
当且仅当，即，时等号成立.
故选：B.
【典例3-3】已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
当时，，显然，解得，故，解得，故抛物线，焦点坐标为
故选：A
【典例3-4】已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【解析】(1)
∵点在抛物线C上，
∴，解得，
∴抛物线C的方程为.
(2)
证明：设直线，，，
联立，消去y可得，，
由韦达定理有，，
∴，即得证.
【典例3-5】已知抛物线的焦点为，为坐标原点．
(1)过作垂直于轴的直线与抛物线交于两点，的面积为．求抛物线的标准方程；
(2)抛物线上有两点，若为正三角形，求的边长．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
由抛物线方程知：，为抛物线的通径，则，
，解得：，
抛物线的标准方程为：.
(2)
为正三角形，，由抛物线对称性可知：轴，
设，则，解得：，，
，，解得：，
，即的边长为.
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下