（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第29练 抛物线（原卷版+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
3．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
4．抛物线上A点到焦点F的距离为，则点A的纵坐标为（ ）
A．1B．C．D．
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
8．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
9．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（ ）
A．10B．14C．12D．16
10．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若，则点P的坐标为
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为，则的最小值为4
12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
三、解答题
13．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
14．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
15．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
第29练 抛物线
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】
解：抛物线的焦点为，准线方程为，
所以焦点到准线的距离；
故选：A
2．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，则点的横坐标为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】C
【详解】
解：设点的横坐标为，抛物线的准线方程为，
点在抛物线上，，
，．
故选：C．
3．过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
4．抛物线上A点到焦点F的距离为，则点A的纵坐标为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：由题得，所以抛物线的准线方程为.
设点纵坐标为,则，所以.
故选：A
5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则点P到准线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【详解】
解：由抛物线，可知，准线的方程为，
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，所以，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
6．已知抛物线E:的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：抛物线的准线为，所以，
由题意可知直线的斜率存在，
故设直线为，，，
则，即，
所以，，
因为，即，
所以，
所以或，
所以.
故选：B
7．已知O是坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上一点，且，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【详解】
由题可知，解得，所以的面积为，
故选：C
8．已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】A
【详解】
因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
9．已知抛物线，点，是曲线W上两点，若，则的最大值为（ ）
A．10B．14C．12D．16
【答案】C
【详解】
设抛物线的焦点为F，则,焦准距,准线方程为，
根据抛物线的定义得，．
又，所以．
因为，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即，
所以的最大值为12，
故选：C
10．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为是上位于第一象限内的一点，若在点处的切线与轴交于点，与轴交于点，则与相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
解：如图，设，由，得，
所以在点处的切线方程为，从而，
根据抛物线的定义，得
又，，所以
由，，得是的中点，则，从而．
故选：B．
二、多选题
11．已知抛物线C：的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点F到抛物线准线的距离为2
B．若，则点P的坐标为
C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2
D．若点M的坐标为，则的最小值为4
【答案】AD
【详解】
由抛物线的解析式知，所以抛物线的焦点，准线方程为，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故选项A正确；
设抛物线上点，则，解得，故，则点P的坐标有两个，故选项B错误；
过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为，故选项C错误；
由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时，取得最小值，即，故选项D正确，
故选；AD．
12．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【答案】ABD
【详解】
对A：因为抛物线方程为，其焦点在轴上，故其焦点为，A正确；
对B：显然过点的直线斜率存在，故可设经过焦点的直线方程为，
联立抛物线方程可得：，可得，，故B正确；
对C：若，则，，三点共线，则，
由中所得可知：，故错误；
对D：，即，即，
∴，故正确.
故选：.
三、解答题
13．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)是，
【解析】(1)
由题意可得，
则，解得.
故抛物线的方程为.
(2)
由（1）可知，设.
因为三点共线，所以，
即，即，
整理得.
因为，所以.
由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为关于轴对称，所以，则，解得.
故直线的方程为，即直线恒过点.
14．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
【答案】(1)y2＝4x(2)证明见解析
【解析】(1)
P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
(2)
证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，
，同理：，
由题意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
15．已知抛物线上的点与焦点的距离为，且点的纵坐标为.
(1)求抛物线的方程和点的坐标；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，证明直线过定点.
【解析】(1)
设，则，解得：，
抛物线；.
(2)
由题意知：直线斜率不为零，可设，，，
由得：，，即；
，；
，，
又，；
则（此时成立），
直线，
当时，，直线恒过定点.