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（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第30练 圆锥曲线的综合应用（原卷版+解析）
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这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第30练 圆锥曲线的综合应用（原卷版+解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
2．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
3．已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
4．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5B．m＜－4C．m＜－4或m＞5D．－4＜m＜5
5．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
6．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．2
二、多选题
11．已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
12．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为，点M到平面ABC的距离为，若，则（ ）
A．B．点M到直线AB的距离等于
C．点M的轨迹为一段圆弧D．点M的轨迹长度为
三、解答题
13．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
14．已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
15．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
第30练 圆锥曲线的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【详解】
到轴的距离是2，可得，焦点
则点到焦点的距离为2.
故选:B.
2．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【详解】
由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴
故选：C
3．已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【详解】
双曲线的一条渐近线为，
将代入得，
所以双曲线的离心率.
故选：C
4．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5B．m＜－4C．m＜－4或m＞5D．－4＜m＜5
【答案】D
【详解】
由题设，，可得.
故选：D
5．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
【答案】A
【详解】
如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.
设，，因为，，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，
所以或.
因为，所以，故.
故选：A
6．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
依题意，以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，点，
设双曲线C的方程为，其渐近线为，因直线为一条渐近线，
则有，双曲线C的离心率为.
故选：B
7．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
8．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】A
【详解】
因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为椭圆的离心率，所以.
因为，所以，
所以椭圆的蒙日圆的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以.
因为，当时，等号成立，
所以面积的最大值为：.
由面积的最大值为36，得，得，进而有，，
故椭圆的长轴长为.
故选：B
10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．2
【答案】C
【详解】
依题意，，令，，则有，
由得：，即有，
而，所以.
故选：C
二、多选题
11．已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
【答案】BCD
【详解】
解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
12．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为，点M到平面ABC的距离为，若，则（ ）
A．B．点M到直线AB的距离等于
C．点M的轨迹为一段圆弧D．点M的轨迹长度为
【答案】AD
【详解】
解：在中，因为，，，
由余弦定理得，故A正确.
过点M作AB的垂线，垂足为G，作平面ABC的垂线，垂足为H，过点M作PA的垂线，垂足为N，连接HG.
因为二面角的大小为，所以，
所以，又因为，所以，故B错误，
点的轨迹是的角平分线，故C错误，
设的角平分线为AQ，在中，由余弦定理得，
由角平分线定理得，又因为，则，
在中，所以，
所以点M的轨迹长度为，所以D正确.
故选：AD.
三、解答题
13．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
【解析】(1)
由题知：，
将点代入方程得：，解得，
椭圆C的标准方程为.
(2)
由(1)知，.
设，则，
直线的方程为，
令，则，即，
直线的方程为，
令，则，即
，即.
14．已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】(1)
点与点的距离比它到直线的距离小，
点与点的距离和点到直线的距离相等，
由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
即曲线的方程为：.
(2)
设，，，
由得：，则，即；
，，
，；
，，即；
当时，，恒过定点.
15．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)是定值，
【解析】(1)
由题意得，，渐近线方程为，
则到渐近线的距离为，
又因为，
所以，，，
故双曲线的标准方程为.
(2)
设直线：，，，，
联立方程组得，
所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为.
因为，，
所以
，
即为定值.
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
2．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
3．已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
4．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5B．m＜－4C．m＜－4或m＞5D．－4＜m＜5
5．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
6．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．2
二、多选题
11．已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
12．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为，点M到平面ABC的距离为，若，则（ ）
A．B．点M到直线AB的距离等于
C．点M的轨迹为一段圆弧D．点M的轨迹长度为
三、解答题
13．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
14．已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
15．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
第30练 圆锥曲线的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知抛物线上一点到轴的距离是2，则点到焦点的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【详解】
到轴的距离是2，可得，焦点
则点到焦点的距离为2.
故选:B.
2．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【详解】
由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴
故选：C
3．已知双曲线C：的一条渐近线过点P（1，2），则它的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【详解】
双曲线的一条渐近线为，
将代入得，
所以双曲线的离心率.
故选：C
4．若方程表示的图形是双曲线，则m的取值范围是（ ）
A．m＞5B．m＜－4C．m＜－4或m＞5D．－4＜m＜5
【答案】D
【详解】
由题设，，可得.
故选：D
5．已知抛物线的焦点为F，准线为，过的直线与抛物线交于A，B两点，与准线交于C点，若，且，则（ ）
A．4B．12C．4或16D．4或12
【答案】A
【详解】
如图，过A，B向作垂线，垂足分别为D，E，则.
设，，因为，，
所以.因为，所以，.
设直线的方程为，
联立方程组得，则.
因为，
所以或.
因为，所以，故.
故选：A
6．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
依题意，以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，点，
设双曲线C的方程为，其渐近线为，因直线为一条渐近线，
则有，双曲线C的离心率为.
故选：B
7．已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
在椭圆中，由椭圆的定义可得，
因为，所以，在中，，
由余弦定理得，
即所以所以的离心率.
故选：C
8．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】A
【详解】
因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
9．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆：的蒙日圆方程为，，分别为椭圆的左、右焦点.离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q两点，若面积的最大值为36，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为椭圆的离心率，所以.
因为，所以，
所以椭圆的蒙日圆的半径为.
因为，所以为蒙日圆的直径，
所以，所以.
因为，当时，等号成立，
所以面积的最大值为：.
由面积的最大值为36，得，得，进而有，，
故椭圆的长轴长为.
故选：B
10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设的面积为S，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．2
【答案】C
【详解】
依题意，，令，，则有，
由得：，即有，
而，所以.
故选：C
二、多选题
11．已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
【答案】BCD
【详解】
解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
12．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，点M为侧面△PAB上的动点，点M到直线PA的距离为，点M到平面ABC的距离为，若，则（ ）
A．B．点M到直线AB的距离等于
C．点M的轨迹为一段圆弧D．点M的轨迹长度为
【答案】AD
【详解】
解：在中，因为，，，
由余弦定理得，故A正确.
过点M作AB的垂线，垂足为G，作平面ABC的垂线，垂足为H，过点M作PA的垂线，垂足为N，连接HG.
因为二面角的大小为，所以，
所以，又因为，所以，故B错误，
点的轨迹是的角平分线，故C错误，
设的角平分线为AQ，在中，由余弦定理得，
由角平分线定理得，又因为，则，
在中，所以，
所以点M的轨迹长度为，所以D正确.
故选：AD.
三、解答题
13．已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
【解析】(1)
由题知：，
将点代入方程得：，解得，
椭圆C的标准方程为.
(2)
由(1)知，.
设，则，
直线的方程为，
令，则，即，
直线的方程为，
令，则，即
，即.
14．已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】(1)
点与点的距离比它到直线的距离小，
点与点的距离和点到直线的距离相等，
由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
即曲线的方程为：.
(2)
设，，，
由得：，则，即；
，，
，；
，，即；
当时，，恒过定点.
15．已知双曲线：的右焦点为，左顶点为A，且，到C的渐近线的距离为1，过点的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为，，判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)是定值，
【解析】(1)
由题意得，，渐近线方程为，
则到渐近线的距离为，
又因为，
所以，，，
故双曲线的标准方程为.
(2)
设直线：，，，，
联立方程组得，
所以，.
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为.
因为，，
所以
，
即为定值.
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（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第33练 概率（原卷版+解析）： 这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第33练 概率（原卷版+解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
