（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第32讲 计数原理（讲义+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第32讲 计数原理（讲义+解析），共15页。试卷主要包含了分类加法计数原理，分步乘法计数原理等内容，欢迎下载使用。
知识梳理
基本计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
排列与组合
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示.
(2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二项式系数的性质
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
考点和典型例题
1、基本计数原理
【典例1-1】（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24B．96C．174D．175
【典例1-2】（2023·山西大同·高三阶段练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（ ）
A．72B．144C．48D．36
【典例1-3】（2023·全国·高三专题练习（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53B．52C．51D．50
【典例1-4】（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（ ）
A．350B．500C．550D．700
【典例1-5】（2023·全国·高三专题练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（ ）种.
A．B．
C．D．
2、排列与组合
【典例2-1】（2023·全国·高三专题练习）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【典例2-2】（2023·全国·高三专题练习（理））教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种B．64种C．72种D．80种
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（ ）
A．150B．180C．240D．540
【典例2-4】（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的安排方案有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【典例2-5】（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））贵阳一中体育节中，乒乓球球单打12强中有4个种子选手，将这12人平均分成3个组（每组4个人）、则4个种子选手恰好被分在同一组的分法有（ ）
A．21B．42C．35D．70
3、二项式定理
【典例3-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（理））的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．540B．135C．18D．1215
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）按降幕排列的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第项和第项B．第项
C．第项和第项D．第项
【典例3-3】（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（ ）
A．7B．21C．35D．21或35
【典例3-4】（2023·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．84B．56C．35D．21
【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．992B．－32C．－33D．496
名称
定义
排列
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象
并按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列
组合
并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！).
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)
＝eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq \\al(0,n)＝1
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m＋1,n)＋Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1)
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增减性
二项式系数Ceq \\al(k,n)
当k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的
当k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
第32讲 计数原理
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
基本计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
排列与组合
1.排列与组合的概念
2.排列数与组合数
(1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号Aeq \\al(m,n)表示.
(2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号Ceq \\al(m,n)表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n).
2.二项式系数的性质
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
考点和典型例题
1、基本计数原理
【典例1-1】（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24B．96C．174D．175
【答案】D
【详解】
若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，
若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，
有种参观方式；
若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，
有种参观方式；
若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，
有种参观方式，
综上：共有种参观方式.
故选：D
【典例1-2】（2023·山西大同·高三阶段练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是（ ）
A．72B．144C．48D．36
【答案】A
【详解】
先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有种方法，
再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有种方法，
所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：.
故选：A.
【典例1-3】（2023·全国·高三专题练习（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53B．52C．51D．50
【答案】C
【详解】
第一轮分成6个组进行单循环赛共需要场比赛，淘汰赛有如下情况：16进8需要8场比赛，8进4需要4场比赛，4进2需要2场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要场比赛
故选：C．
【典例1-4】（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））某医院从7名男医生（含一名主任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（ ）
A．350B．500C．550D．700
【答案】C
【详解】
所选医生中只有一名男主任医师的选法有，
所选医生中只有一名女主任医师的选法有，
所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有，
故所选医师中有主任医师的选派方法共有种，
故选：C
【典例1-5】（2023·全国·高三专题练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（ ）种.
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
分以下两种情况讨论：
①若甲只收集一种算法，则甲有种选择，将其余种算法分为组，再分配给乙、丙、丁三人，
此时，不同的收集方案种数为种；
②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算种算法中选择种，其余种算法分配给乙、丙、丁三人，
此时，不同的收集方案种数为种.
综上所述，不同的收集方案种数为种.
故选：C.
2、排列与组合
【典例2-1】（2023·全国·高三专题练习）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种B．24种C．36种D．48种
【答案】B
【详解】
因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
【典例2-2】（2023·全国·高三专题练习（理））教育部于2022年开展全国高校书记校长访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（ ）
A．60种B．64种C．72种D．80种
【答案】A
【详解】
解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为：种
又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，
因为3名校长选的3家企业完全相同有种，
则不同的安排方法共有：种.
故选：A.
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（ ）
A．150B．180C．240D．540
【答案】A
【详解】
先把5名同学分为3组：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），
再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.
则5名同学选课的种数为（种）
故选：A
【典例2-4】（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的安排方案有（ ）
A．6种B．12种C．18种D．24种
【答案】B
【详解】
由题意可知：应将志愿者分为三人组和两人组.
先将小李､小明之外的三人分为两组，有种分法，再将小李､小明分进两组，有种分法，
最后将两组分配安装两个吉祥物，有种分法，所以共计有种.
故选：B
【典例2-5】（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））贵阳一中体育节中，乒乓球球单打12强中有4个种子选手，将这12人平均分成3个组（每组4个人）、则4个种子选手恰好被分在同一组的分法有（ ）
A．21B．42C．35D．70
【答案】C
【详解】
4个种子选手分在同一组，即剩下的8人平均分成2组，方法有种，
故选:C．
3、二项式定理
【典例3-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（理））的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（ ）
A．540B．135C．18D．1215
【答案】B
【详解】
由题意得，所以，所以展开式的通项，
令，得，
所以展开式中的常数项为．
故选：B．
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）按降幕排列的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第项和第项B．第项
C．第项和第项D．第项
【答案】B
【详解】
因为的展开式通项为，
其中第项和第项的二项式系数最大，但第项的系数为正，第项的系数为负，
故按降幕排列的展开式中，系数最大的项是第项.
故选：B.
【典例3-3】（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中，某一项的系数为7，则展开式中第三项的系数是（ ）
A．7B．21C．35D．21或35
【答案】B
【详解】
解：由题意，展开式的通项为，
所以某一项的系数为7，即，解得n＝7，r＝1或n＝7，r＝6，
所以展开式中第三项的系数是．
故选：B．
【典例3-4】（2023·全国·高三专题练习）二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．84B．56C．35D．21
【答案】B
【详解】
解：因为二项式为，
所以其展开式中，含项的二项式系数为：
，
，
，
，
，
.
故选：B
【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则（ ）
A．992B．－32C．－33D．496
【答案】D
【详解】
由题意知：，则，解得；令，则，
令，则，两式相加得，则.
故选：D.
名称
定义
排列
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象
并按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列
组合
并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合
公式
(1)Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,（n－m）！).
(2)Ceq \\al(m,n)＝eq \f(Aeq \\al(m,n),Aeq \\al(m,m))＝eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)
＝eq \f(n！,m！（n－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq \\al(0,n)＝1
性质
(1)0！＝1；Aeq \\al(n,n)＝n！.
(2)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)；Ceq \\al(m＋1,n)＋Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(m＋1,n＋1)
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)
增减性
二项式系数Ceq \\al(k,n)
当k＜eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递增的
当k＞eq \f(n＋1,2)(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值