（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第1讲 集合与常用逻辑用语（讲义+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、_______、无序性.
(2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：______、______、图示法.
(4)常用数集及记法
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作______.
(3)相等：若A⊆B，且______，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5.全称量词与存在量词
(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示.
6.全称量词命题和存在量词命题
7.充分条件、必要条件与充要条件的概念
考点和典型例题
集合的性质
【例题1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合P={x|0A．{1,2}B．{2,4}C．{0,2}D．{3,4}
【例题1-2】（2022·山东聊城·二模）已知集合A=0,1,2，B=aba∈A,b∈A，则集合B中元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【例题1-3】（2022·海南海口·模拟预测）已知集合M=−2,0,1，N=xx2+ax−2=0，若N⊆M，则实数a＝（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【例题1-4】（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅,∅
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
集合的运算
【例题2-1】（2022·广东韶关·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则 ∁UA∪B=（ ）
A．{4，5}B．{1，2}
C．{2，3}D．{1，2，3，4}
【例题2-2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知全集为R，集合A=x15x<1，B=x1x≥1，则A∩∁RB=（ ）
A．xx≤0B．x01D．∅
【例题2-3】（2022·河北唐山·二模）设全集U=R，集合A=0,1,2，B=xx≥2，则A∩∁UB=（ ）
A．0,1,2B．0,1C．2D．xx<2
【例题2-4】（2022·广东·二模）已知集合M=x|xx−2<0,N=x|x−1<0，则M∩N=（ ）
A．−∞,2B．−∞,1C．0,1D．1,2
【例题2-5】（2022·广东潮州·二模）已知集合A=xx≤−1或x>2，则∁RA=（ ）．
A．x−1≤x<2B．x−1C．x−1量词命题的否定、充分条件和必要条件
【例题3-1】（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“∃x0∈0,+∞，lnx0≥x0−1”的否定是（ ）
A．∃x0∈0,+∞，lnx0C．∀x∈0,+∞，lnx【例题3-2】（2022·山东济宁·二模）“x>y”的一个充分不必要条件是（ ）
A．lnx>lnyB．x2>y2C．x3>y3D．1x<1y
【例题3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知p:−1A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【例题3-4】（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））直线l:y=kx+1−k与函数y=1−x2的图象有两个公共点的充要条件为（ ）
A．k>0B．0【例题3-5】（2022·山西吕梁·模拟预测（理））“∃x>0，使得a≤xx2+x+1成立”的充要条件是（ ）
A．a≤13B．a≥13C．a≤12D．a≥12
综合应用
【例题4-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件p:A={x∣x2−4ax+4a2−1≤0}，条件q:B={x∣x2−x−2≤0}．U=R．
(1)若a=1，求∁U(A∩B)．
(2)若q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．
【例题4-2】（2022·北京密云·高三期中）设n≥2且n∈N，集合U={1,2,3,4,⋯,2n}，若对U的任意k元子集Vk，都存在a,b,c∈Vk，满足：ac，且a+b+c为偶数，则称Vk为理想集，并将k的最小值记为K.
(1)当n=2时，是否存在理想集？若存在，求出相应的K；若不存在，请说明理由；
(2)当n=3时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的Vk 以及满足条件的a,b,c；若不存在，请说明理由；
(3)证明：当n=4时，K=6.
【例题4-3】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5−2xx+2>1的解集是A，关于x的不等式x2−4mx−5m2≤0的解集是B.
(1)若m=1，求A∩B；
(2)若A∪B=B，求实数m的取值范围.
(3)设p:实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a>0，命题q:实数x满足x2−x−6≤0x2+2x−8>0.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【例题4-4】（2022·北京丰台·二模）设I1=a1,b1，I2=a2,b2，…，In=an,bn，In+1=an+1,bn+1，是n+1n∈N∗个互不相同的闭区间，若存在实数x0使得x0∈Iii=1,2,…,n+1，则称这n+1个闭区间为聚合区间，x0为该聚合区间的聚合点．
(1)已知I1=1,3，I2=−2,sint0(2)已知I1=a1,b1，I1=a2,b2，…，In=an,bn，In+1=an+1,bn+1为聚合区间．
（ⅰ）设x0，y0是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，j∈1,2,…,n+1，使得ak,bj⊆Iii=1,2,…,n+1；
（ⅱ）若对任意p，q（p≠q且p，q∈1,2,…,n+1），都有Ip，Iq互不包含．求证：存在不同的i，j∈1，2，⋯，n+1，使得bi−aj≥n−1nbi−ai．
【例题4-5】（2022·北京朝阳·一模）对非空数集X，Y，定义X与Y的和集X+Y=x+yx∈X,y∈Y.对任意有限集A，记A为集合A中元素的个数.
(1)若集合X=0,5,10，Y=−2,−1,0,1,2，写出集合X+X与X+Y；
(2)若集合X=x1,x2,⋯,xn满足x1(3)设集合X=x1,x2,⋯,xn满足x1名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
______
______
______
______
______
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
______
{x|x∈U，且x∉A}
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中的任意一个x，有q(x)成立
存在M中的一个x，使p(x)成立
简记
______
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，綈q(x)
______
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p
集合与常用逻辑用语
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
2.集合间的基本关系
(1)子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.记作AB(或BA).
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
5.全称量词与存在量词
(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“∀”表示.
(2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示.
6.全称量词命题和存在量词命题
7.充分条件、必要条件与充要条件的概念
考点和典型例题
集合的性质
【例题1-1】（2022·北京密云·高三期中）已知集合P={x|0A．{1,2}B．{2,4}C．{0,2}D．{3,4}
【详解】
因为P={x|0所以M可能为{2,3}，A对，
又 0∉M，4∉M，
∴ M不可能为{2,4}，{0,2}，{3,4}，B，C，D错，
故选：A.
【例题1-2】（2022·山东聊城·二模）已知集合A=0,1,2，B=aba∈A,b∈A，则集合B中元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【详解】
解：因为A=0,1,2，a∈A,b∈A，所以ab=0或ab=1或ab=2或ab=4，
故B=aba∈A,b∈A=0,1,2,4，即集合B中含有4个元素；
故选：C
【例题1-3】（2022·海南海口·模拟预测）已知集合M=−2,0,1，N=xx2+ax−2=0，若N⊆M，则实数a＝（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【详解】
对于集合N，因为Δ=a2+8>0，
所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为N⊆M，所以N=−2,1，
所以−a=−2+1=−1．即a＝1．
故选：B.
【例题1-4】（2022·湖南·雅礼中学二模）已知集合A={∅,∅}，下列选项中均为A的元素的是（ ）
（1）∅（2）∅（3）∅（4）∅,∅
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（2）（4）
【详解】
集合A有两个元素：∅和∅，
故选：B
集合的运算
【例题2-1】（2022·广东韶关·二模）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3}，则 ∁UA∪B=（ ）
A．{4，5}B．{1，2}
C．{2，3}D．{1，2，3，4}
【详解】
A∪B=1,2,3，则∁UA∪B=4,5，
故选：A．
【例题2-2】（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知全集为R，集合A=x15x<1，B=x1x≥1，则A∩∁RB=（ ）
A．xx≤0B．x01D．∅
【详解】
集合A=x15x<1，解得A=x|x>0，
∵B=x1x≥1，1x≥1⇔1−xx≥0⇔x1−x≥0x≠0⇒0∴B=x|0由集合交集运算得到：A∩∁RB= xx>1.
【例题2-3】（2022·河北唐山·二模）设全集U=R，集合A=0,1,2，B=xx≥2，则A∩∁UB=（ ）
A．0,1,2B．0,1C．2D．xx<2
【详解】
解：因为B=xx≥2，所以∁UB=xx<2，又A=0,1,2；
所以A∩∁UB=0,1；
【例题2-4】（2022·广东·二模）已知集合M=x|xx−2<0,N=x|x−1<0，则M∩N=（ ）
A．−∞,2B．−∞,1C．0,1D．1,2
【详解】
集合M=x|xx−2<0=x|0则M∩N= x|0故选：C
【例题2-5】（2022·广东潮州·二模）已知集合A=xx≤−1或x>2，则∁RA=（ ）．
A．x−1≤x<2B．x−1C．x−1【详解】
因为A=xx≤−1或x>2，所以∁RA= x−1故选：B
量词命题的否定、充分条件和必要条件
【例题3-1】（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“∃x0∈0,+∞，lnx0≥x0−1”的否定是（ ）
A．∃x0∈0,+∞，lnx0C．∀x∈0,+∞，lnx【详解】
由特称命题的否定知原命题的否定为：∀x∈0,+∞，lnx故选：C.
【例题3-2】（2022·山东济宁·二模）“x>y”的一个充分不必要条件是（ ）
A．lnx>lnyB．x2>y2C．x3>y3D．1x<1y
【详解】
因为lnx>lny，所以x>y>0，由于x>y>0⇒x>y，而x>y⇒x>y>0，故A选项满足题意；
令x=−2,y=0，则满足x2>y2，但不满足x>y，故B错误；
由x3>y3得：x>y，故C选项是一个充分必要条件，故C选项错误；
令x=−2,y=1，则满足1x<1y，但不满足x>y，D错误.
故选：A
【例题3-3】（2022·江西南昌·二模（文））已知p:−1A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【详解】
对于不等式2x+1由图象可知，不等式2x+1因为x−1故选：B.
【例题3-4】（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））直线l:y=kx+1−k与函数y=1−x2的图象有两个公共点的充要条件为（ ）
A．k>0B．0【详解】
由题意知直线l:y=kx+1−k定点(1,1)，函数y=1−x2的图象是以0,0为圆心，1为半径的半圆，
如图所示．易求l1，l2的斜率分别为0，12，
由图知，当l介于l1与l2之间（含l2）时，l与函数y=1−x2的图象有两个公共点，即0故选:C．
【例题3-5】（2022·山西吕梁·模拟预测（理））“∃x>0，使得a≤xx2+x+1成立”的充要条件是（ ）
A．a≤13B．a≥13C．a≤12D．a≥12
【详解】
∃x>0，a≤xx2+x+1，等价于a≤xx2+x+1max，
又xx2+x+1=11+x+1x≤11+2x⋅1x=13，当且仅当x=1时等号成立，
即xx2+x+1max=13，故a≤13．
故选：A．
综合应用
【例题4-1】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件p:A={x∣x2−4ax+4a2−1≤0}，条件q:B={x∣x2−x−2≤0}．U=R．
(1)若a=1，求∁U(A∩B)．
(2)若q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．
【解析】
(1)
由x2−4ax+4a2−1≤0，得2a−1≤x≤2a+1，
所以A={x∣2a−1≤x≤2a+1}，
由x2−x−2≤0，得−1≤x≤2，所以B={x∣−1≤x≤2}
当a=1时，A={x∣1≤x≤3}.所以A∩B={x∣1≤x≤2}
所以∁U(A∩B)={x∣x<1或x>2}；
(2)
由（1）知，A={x∣2a−1≤x≤2a+1}，B={x∣−1≤x≤2}，
∵q是p的必要不充分条件，∴A⊂≠B，
所以{2a+1≤22a−1≥−1，解得0≤a≤12
所以实数a的取值范围为[0,12].
【例题4-2】（2022·北京密云·高三期中）设n≥2且n∈N，集合U={1,2,3,4,⋯,2n}，若对U的任意k元子集Vk，都存在a,b,c∈Vk，满足：ac，且a+b+c为偶数，则称Vk为理想集，并将k的最小值记为K.
(1)当n=2时，是否存在理想集？若存在，求出相应的K；若不存在，请说明理由；
(2)当n=3时，是否存在理想集？若存在，直接写出对应的Vk 以及满足条件的a,b,c；若不存在，请说明理由；
(3)证明：当n=4时，K=6.
【解析】
(1)
依题意，Vk要为理想集，k≥3，
当n=2时，U={1,2,3,4}，显然{2,3,4}⊆U，有2<3<4,2+3>4，而2+3+4不是偶数，即存在3元子集不符合理想集定义，
而{1,2,3,4}⊆U，在{1,2,3,4}中任取3个数，有4种结果，1,2,3；1,2,4；1,3,4；2,3,4，它们都不符合理想集定义，
所以，当n=2时，不存在理想集.
(2)
当n=3时，U={1,2,3,4,5,6}，由（1）知，存在3元子集{2,3,4}、4元子集{1,2,3,4}均不符合理想集定义，
5元子集{1,2,3,4,6}，在此集合中任取3个数，满足较小的两数和大于另一个数的只有2,3,4与3,4,6两种，但这3数和不为偶数，
即存在5元子集{1,2,3,4,6}不符合理想集定义，
而U的6元子集是{1,2,3,4,5,6}，3<4<5,3+4>5,3+4+5是偶数，3<5<6,3+5>6,3+5+6是偶数，
即U的6元子集{1,2,3,4,5,6}符合理想集定义，{1,2,3,4,5,6}是理想集，
所以，当n=3时，存在理想子集V6={1,2,3,4,5,6}，满足条件的a,b,c可分别为3,4,5或3,5,6.
(3)
当n=4时，U={1,2,3,4,5,6,7,8}，由（1），（2）知，存在U的3元子集、4元子集、5元子集不满足理想集定义，
Vk要为理想集，k≥6，显然{1,2,3,4,5,6}符合理想集的定义，满足条件的a,b,c分别为3,4,5或3,5,6，
U的6元子集中含有3,5,6的共有C52=10个，这10个集合都符合理想集的定义，
U的6元子集中含有3,5不含6的有5个，其中含有4的有4个，这4个集合都符合理想集的定义，不含4的为{1,2,3,5,7,8}，
显然有5<7<8,5+7>8,5+7+8为偶数，即U的6元子集中含有3,5不含6的5个都符合理想集的定义，
U的6元子集中含有3,6不含5的有5个，它们是{1,2,3,4,6,7},{1,2,3,4,6,8},{1,2,3,6,7,8}，{1,3,4,6,7,8},{2,3,4,6,7,8}，
它们对应的a,b,c可依次为：3,6,7；4,6,8；3,6,7；3,6,7；3,6,7，
即U的6元子集中含有3,6不含5的5个都符合理想集的定义，
U的6元子集中含有5,6不含3的有5个，它们是{1,2,4,5,6,7},{1,2,4,5,6,8},{1,2,5,6,7,8}，{1,4,5,6,7,8},{2,4,5,6,7,8}，
它们对应的a,b,c可依次为：5,6,7；4,6,8；5,6,7；5,6,7；5,6,7，
即U的6元子集中含有5,6不含3的5个都符合理想集的定义，
U的6元子集中含有3,5,6之一的有3个，它们是{1,2,3,4,7,8},{1,2,4,5,7,8},{1,2,4,6,7,8}，对应的a,b,c可依次为：3,7,8；5,7,8；4,6,8，
即U的6元子集中含有3,5,6之一的3个都符合理想集的定义，
因此，U的所有C86=28个6元子集都符合理想集的定义，V6是理想集，
U的7元子集有C87=8个，其中含有3,5,6的有5个，这5个集合都符合理想集的定义，不全含3,5,6的有3个，
它们是{1,2,3,4,5,7,8},{1,2,3,4,6,7,8},{1,2,4,5,6,7,8}，对应的a,b,c可依次为：3,7,8；3,7,8；4,6,8，
即U的所有8个7元子集都符合理想集的定义，V7是理想集，
U的8元子集是{1,2,3,4,5,6,7,8}，对应的a,b,c可以为：3,7,8，因此，V8是理想集，
因此，U的6元子集，7元子集，8元子集都是理想集，K=6，
所以当n=4时，K=6.
【例题4-3】（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式5−2xx+2>1的解集是A，关于x的不等式x2−4mx−5m2≤0的解集是B.
(1)若m=1，求A∩B；
(2)若A∪B=B，求实数m的取值范围.
(3)设p:实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a>0，命题q:实数x满足x2−x−6≤0x2+2x−8>0.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【解析】
(1)
由5−2xx+2>1的解集是A，解得：A=x|−2当m=1时，x2−4mx−5m2≤0可化为x2−4x−5≤0，解得B=x|−1≤x≤5.
所以A∩B=x|−1≤x<1.
(2)
因为A∪B=B，所以A⊆B.
由（1）得：A=x|−2当m>0时，由x2−4mx−5m2≤0可解得B=x|−m≤x≤5m.要使A⊆B，只需5m≥1−m≤−2，解得：m≥2；
当m=0时，由x2−4mx−5m2≤0可解得B=0.不符合A⊆B，舍去；
当m<0时，由x2−4mx−5m2≤0可解得B=x|5m≤x≤−m.要使A⊆B，只需−m≥15m≤−2，解得：m≤−1；
所以，m≤−1或m≥2.
所以实数m的取值范围为：−∞,−1∪2,+∞.
(3)
设关于x的不等式x2−4ax+3a2<0（其中a>0）的解集为M，则M=a,3a；
不等式组x2−x−6≤0x2+2x−8>0的解集为N，则N=2,3；
要使p是q的必要不充分条件，只需NM，即a≤23a>3，解得：1即实数a的取值范围1,2.
【例题4-4】（2022·北京丰台·二模）设I1=a1,b1，I2=a2,b2，…，In=an,bn，In+1=an+1,bn+1，是n+1n∈N∗个互不相同的闭区间，若存在实数x0使得x0∈Iii=1,2,…,n+1，则称这n+1个闭区间为聚合区间，x0为该聚合区间的聚合点．
(1)已知I1=1,3，I2=−2,sint0(2)已知I1=a1,b1，I1=a2,b2，…，In=an,bn，In+1=an+1,bn+1为聚合区间．
（ⅰ）设x0，y0是该聚合区间的两个不同的聚合点．求证：存在k，j∈1,2,…,n+1，使得ak,bj⊆Iii=1,2,…,n+1；
（ⅱ）若对任意p，q（p≠q且p，q∈1,2,…,n+1），都有Ip，Iq互不包含．求证：存在不同的i，j∈1，2，⋯，n+1，使得bi−aj≥n−1nbi−ai．
【解析】
(1)
由0(2)
（ⅰ）由x0，y0是该聚合区间的两个不同的聚合点，不妨设x0（ⅱ）若存在as=ats≠t, 则Is⊆It或It⊆Is，与已知条件矛盾
不妨设 a1否则，若bk≥bk+1，则Ik+1⊆Ik，与已知条件矛盾
取l=mina2−a1,a3−+1−an,b2−b1,b3−+1−bn，设m∈1，2，⋯，n+1
当am+1−am=l时，bm−b1=bm−bm−1+−b1≥m−1l，
an+1−am=an+1−an++1−am≥n−m+1l
又b1>an+1，所以an+1−b1<0，所以bm−am≥bm−b1+an+1−am≥nl，
即am+1−am≤bm−amn，所以bm−am+1=bm−am−am+1−am≥n−1nbm−am，
此时取i=m,j=m+1，则bi−aj≥n−1nbi−ai，
当bm+1−bm=l时，同理可取i=m+1,j=m，使得bi−aj≥n−1nbi−ai，
综上，存在不同的i，j∈1，2，⋯，n+1，使得bi−aj≥n−1nbi−ai
【例题4-5】（2022·北京朝阳·一模）对非空数集X，Y，定义X与Y的和集X+Y=x+yx∈X,y∈Y.对任意有限集A，记A为集合A中元素的个数.
(1)若集合X=0,5,10，Y=−2,−1,0,1,2，写出集合X+X与X+Y；
(2)若集合X=x1,x2,⋯,xn满足x1(3)设集合X=x1,x2,⋯,xn满足x1【解析】
(1)
∵集合X=0,5,10，Y=−2,−1,0,1,2，
∴X+X=0,5,10,15,20，X+Y=−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12；
(2)
∵x1+x1∴集合X+X中至少包含2n−1个元素，
所以X+X≥2n−1，又X=n，
由题可知X+X<2n，又X+X为整数，
∴X+X≤2n−1，
∴X+X=2n−1，
∴X+X中的所有元素为x1+x1,x1+x2,x1+x3,⋯,x1+xn,x2+xn,x3+xn,⋯,xn+xn，
又x1+x1,x2+x1,x2+x2,⋯,x2+xn−1,x2+xn,x3+xn,⋯,xn+xn是X+X中的2n−1个元素，且x1+x1∴x1+xj=x2+xj−1j=2,3,⋯,n，即xj−xj−1=x2−x1j=2,3,⋯,n，
∴xn−xn−1=xn−1−xn−2=⋯=x2−x1>0，
∴数列x1，x2，⋯，xn是等差数列；
(3)
∵集合B=k∈Z−m≤k≤m，
∴B=2m+1，
设xn−x1=2m+1q+r，其中q,r∈N,0≤r≤2m，
设ai是首项为x1+m，公差为2m+1的等差数列，即ai=x1+m+i−12m+1,i∈N∗，
令集合A=a1,a2,⋯,aq+1，
则A=1+q=1+xn−x1−r2m+1=1+xn−x1−rB≤1+xn−x1B，
∴A+B=x1,x1+1,x1+2,⋯,x1+2m+1q+2m，
即A+B=t∈Zx1≤t≤x1+2m+1q+2m，
∵xn=x1+2m+1q+r≤x1+2m+1q+2m，
∴A+B⊇t∈Zx1≤t≤xn⊇x1,x2,x3,⋯,xn，
所以X⊆A+B，
故存在集合A满足A≤1+xn−x1B且X⊆A+B.
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中的任意一个x，有q(x)成立
存在M中的一个x，使p(x)成立
简记
∀x∈M，q(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，非q(x)
∀x∈M，非p(x)
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p