（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备第2讲不等式（原卷版+解析）

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这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备第2讲不等式（原卷版+解析），共15页。试卷主要包含了知识梳理等内容，欢迎下载使用。

学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a(2)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法.
2.不等式的性质
(1)不等式的性质
①可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
②可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac③传递性：a>b，b>c⇒a>c；
④对称性：a>b⇔b(2)不等式的推论
①移项法则：a＋b>c⇔a>c－b；
②同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
④可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1)；
⑤可开方性：a>b>0⇒eq \r(a)>eq \r(b).
3.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
4.三个“二次”间的关系
5.一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
6.分式不等式及其解法
(1)eq \f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)eq \f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
考点和典型例题
不等式的性质
【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知，且，则以下不正确的是（）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知，，且，则下列不等关系成立的是（）
A．B．C．D．
【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a，b，c满足cA．ac（a-c）>0B．c（b-a）<0C．D．
【典例1-5】（2022·福建三明·模拟预测）（多选）设，且，则（）
A．B．C．D．
不等式的证明和解法
【典例2-1】（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）已知
(1)求集合A和B；
(2)求A∪B，A∩B，
【典例2-2】（2021·全国·高三专题练习）已知常数a∈R，解关于x的不等式.
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，求证：
(1)；
(2).
【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)已知，，且，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.
(1)求的最小值；
(2)求证：.
不等式的综合应用
【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为_______.
【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.
【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数，
（1）若恒成立，求的范围．
（2）求的最小值．
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
eq \f({x|x＞x2,或x＜x1})
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
第2讲不等式的性质及其解法
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a(2)证明不等式还常用综合法、反证法和分析法.
2.不等式的性质
(1)不等式的性质
①可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
②可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；
a>b，c<0⇒ac③传递性：a>b，b>c⇒a>c；
④对称性：a>b⇔b(2)不等式的推论
①移项法则：a＋b>c⇔a>c－b；
②同向不等式相加：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
③同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
④可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1)；
⑤可开方性：a>b>0⇒eq \r(a)>eq \r(b).
3.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.
4.三个“二次”间的关系
5.一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)·(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
6.分式不等式及其解法
(1)eq \f(f（x）,g（x）)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
(2)eq \f(f（x）,g（x）)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
考点和典型例题
不等式的性质
【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知，且，则以下不正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
，，，故A，B正确；
，即，故C正确；
对两边同除得，故D错误.
故选：D.
【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
对于A：当，时不成立，故A错误；
对于B：当，，所以，，即，故C错误；
对于C：当时不成立，故C错误；
对于D：因为，所以，又，
所以（等号成立的条件是），故D正确.
故选：D.
【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知，，且，则下列不等关系成立的是（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【详解】
对于A，由，，当且仅当时等号成立，
，，，
当且仅当时等号成立，故A正确；
对于B，由，得，
由基本不等式得，当且仅当a=b=1时成立；故B正确；
对于C，若满足，，故C错误；
对于D，∵，∴ ，由B的结论得，

，
，故D正确；
故选：ABD.
【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a，b，c满足cA．ac（a-c）>0B．c（b-a）<0C．D．
【答案】BCD
【详解】
解：因为a，b，c满足c所以，
所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，
故选：BCD
【典例1-5】（2022·福建三明·模拟预测）（多选）设，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】
因为，，所以，的符号不能确定，
当时，，故A错误，
因为，，所以，故B正确，
因为，所以，故C正确，
因为，所以，所以，所以，故D错误，
故选：BC
不等式的解法
【典例2-1】（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）已知
(1)求集合A和B；
(2)求A∪B，A∩B，
【答案】(1)；
(2)；
【解析】
(1)
解：解不等式得，所以，
解不等式得，所以；
(2)
解：，.
【典例2-2】（2021·全国·高三专题练习）已知常数a∈R，解关于x的不等式.
【详解】
∵，，即，
令，解得，，
①当时，解集为或；
②当时，，解集为且；
③当时，，解集为或.
综上所述：当a>0时，不等式的解集为或；
当a=0时，不等式的解集为且；
当a<0时，不等式的解集为或.
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知，，，求证：
(1)；
(2).
【解析】
(1)
由题意，因为，且，
所以，当且仅当时，取“=”，
所以，所以．
(2)
由，
所以
，
，所以，
所以，所以，
所以．
【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)已知，，且，不等式恒成立，求实数x的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)
解：当时，；
当时，；
当时，，所以，
综上函数的值域为
(2)
因为，，当且仅当，即时等号成立，要使不等式恒成立，只需，即恒成立，由（1）知当时，不合题意；当时，恒成立；当时，，解得，综上，所以x的取值范围为.
【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a，b，c为正数.
(1)求的最小值；
(2)求证：.
【解析】
(1)
因为，当且仅当“”时等号成立，
所以当时，的最小值为.
(2)
因为，同理，，
所以三式相加得，
所以，当且仅当“”时等号成立
不等式的综合应用
【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数对任意有恒成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题意，函数对任意有
（1）当时，成立；
（2）当时，函数为二次函数，若满足对任意有，则
综上：
故选：A
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为不等式的解集中恰有个正整数，
即不等式的解集中恰有个正整数，
所以，所以不等式的解集为
所以这三个正整数为，所以，即
故选：D
【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【详解】
当m=0时不等式为,显然对于任意实数x恒成立；
当m≠0时，不等式对任意实数x恒成立等价于m<0∆=4m2+12m<0,
解得,
所以m的取值范围是,
故答案为：.
【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题，
这等价于，解得,
故答案为：.
【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数，
（1）若恒成立，求的范围．
（2）求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【详解】
解：（1），，，，
，当且仅当时成立，∴，
．
（2）当即时，；
当即时，，
综上，．
不等式
a>0
a＝0
a<0
|x|(－a，a)
∅
∅
|x|>a
(－∞，－a)∪(a，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
R
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图像
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根
x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
eq \f({x|x＞x2,或x＜x1})
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅