（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第3讲 均值不等式及其应用（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.均值不等式
如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立.数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
考点和典型例题
1、利用均值不等式求最值
【典例1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．5D．9
【典例1-2】（（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．D．18
【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知，，，则的最小值为__．
【典例1-5】（（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．
2、均值不等式的综合应用
【典例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19B．23C．25D．85
【典例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对x，都有成立，则实数a的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-3】（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【典例2-4】（2022·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.
【典例2-5】（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
3、均值不等式的实际应用
【典例3-1】两直立矮墙成二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为的直角梯形菜园墙足够长，则所用篱笆总长度的最小值为（ ）
A．16mB．18m
C．D．
【典例3-2】如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点，设宝塔底部E点和这三个点在同一直线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60°，，米.若无人机在C点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离地面的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．200米
【典例3-3】某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.
【典例3-4】蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为___________秒.
【典例3-5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消耗费为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)请写出的表达式；
(2)隔热层建多厚时，达到最小，并求出最小值．第3讲 均值不等式及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.均值不等式
如果a，b都是正数，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立.数eq \f(a＋b,2)称为a，b的算术平均值；数eq \r(ab)称为a，b的几何平均值.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用均值不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P).
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.
考点和典型例题
1、利用均值不等式求最值
【典例1-1】（2022·辽宁鞍山·二模）已知正实数a、b满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．5D．9
【答案】B
【详解】
，当且仅当时等号成立.
故选：B.
【典例1-2】（（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【详解】
因为，
所以 ，当且仅当时等号成立，因为，
所以，即，所以，
即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，
故选：B.
【典例1-3】（（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（ ）
A．6B．9C．D．18
【答案】B
【详解】
解：，，且，
且，
，
当且仅当，即且时取等号，
故的最小值为9；
故选：B
【典例1-4】（（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知，，，则的最小值为__．
【答案】
【详解】
，当且仅当析，时，等号成立.
故答案为：
【典例1-5】（（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．
【答案】##
【详解】
由题意，，，，得：，
设 ，则 ，
故
，
当且仅当 ，即 时取得等号，
故的最小值为，
故答案为：
2、均值不等式的综合应用
【典例2-1】（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（ ）
A．19B．23C．25D．85
【答案】B
【详解】
令且，则，而，
所以，令，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以，即最小值为23.
故选：B
【典例2-2】（2022·陕西渭南·二模（理））若对x，都有成立，则实数a的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由，得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
，
，
由，得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为；
由题意知，恒成立，所以，
故a的最小值为.
故选：B.
【典例2-3】（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a，b满足条件，则的最小值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】D
【详解】
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，
所以，，，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2
故选：D.
【典例2-4】（2022·安徽黄山·二模（理））设的内角的对边分别为，且满足，其中，若，则面积的取值范围为______________.
【答案】
【详解】
，
化简得：，
由正弦定理可得：,
， ，
即， , 或，
即或，又，，即,
，又，，当仅当时等号成立，
，即，.
故答案为：
【典例2-5】（2022·浙江·高三开学考试）已知正实数a，b，c，，则的最小值为_______________．
【答案】##
【详解】
由正实数a，b，，可得 ，
所以

而，当且仅当 即 时取等号，
故
，
当且仅当 时，即 时取等号，
故答案为：
3、均值不等式的实际应用
【典例3-1】两直立矮墙成二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为的直角梯形菜园墙足够长，则所用篱笆总长度的最小值为（ ）
A．16mB．18m
C．D．
【答案】B
【详解】
设，设篱笆长度为y，则，，
梯形的面积为，
整理得，当，即时等号成立，
所以篱笆总长度最小为18m．
故选：B
【典例3-2】如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择.为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照.已知慈寿塔DE的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点A与湖对岸B，F点，设宝塔底部E点和这三个点在同一直线上，无人机从A点沿AD直线飞行200米到达宝塔顶部D点后，然后再飞到F点的正上方，对山脚的江天禅寺EB区域进行拍照.现测得从A处看宝塔顶部D的仰角为60°，，米.若无人机在C点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离地面的高度为（ ）
A．米B．米C．米D．200米
【答案】C
【详解】
在中，由正弦定理得，
∴，
再由余弦定理：，
∴，又，
所以，，
设该无人机离地面的高度为米，则，
当且仅当：，即取等号，
此时无人机获得最佳拍照角度，该无人机离地面的高度为米.
故选：C
【典例3-3】某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5，各试验区之间也空0.5.则每块试验区的面积的最大值为___________.
【答案】6
【详解】
设矩形空地的长为m，则宽为m，
依题意可得，试验区的总面积，
当且仅当即时等号成立，
所以每块试验区的面积的最大值为.
故答案为：6
【典例3-4】蕲春县内有一路段A长325米，在某时间内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为，交通部门利用大数据，采用“信号灯不再固定长短，交通更加智能化”策略，红灯设置时间T（秒）＝路段长×，那么在车流量最大时，路段A的红灯设置时间为___________秒.
【答案】87.75##
【详解】
不妨设，
，
当且仅当时等号成立.
千米/小时米/秒
此时红灯设置时间为秒.
故答案为：
【典例3-5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，建筑物的外墙需要建造隔热层，现某建筑物要建造可使用20年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系，若不建隔热层，则该建筑物每年的能源消耗费为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)请写出的表达式；
(2)隔热层建多厚时，达到最小，并求出最小值．
【答案】(1)
(2)当隔热层修建为厚时，总费用达到最小值为70万元．
【解析】(1)
解：由题意，，得，所以，
所以；
(2)
解：由（1）知，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以当隔热层修建为厚时，总费用达到最小值为70万元．