（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第4讲 函数及其性质（讲义+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第4讲 函数及其性质（讲义+解析），共23页。试卷主要包含了知识梳理等内容，欢迎下载使用。

一、知识梳理
基本概念
1.函数的概念
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
考点和典型例题
1、函数的概念
【典例1-1】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则（ ）
A．27B．－27C．54D．－54
【典例1-2】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））若函数则（ ）
A．10B．9C．12D．11．
【典例1-3】（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．
【典例1-4】（2022·浙江·模拟预测）已知，则___________.
【典例1-5】（2022·浙江温州·三模）已知函数 若，则实数a的值等于___________.
2、单调性及其应用
【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-2】（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例2-3】（2022·河北唐山·二模）已知函数，若，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2022·山西太原·二模（文））已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
【典例2-5】（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数满足：①；②；③在上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数_________．
【典例2-6】（2022·全国·三模（文））函数的单调递减区间为__________．
3、奇偶性及其应用
【典例3-1】（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
【典例3-2】（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））已知函数，则图象为下图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-3】（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，若前2022项和小于零，则的值( )
A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负
【典例3-4】（2022·河南开封·三模（理））函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【典例3-5】（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
4、函数性质的综合应用
【典例4-1】（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（ ）
A．是偶函数B．有无数个零点
C．的最小值为D．的最大值为
【典例4-2】（2022·吉林白山·三模（理））已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（ ）
A．－1B．0C．1D．e
【典例4-3】（2022·江苏南京·三模）已知，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞）B．
C．（0，＋∞）D．
【典例4-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则B．若，则函数是奇函数
C．若，则函数存在最小值D．若函数存在极值，则实数a的取值范围是
【典例4-5】（2022·河南·模拟预测（理））已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是____________.
【典例4-6】（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量取值的范围
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
增函数
减函数
定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D
如果对任意x1，x2∈I，当x1如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数
图像
描述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
奇偶性
定义
图像特点
偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数
关于原点对称
第4讲 函数及其性质
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
基本概念
1.函数的概念
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
单调性与最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I具有单调性，区间I称为函数y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值
一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点.最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点.
奇偶性、周期性
1.函数的奇偶性
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
考点和典型例题
1、函数的概念
【典例1-1】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））已知是定义在R上的奇函数，且时，，则（ ）
A．27B．－27C．54D．－54
【答案】A
【详解】
由已知可得，，因此，．
故选:A．
【典例1-2】（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））若函数则（ ）
A．10B．9C．12D．11．
【答案】A
【详解】
当时，，
所以．
故选：A.
【典例1-3】（2022·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．
【答案】
【详解】
由题意可得，，解之得
则函数的定义域是
故答案为：
【典例1-4】（2022·浙江·模拟预测）已知，则___________.
【答案】11
【详解】
由于，
从而.
故答案为：11.
【典例1-5】（2022·浙江温州·三模）已知函数 若，则实数a的值等于___________.
【答案】
【详解】
①当即时，，则（舍）
②当即时，
Ⅰ：当,即 时,有
Ⅱ:当 时，即 时，有 无解
综上，.
故答案为：
2、单调性及其应用
【典例2-1】（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由为奇函数且在上递增，
A、B：、非奇非偶函数，排除；
C：为奇函数，但在上不单调，排除；
D：，显然且定义域关于原点对称，在上递增，满足.
故选：D
【典例2-2】（2022·贵州遵义·三模（文））若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由是奇函数在单调递增，且可知：当 时，，当 时，，
又或，解得：或
满足的x的取值范围是或
故选：D
【典例2-3】（2022·河北唐山·二模）已知函数，若，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：定义域为R，
又，
所以是奇函数，
当时，，
当时，，易知在上递增，
所以在定义域R上递增，
又，
所以，
解得，
故选：C
【典例2-4】（2022·山西太原·二模（文））已知函数，则（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．的图象关于直线x=1对称D．的图象关于点对称
【答案】C
【详解】
因为，，
所以，所以A不正确；
因为，，
所以，故B不正确；
因为，
所以的图象关于直线x=1对称，故C正确；
在的图象上取一点，则其关于点的点为，
因为，所以点不在函数的图象上，故的图象不关于点对称，故D不正确.
故选：C
【典例2-5】（2022·贵州遵义·三模（文））已知函数满足：①；②；③在上单调递减，写出一个同时满足条件①②③的函数_________．
【答案】（答案不唯一）
【详解】
由题意可知，的图象关于直线对称，且在上单调递减，且，
可取满足条件.
故答案为：（答案不唯一）.
【典例2-6】（2022·全国·三模（文））函数的单调递减区间为__________．
【答案】
【详解】
当时，，则其在上递减，
当时，，则，
当时，，所以在上递减，
综上，的单调递减区间为，
故答案为：
3、奇偶性及其应用
【典例3-1】（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））函数满足，，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-8B．0C．-4D．-2
【答案】B
【详解】
∵关于对称，
∴关于对称，即是奇函数，
令得，，即，解得．
∴，即，
∴，即函数的周期是4．
∴．
故选：B.
【典例3-2】（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））已知函数，则图象为下图的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
由题意，函数，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，
对于A中，函数不是奇函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数不是奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数此时函数为奇函数，
又由，当时，，此时函数在区间单调递增，而图象中先增后减，所以C不符合题意.
故选：D.
【典例3-3】（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是定义在R上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，若前2022项和小于零，则的值( )
A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可正可负
【答案】B
【详解】
函数是R上的奇函数且是增函数，
，且当，；当，．
设等差数列前n项和为，由题可知，
则，即，则(1≤n≤2011，)．
所以，
结合函数在R上的单调增和奇函数性质，可得，
所以
∴<0；
综上，的值恒为负数．
故选：B．
【典例3-4】（2022·河南开封·三模（理））函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，故CD不正确；
当时，，故B不正确.
故选：A
【典例3-5】（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））下列函数中是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
对于A，，，，故为非奇非偶函数，
对于B，，定义域为，，为偶函数，
对于C，，为偶函数，
对于D，易知定义域为R,，，为奇函数．
故选：D
4、函数性质的综合应用
【典例4-1】（2022·福建福州·三模）已知函数，以下结论中错误的是（ ）
A．是偶函数B．有无数个零点
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】C
【详解】
对于A，定义域为，，
为偶函数，A正确；
对于B，令，即，，解得：，
有无数个零点，B正确；
对于C，，若的最小值为，则是的一个极小值点，则；
，，
不是的极小值点，C错误；
对于D，，；
则当，，即时，取得最大值，D正确.
故选：C.
【典例4-2】（2022·吉林白山·三模（理））已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（ ）
A．－1B．0C．1D．e
【答案】C
【详解】
由题知对任意，恒成立，
等价于，即，即对任意，恒成立，
不妨设，令，则，
则原式等价于，即在恒成立，
设，，则，
所以在上为增函数，所以，
所以，即m的最大值为，当且仅当，即时取得最大值，
故选：C.
【典例4-3】（2022·江苏南京·三模）已知，若∀x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞）B．
C．（0，＋∞）D．
【答案】B
【详解】
时，，符合题意；
时，，即
显然在R上递增，则对恒成立
对恒成立
则：；
综上，，
故选：B．
【典例4-4】（2022·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若是偶函数，则B．若，则函数是奇函数
C．若，则函数存在最小值D．若函数存在极值，则实数a的取值范围是
【答案】ACD
【详解】
对于A，函数的定义域为，且，则，
则，则，故恒成立，故，故A正确；
对于B，若，则，，，不成立，故B不正确；
对于C，当时，，可得，
令，即，解得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以C正确；
对于D，，因为存在极值，则有解，令，即，
所以，则，即，解得，所以D正确.
故选：ACD.
【典例4-5】（2022·河南·模拟预测（理））已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是____________.
【答案】①⑤
【详解】
①则，①正确；
②构建则
令则
∴在上递减，在上递增，则
∴即不存在不动点，②不正确；
③为偶函数，显然只有一个不动点；③不正确；(为奇函数, 显然有无数个不动点)
④为周期函数，显然只有一个不动点；④不正确；
⑤若存在不动点，设为，即
∴，则也存在不动点，⑤正确．
故答案为：①⑤．
【典例4-6】（2022·上海市市西中学高三阶段练习）已知函数是偶函数，且，当时，，则方程在区间上的解的个数是________
【答案】10
【详解】
函数是偶函数，①，
②，的图象关于对称，
由①②得，，即，
∴函数f(x)的一个周期为4，
画出函数和函数在区间，上的图象，
方程在区间，上的解的个数就是这两个图象的交点个数，
由图象可知方程解的个数为10，
故答案为：10．
概念
一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A
三要素对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量取值的范围
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
增函数
减函数
定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D
如果对任意x1，x2∈I，当x1如果对任意x1，x2∈I，当x1f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数
图像
描述
自左向右看图像是上升的
自左向右看图像是下降的
奇偶性
定义
图像特点
偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数
关于原点对称