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(人教A版2019必修第一册)高考数学(精讲精练)必备 第5讲 指对幂函数及其应用(讲义+解析)
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这是一份(人教A版2019必修第一册)高考数学(精讲精练)必备 第5讲 指对幂函数及其应用(讲义+解析),共26页。试卷主要包含了知识梳理等内容,欢迎下载使用。
一、知识梳理
指数和指数函数
1.根式的概念及性质
(1)概念:eq \r(n,a)称为根式,n称为根指数,a称为被开方数.
(2)性质:(eq \r(n,a))n=a;当n为奇数时,eq \r(n,an)=a,当n为偶数时,eq \r(n,an)=|a|.
2.分数指数幂
规定:正数的正分数指数幂的意义是aeq \f(m,n)=eq \r(n,am)(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-eq \f(m,n)=eq \f(1,\r(n,am))(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质:asat=as+t,(as)t=as__t,(ab)s=asbs,其中a>0,b>0,s,t∈R.
4.指数函数及其性质
(1)概念:一般地,函数y=ax称为指数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
对数和对数函数
1.对数的概念
在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=lgaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质:①algaN=N;②lgaab=b(a>0,且a≠1).
(2)对数的运算性质
①lga(MN)=lgaM+lgaN,
②lgaMα=αlgaM,
③lgaeq \f(M,N)=lgaM-lgaN.
其中,a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R.
(3)换底公式:lgab=eq \f(lgcb,lgca)(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念:一般地,函数y=lgax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称.
幂函数和二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都通过点(1,1).
②如果α>0,则幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
③如果α1
00时,y>1;
当x0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
对数和对数函数
1.对数的概念
在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=lgaN,其中a称为对数的底数,N称为对数的真数.
2.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质:①algaN=N;②lgaab=b(a>0,且a≠1).
(2)对数的运算性质
①lga(MN)=lgaM+lgaN,
②lgaMα=αlgaM,
③lgaeq \f(M,N)=lgaM-lgaN.
其中,a>0且a≠1,M>0,N>0,α∈R.
(3)换底公式:lgab=eq \f(lgcb,lgca)(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
3.对数函数及其性质
(1)概念:一般地,函数y=lgax称为对数函数,其中a是常数,a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=lgax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y=x对称.
幂函数和二次函数
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都通过点(1,1).
②如果α>0,则幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
③如果α1
00时,y>1;
当x
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