（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第5练 指对幂函数及其应用（原卷版+解析）

第5练 指对幂函数及其应用学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、单选题1．已知，则（       ）A．6 B．8 C．12 D．162．设，，，则（       ）A． B． C． D．3．函数 的图象大致为（     ）A． B．C． D．4．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（       ）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍5．已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（       ）A．且 B．且C．且 D．且6．浮萍是我国南方常见的一种水生植物，生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7平方米）的鱼塘，为养殖草鱼购买了一些浮萍．最初，浮萍铺在水面上大约有1平方米，如果浮萍始终以最高效繁殖，大约（       ）天后，浮萍可以铺满整个鱼塘．（不考虑草鱼对浮萍的损耗．结果四舍五入到整数，参考数据：）A．12 B．14 C．16 D．187．设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称．在，，，四点中，函数与的图象的公共点只可能是（       ）A．点P B．点Q C．点M D．点N8．甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或，乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程的根是（       ）A．x＝－2或 B．x＝－1或x＝1C．x＝0或x＝2 D．x＝－1或x＝2二、多选题9．下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（       ）A． B．C． D．10．若，则（　　）A． B． C． D．11．已知，且，则（       ）A． B．C． D．12．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ）A． B．C． D．三、填空题13．已知函数，则______．14．已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．15．幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．16．已知定义域为的奇函数，当x>0时，有，则______．四、解答题17．已知函数．(1)若，求函数的定义域．(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．18．已知函数是奇函数.(1)求a的值并判断函数的单调性（不需要证明）；(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围.第5练 指对幂函数及其应用学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、单选题1．已知，则（       ）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【详解】因为，所以，所以.故选：.2．设，，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：由题意得：故选：D3．函数 的图象大致为（     ）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，定义域为 ，所以函数为奇函数，故排除BD；当时，；当时，函数的增长速度比的增产速度快，所以，故排除C；故选：A4．1947年，生物学家Max Kleiber发表了一篇题为《body size and metabolicrate》的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的次幂成正比，即，其中F为基础代谢率，M为体重．若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的10倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：）（       ）A．5.4倍 B．5.5倍 C．5.6倍 D．5.7倍【答案】C【详解】设该哺乳动物原体重为、基础代谢率为，则，经过一段时间生长，其体重为，基础代谢率为，则则，则故选：C5．已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（       ）A．且 B．且C．且 D．且【答案】C【详解】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程有7个不同实数解，则关于u的二次方程的一根为，则，则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.所以且.故选：C.6．浮萍是我国南方常见的一种水生植物，生长速度非常快．最快每30个小时浮萍铺在水面的面积就可以扩大为原来的2倍．李大爷承包了一块面积为3亩（1亩≈666.7平方米）的鱼塘，为养殖草鱼购买了一些浮萍．最初，浮萍铺在水面上大约有1平方米，如果浮萍始终以最高效繁殖，大约（       ）天后，浮萍可以铺满整个鱼塘．（不考虑草鱼对浮萍的损耗．结果四舍五入到整数，参考数据：）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【详解】由题，鱼塘面积共平方米，浮萍天后在水面上的面积大约有平方米，故浮萍铺满整个鱼塘的天数满足，两边取对数化简有，解得，故大约14天后，浮萍可以铺满整个鱼塘故选：B7．设为指数函数（且），函数的图象与的图象关于直线对称．在，，，四点中，函数与的图象的公共点只可能是（       ）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】D【详解】由题意，知．逐一代入验证，点代入中，求得：，不合要求，舍去；点代入中，解得：，将代入中，，Q点不在上，不合要求，舍去；点代入中，解得：，将代入中，，解得：，故与矛盾，舍去；代入中，，解得：，将代入中，，解得：，满足题意.故仅点N可能同时在两条曲线上．故选：D．8．甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或，乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，则原方程的根是（       ）A．x＝－2或 B．x＝－1或x＝1C．x＝0或x＝2 D．x＝－1或x＝2【答案】D【详解】方程，即设，即转转为方程 甲写错了常数b，得到的根为x＝－2或，即甲得到的根为 则，所以乙写错了常数c，得到的根为x＝0或x＝1，即乙得到的根为 所以，所以所以方程为，解得或，即，或解得或故选：D二、多选题9．下列函数在定义域内既是奇函数又是减函数的有（       ）A． B．C． D．【答案】BD【详解】，定义域是R，BCD三个选项中函数定义域都是R，A中函数是奇函数，B中函数，是奇函数，C中函数，是奇函数，D中函数，，是奇函数，A中函数在定义域内不是减函数，B中函数由于是减函数，是增函数，因此是减函数，C中函数，时，递增，递增，递增，所以递增，不是减函数，D中，时，是减函数，由于其为奇函数，因此在上也递减，从而在定义域内递减，故选：BD．10．若，则（　　）A． B． C． D．【答案】AD【详解】解：令，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以在定义域上单调递增，由，即，所以，故A正确；因为在定义域上单调递减，所以，故D正确；当，，满足，但是，故B错误；当，，满足，但是，故C错误；故选：AD11．已知，且，则（       ）A． B．C． D．【答案】AC【详解】由题设，，则(仅等号成立)，可得，由，即，则，A正确；由，即，B错误；由，C正确；由，当且仅当时等号成立，D错误；故选：AC12．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（       ）A． B．C． D．【答案】BD【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，在单调递增且其图象恒过点，则选项B符合要求；当时，在单调递减且其图象恒过点，在单调递减且其图象恒过点，则选项D符合要求；综上所述，选项B、D符合要求.故选：BD.三、填空题13．已知函数，则______．【答案】11【详解】由于，，，从而．故答案为：11．14．已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．【答案】##【详解】因为，则，故可得，故的一个周期为，则，对，令，故可得.即.故答案为：.15．幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．【答案】1，（答案不唯一）【详解】因为幂函数在上单调递增，所以，因为幂函数在上单调递减，所以，又因为是奇函数，所以幂函数和幂函数都是奇函数，所以可以是，可以是.故答案为：1，（答案不唯一）.16．已知定义域为的奇函数，当x>0时，有，则______．【答案】0【详解】上的奇函数，则有，而当x>0时，有，于是有，，，因，，则有，，所以.故答案为：0四、解答题17．已知函数．(1)若，求函数的定义域．(2)若函数的值域为R，求实数m的取值范围．(3)若函数在区间上是增函数，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)由题设，，则或，所以函数定义域为.(2)由函数的值域为R，则是值域的子集，所以，即.(3)由在上递减，在上递增，而在定义域上递减，所以在上递增，在上递减，又在上是增函数，故，可得.18．已知函数是奇函数.(1)求a的值并判断函数的单调性（不需要证明）；(2)若对任意的实数t，不等式恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)，是R上的增函数；(2)．【解析】(1)因为函数是奇函数，定义域为R，所以，令，有，即，经检验符合题意，所以，又因为函数在R上递增，函数在R上递减，所以函数是R上的增函数．(2)不等式可化为，由函数是R上的增函数，所以，即，而，所以，故实数k的取值范围为．