（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第7讲 函数与方程（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.函数的零点
(1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
考点和典型例题
1、函数零点所在区间的判断
【典例1-1】（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三阶段练习（文））利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2019·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
【典例1-4】（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
2、图像零点个数的判定
【典例2-1】（2022·北京·模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例2-3】（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例2-4】（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ）
A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个
【典例2-5】（2022·宁夏银川·一模（理））设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3、图像零点的综合应用
【典例3-1】（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例3-3】（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或或D．或
【典例3-4】（2022·福建三明·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-5】（2022·山东济宁·二模）已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
第7讲 函数与方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的零点
(1)概念：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点.
(2)函数的零点、函数的图像与x轴的交点、对应方程的根的关系：
2.函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)·f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
考点和典型例题
1、函数零点所在区间的判断
【典例1-1】（2022·天津红桥·一模）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
函数 是上的连续增函数,
,
可得,
所以函数 的零点所在的区间是.
故选：C
【典例1-2】（2021·山西·太原五中高三阶段练习（文））利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：设，
当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在区间上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.
故选：C．
【典例1-3】（2019·全国·高三专题练习）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）A．1.2B．1.3C．1.4D．1.5
【答案】C
【详解】
根据二分法，结合表中数据，
由于
所以方程的一个近似根所在区间为
所以符合条件的解为1.4
故选:C.
【典例1-4】（2022·天津·静海一中高三阶段练习）已知函数是周期为的周期函数，且当时时，，则函数的零点个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
零点个数就是图象交点个数，
作出图象，如图：
由图可得有个交点，
故有个零点．
故选：B ．
【典例1-5】（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（ ）
A．0B．2C．4D．6
【答案】B
【详解】
令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
2、图像零点个数的判定
【典例2-1】（2022·北京·模拟预测）已知函数，且，则的零点个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【详解】
由
可得或，又，则，或，或
则的零点个数为3
故选：C
【典例2-2】（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】
令，
当时，且递增，此时，
当时，且递减，此时，
当时，且递增，此时，
当时，且递增，此时，
所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示：
由图知：与有两个交点，横坐标、：
当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解.
综上，的零点共有4个.
故选：B
【典例2-3】（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）函数．若在内恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：当时，函数为常函数，没有零点，不满足题意，
所以为一次函数，
因为在内恰有一个零点，
所以，即，解得或.
故的取值范围是.
故选：C
【典例2-4】（2022·湖南衡阳·二模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（ ）
A．4个B．5个C．3个或4个D．4个或5个
【答案】D
【详解】
因为，所以的周期为2，
又因为为奇函数，，
令，得，又，所以，
当时，，
由单调递减得函数在上单调递增，
所以，得，
作出函数图象如图所示，
由图象可知当过点时，，此时在上只有3个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时有5个零点.
当时，有4个零点.
当经过点时，，此时在上只有3个零点.
当时，有4个零点.
所以当时，函数在上有4个或5个零点.
故选：D
【典例2-5】（2022·宁夏银川·一模（理））设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【详解】
由，，得，，
取，可得.若在上单词递增，则，
解得.若，则.
设，则，因为
所以函数在上的零点最多有2个.
所以在上的零点最多有2个.
故选：A
3、图像零点的综合应用
【典例3-1】（2022·安徽·模拟预测（文））已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
解：令，得，
在同一坐标系中作出的图象，如图所示：
由图象知：若有4个零点，
则实数a的取值范围是，
故选：A
【典例3-2】（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知有且只有一个实数x满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
显然不是的根.所以
因此只有一个实数x满足等价于方程只有一个实数根.
令，令，故可知：
当 时， ，此时单调递减
当 时， ，此时单调递增，当 时， ，此时单调递增，且当时，，时，，当时，，当时，，故图像如图：
故 .
故选：D
【典例3-3】（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．或
C．或或D．或
【答案】D
【详解】
解：依题意函数的零点即为方程的根，
①当时函数的函数图象如下所示：
所以有两个根，（，），
而对应2个根，所以需要对应3个根，
所以，即，解得；
②当时函数的函数图象如下所示：
所以有两个根，（，），而对应2个根，
对应2个根，即共四个根，所以不满足题意；
③当时函数的函数图象如下所示：
所以有三个根，，，
从而，，，所对应2、2、1个根，
即共5个根，所以满足题意；
④当时函数的函数图象如下所示：
所以有三个根，，，（，，），
而，，分别对应2、2、0个根，即共四个根，
所以不满足题意；
综上可得实数的取值范围为或；
故选：D
【典例3-4】（2022·福建三明·模拟预测）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
函数有两个零点，即有两根，又，故可转换为有两根，令， 则，令，则，故在上单调递减，在上单调递增，故，当且仅当时等号成立，故在上，单调递减；在上，单调递增，所以，又当与时，故实数a的取值范围为
故选：D
【典例3-5】（2022·山东济宁·二模）已知函数，若函数有5个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
与关于y轴对称，且，
要想有5个零点，
则当时，要有2个根，结合对称性可知时也有2个零点，
故满足有5个零点，
当时，，不合题意；
当时，此时
令，定义域为，
，
令得：，，令得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
且当时，恒成立，
在处取得极大值，其中，
故，此时与有两个交点.
故选：C