（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第8练 函数模型及其应用（原卷版+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第8练 函数模型及其应用（原卷版+解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A．B．C．D．
2．声强级（单位：）与声强的函数关系式为：，若女高音的声强级是，普通女性的声强级为，则女高音声强是普通女性声强的（ ）
A．10倍B．100倍C．1000倍D．10000倍
3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天（n）和第81天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．12小时B．11小时C．10小时D．9小时
4．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（ ）
A．B．C．D．
5．2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中△v为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为（ ）（参考数据：，，
A．15%B．30%C．35%D．39%
6．2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数，（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻；（单位：秒）表示地震动总持时；是衰减因子，控制下降段衰减的快慢．在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2，则当秒时，地震动时程强度包络函数值是（ ）
A．B．1C．9D．
7．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ）
A．B．C．D．
8．医学上用基于SEIR流行病传播模型测算基本传染数（也叫基本再生数）来衡量传染性的强弱，基本传染数可表示为.计算基本传染数需要确定的参数有：（1）参数：，即需要知道第一例病例发生的时间（确定起点以便计算t），以及之后某一时刻的累计病例数，时间t的单位为天数；（2）参数和ρ：只要确定了潜伏期TE和传染期TI，和ρ就都确定了.已知2022年2月15日某地发现首例A型传染性病例，到2022年3月28日累计A型传染性病例数达到425例.取，，根据上面的公式计算这41天A型传染性基本传染数约为（注：参考数据：）（ ）
A．2.63B．2.78C．2.82D．3.04
二、多选题
9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
10．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
11．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶，乘客需付费8元
B．出租车行驶，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶，乘客需付费25.45元
D．某人两次乘出租车均行驶的费用之和超过他乘出租车行驶一次的费用
12．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
三、填空题
13．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，
14．交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离（单位：m）关于车速v（单位：）的函数模型为；刹车距离（单位：m）关于车速v（单位：）的函数模型为，反应距离与刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速（约），路口宽度为，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮____________s（保留两位有效数字）．
15．如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足关系式：（a为常数），记（）．给出下列四个结论：
①设，则数列是等比数列；
②存在唯一的实数，使得成立，其中是的导函数；
③常数；
④记浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则．
其中所有正确结论的序号是______．
16．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为___________.
第8练 函数模型及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．下列函数中，随着的增大，函数值的增长速度最快的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
当x＞1时，指数函数增长最快，幂函数其次，对数函数最慢，故函数的增长速度最快．
故选：D.
2．声强级（单位：）与声强的函数关系式为：，若女高音的声强级是，普通女性的声强级为，则女高音声强是普通女性声强的（ ）
A．10倍B．100倍C．1000倍D．10000倍
【答案】C
【详解】
设女高音声强为，普通女性声强为，则，所以①，，所以②，则①÷②得：，故女高音声强是普通女性声强的1000倍.
故选：C
3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t（n）（单位：小时）大致服从的关系为（，为常数）．已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天（n）和第81天检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第36天检测过程平均耗时大致为（ ）
A．12小时B．11小时C．10小时D．9小时
【答案】B
【详解】
由第64天和第81天检测过程平均耗时均为8小时知，，
所以，得，
又由得，
所以当时，，
故选：B．
4．药物在体内的转运及转化形成了药物的体内过程，从而产生了药物在不同器官、组织、体液间的浓度随时间变化的动态过程，根据这种动态变化过程建立两者之间的函数关系，可以定量反映药物在体内的动态变化，为临床制定和调整给药方案提供理论依据．经研究表明，大部分注射药物的血药浓度（单位：）随时间t（单位：h）的变化规律可近似表示为，其中表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，k表示该药物在人体内的消除速率常数．已知某麻醉药的消除速率常数（单位：），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进人麻醉状态，测得其血药浓度为，当患者清醒时测得其血药浓度为，则该患者的麻醉时间约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由题意得，，即，
则，解得.
故选：B
5．2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式，其中△v为火箭的速度增量，为喷流相对于火箭的速度，和分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭达到5公里/秒，从100提高到600，则速度增量增加的百分比约为（ ）（参考数据：，，
A．15%B．30%C．35%D．39%
【答案】D
【详解】
由题意，当时，速度的增量为；
当时，速度的增量为，
所以.
故选：D.
6．2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳地震波时程，其中地震动时程强度包络函数，（单位：秒）分别为控制强震平稳段的首末时刻；（单位：秒）表示地震动总持时；是衰减因子，控制下降段衰减的快慢．在一次抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2，则当秒时，地震动时程强度包络函数值是（ ）
A．B．1C．9D．
【答案】A
【详解】
由题可知，，，
∴当时，，
∴当秒时，地震动时程强度包络函数值是.
故选：A.
7．中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期具有如下函数关系，为折现率，寿命周期为年的设备的等年值系数约为，则对于寿命周期约为年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由已知可得，解得，
当时，则.
故选：D.
8．医学上用基于SEIR流行病传播模型测算基本传染数（也叫基本再生数）来衡量传染性的强弱，基本传染数可表示为.计算基本传染数需要确定的参数有：（1）参数：，即需要知道第一例病例发生的时间（确定起点以便计算t），以及之后某一时刻的累计病例数，时间t的单位为天数；（2）参数和ρ：只要确定了潜伏期TE和传染期TI，和ρ就都确定了.已知2022年2月15日某地发现首例A型传染性病例，到2022年3月28日累计A型传染性病例数达到425例.取，，根据上面的公式计算这41天A型传染性基本传染数约为（注：参考数据：）（ ）
A．2.63B．2.78C．2.82D．3.04
【答案】D
【详解】
由，，
代入到的计算公式可以得到.
故选：D.
9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M，则下列说法正确的是（ ）
A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级
B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍
C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍
D．记地震里氏震级为n（n=1，2，···，9，10），地震释放的能量为an，则数列{an}是等比数列
【答案】ACD
【详解】
对于A：当时，由题意得，
解得，即地震里氏震级约为七级，故A正确；
对于B：八级地震即时，，解得，
所以，
所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B错误；
对于C：六级地震即时，，解得，
所以，
即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C正确；
对于D：由题意得（n=1，2，···，9，10），
所以，所以
所以，即数列{an}是等比数列，故D正确；
故选：ACD
10．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
【答案】AD
【详解】
由函数图象可知，
当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，
药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，
药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，
故选：．
11．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（ ）
A．出租车行驶，乘客需付费8元
B．出租车行驶，乘客需付费9.6元
C．出租车行驶，乘客需付费25.45元
D．某人两次乘出租车均行驶的费用之和超过他乘出租车行驶一次的费用
【答案】CD
【详解】
对于A：出租车行驶，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；
对于B：出租车行驶，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；
对于C：出租车行驶，乘客需付费元，故C正确；
对于D：某人两次乘出租车均行驶的费用之和为元，
一次行驶的费用为25.45元，，故D正确.
故选：CD
12．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则
【答案】ACD
【详解】
由图可知，过，所以，，
对A，由为指数函数，为爆炸式增长，
每月增长率为，
故每月增长率为2，故A正确；
对B，第一个月为3，第二个月为9，第三个月为27，
浮萍每月增加的面积不相等，
对C，，，故C正确；
对D，，
所以，，
所以，故D正确，
故选：ACD
13．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，
【答案】0.52
【详解】
由题可知，
所以，
所以,
即GDP增长的速度大约是.
故答案为：.
14．交通信号灯由红灯、绿灯、黄灯组成，红灯表示禁止通行，绿灯表示准许通行，黄灯表示警示，黄灯设置的时长与路口宽度、限定速度、停车距离有关．经过安全数据统计，驾驶员反应距离（单位：m）关于车速v（单位：）的函数模型为；刹车距离（单位：m）关于车速v（单位：）的函数模型为，反应距离与刹车距离之和称为停车距离，在某个十字路口标示小汽车最大限速（约），路口宽度为，如果只考虑小车通行安全，黄灯亮的时间是允许最大限速的车辆离停车线距离小于停车距离的汽车通过十字路口，那么信号灯的黄灯至少要亮____________s（保留两位有效数字）．
【答案】
【详解】
解：依题意当小汽车最大限速（约）时，
反应距离，刹车距离，
所以停车距离为，
又路口宽度为，所以，
所以时间；
故答案为：
15．如图，某荷塘里浮萍的面积y（单位：）与时间t（单位：月）满足关系式：（a为常数），记（）．给出下列四个结论：
①设，则数列是等比数列；
②存在唯一的实数，使得成立，其中是的导函数；
③常数；
④记浮萍蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【详解】
解：依题意，因为，所以且，
又，所以，所以，即，
令，，则，
则在上单调递增，又，所以，故③错误；
由已知可得，则，，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，故①正确；
令，则，，，
令，则，，
因为，所以，即，在上单调递增，
因为，所以，，，
令，，则，所以，在上单调递减，
且，即，
令，，则，所以在上单调递增，
又，所以，
所以，
，
故存在上，，故②正确；
依题意、、，所以，
所以，则，即，
所以，
因为，所以，所以，所以，
所以，即，故④正确；
故答案为：①②④
16．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为___________.
【答案】60%
【详解】
为了使1个感染者传染人数不超过1，
只需，即，∴，
由题意可得，∴，
解得，
故答案为：60%﹒