（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第10练 导数与函数的单调性（原卷版+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．函数，则（ ）
A．为偶函数，且在上单调递增
B．为偶函数，且在上单调递减
C．为奇函数，且在上单调递增
D．为奇函数，且在上单调递减
3．函数的单调递增区间（ ）
A．B．C．D．
4．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( )
A．B．C．D．
6．设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
8．已知关于x的方程有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在单调递增D．最小值为1
10．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是的极小值点
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减
D．曲线在处的切线斜率小于零
11．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
12．已知函数，则（ ）
A．的极大值为B．的极大值为
C．曲线在处的切线方程为D．曲线在处的切线方程为
三、解答题
13．已知函数，若，求的单调区间.
14．已知.
（1）当时，讨论的单调区间；
（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
15．已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
16．已知函数.讨论的单调性；
第10练 导数与函数的单调性
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
对于A，函数的定义域是R，且，是R上的增函数，满足题意；
对于B，函数是R上的减函数，不满足题意；
对于C，函数的定义域是，不满足题意；
对于D，函数在定义域R上不是单调函数，不满足题意．
故选：A．
2．函数，则（ ）
A．为偶函数，且在上单调递增
B．为偶函数，且在上单调递减
C．为奇函数，且在上单调递增
D．为奇函数，且在上单调递减
【答案】A
【详解】
函数定义域为R，
且，所以为偶函数，故排除选项C，D；
又当时，，则在上单调递增，故选项A正确，选项B错误，
故选：A．
3．函数的单调递增区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
解：因为函数，所以，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，
故选：C.
4．函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
由图象知，当或时，，函数为增函数，当或时，，函数为减函数，对应图象为A.
故选：A．
5．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围( )
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由题可知，恒成立，
故，即．
故选：A﹒
6．设是函数的导函数，是函数的导函数，若对任意恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】
解：因为对任意，，恒成立，
所以在上单调递增，且在上单调递减，即的图象增长得越来越慢，从图象上来看函数是上凸递增的，所以，
又，表示点与点的连线的斜率，
由图可知
即，
故选：A
7．若对任意的，且，都有成立，则实数m的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【详解】
由，且，可得，
则等价于，
即，所以，故，
令，则，
因为，所以在上为单调递减函数，
又由，解得，所以，
所以实数的最小值为.
故选：D.
8．已知关于x的方程有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
解：令，
因为函数在上递增，
所以函数在上递增，
又，
所以存在，使得，
所以在上函数有唯一的零点，即方程有唯一的解，
又因为关于x的方程有三个不同的实数根，
所以当时，原方程要有两个不同的实数根，
当时，
由得，
则，
则与的图像有两个交点，
设，
，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
当时，，当时，，
结合图像可知，，则．
故选：C．
二、多选题
9．已知函数（e为自然对数的底数，），则关于函数，下列结论正确的是（ ）
A．有2个零点B．有2个极值点C．在单调递增D．最小值为1
【答案】BC
【详解】
定义域为R，，
令得：或1，
当时，，当时，，
如下表：
从而判断出函数有两个极值点，在上单调递增，
BC正确，
由于恒成立，所以函数无零点，A错误，
当时，，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC
10．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是的极小值点
B．是的极小值点
C．在区间上单调递减
D．曲线在处的切线斜率小于零
【答案】AD
【详解】
A：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，
单调递增，所以3是的极小值点，因此本选项说法正确；
B：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，
单调递减，所以不是的极小值点，因此本选项说法不正确；
C：由导函数的图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增，所以本选项说法不正确；
D：：由导函数的图象可知：，所以本选项说法正确，
故选：AD
11．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为B．的单调递减区间为
C．的极大值为D．方程有两个不同的解
【答案】BC
【详解】
对于A，由（），得，，则，所以在处的切线方程为，所以A错误，
对于B，由，得，，所以的单调递减区间为，所以B正确，
对于C，由，得，当时，，当时，，所以当时，取得极大值，所以C正确，
对于D，由C选项可知的最大值为，且当时，，当时，， 所以函数与的交点个数为1，所以有1个解，所以D错误，
故选：BC
12．已知函数，则（ ）
A．的极大值为B．的极大值为
C．曲线在处的切线方程为D．曲线在处的切线方程为
【答案】BD
【详解】
解：因为，所以，所以当或时，当时，
所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确；因为.所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确；
故选：BD
三、解答题
13．已知函数，若，求的单调区间.
【详解】
由，
，令，得，，
当时，，
当时，，
所以单调递增区间为；单调递减区间为.
14．已知.
（1）当时，讨论的单调区间；
（2）若在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
【详解】
（1）当时，
则，
令，得
令，得
所以的单调递增区间为
单调递减区间为
（2）由题可知：在定义域R内单调递增
等价于
由在上单调递增，又
则
15．已知函数，其中k∈R.当时，求函数的单调区间；
【详解】
由题设，，
当时， ，令得，令 得，故的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，令 得或，
当，即时，当时或；当 时，故的单调递增区间为、，减区间为.
当，即时，在R上恒成立，故的单调递增区间为；
16．已知函数.讨论的单调性；
【详解】
函数的定义域为，且.
①当时，，函数在上单调递减；
②当时，令，可得；令，可得，
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
0
1
-
0
+
0
-
递减
极小值1
递增
极大值
递减