（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第12练 导数的综合问题（原卷版+解析）

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学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．函数在区间(0,1)内的零点个数是
A．0B．1C．2D．3
3．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数在上有零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数若关于x的方程有三个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．若函数，当时，恒成立，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1B．2C．3D．4
11．若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（ ）
A．B．C．D．2
12．已知函数（，且），则（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，有且仅有一个零点
C．当时，有两个零点
D．存在，使得存在三个极值点
三、填空题
13．已知是上的偶函数，当时，，且对恒成立，则实数的取值范围是___________.
14．已知函数两个不同的零点，则实数a的取值范围是___________.
15．已知函数，，若函数只有唯一零点，则实数a的取值范围是________.
16．已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．
四、解答题
17．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
18．已知函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
19．已知函数.
(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)记的两个极值点为，，求证：.
第12练 导数的综合问题
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
,
当时，，当时，，
的递减区间是，递增区间是，
所以取得极小值，也是最小值，
，
不等式对任意实数x都成立，
所以.
故选:D.
2．函数在区间(0,1)内的零点个数是
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
3．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
设
当时，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减
时，取得极大值
当趋向于，趋向于
当时，，单调递增
依题意可知，直线与的图象有两个不同的交点
如图所示，的取值范围为
故选：B
4．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
依题意，，
则（*）．
令，则（*）式即为．
又在上恒成立，
故只需在上单调递增，
则在上恒成立，
即在上恒成立，解得．
故选：D.
5．已知函数在上有零点，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
由函数存在零点，则有解，
设，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
则时取得最小值，且，
所以m的取值范围是．
故选：C
6．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
存在，不等式成立，
则，能成立，
即对于，成立，
令，，
则，令，
所以当，单调递增，
当，单调递减，
又，所以f(x)>−3，
所以.
故选：C
7．已知函数若关于x的方程有三个实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】
等价于，
函数的图象如图，因为的图象与有且仅有一个交点，
即有两个实数解，所以，
故选:B.
8．若函数，当时，恒成立，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：依题意，当时，恒成立，
令，，则，又，
∴在上单调递减，
∴，即
故选：D．
二、多选题
9．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】
因为函数，满足对任意的，恒成立，
当时，恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
当时，恒成立.
当时，恒成立，即恒成立，
设，，
，，为减函数，，，为增函数，
所以，所以，
综上所述：.
故选：ABC
10．已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（ ）
A．－1B．2C．3D．4
【答案】ABC
【详解】
，设
则在上， 与有相同的零点.
故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点
当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增.
所以，显然在区间内没有零点.
当时, 令，得，令，得
所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增.
所以
设，则
所以在上单调递减,且
所以存在，使得
要使得在区间内没有零点，则
所以
综上所述，满足条件的的范围是
由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意.
故选：ABC
11．若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值可能是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】ACD
【详解】
解：由题意，不等于，由，得，
令，则，
设，则，
因为函数在上单词递增，且，
所以当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
从而，
即，解得或.
故.
故选：ACD.
12．已知函数（，且），则（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，有且仅有一个零点
C．当时，有两个零点
D．存在，使得存在三个极值点
【答案】ABC
【详解】
对于A选项，当时，，即，设，
则，故当时，，当时，，
所以，故A正确；
对于B选项，当时，单调递减，且当时，，，因此只有一个零点，故B正确；
对于C选项，，即，当时，由A选项可知，，
因此有两个零点，即有两个零点，故C正确；
对于D选项，，令，得，两边同时取对数可得，，设，则，令，得，则在上单调递减，在上单调递增，因此最多有两个零点，所以最多有两个极值点，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
13．已知是上的偶函数，当时，，且对恒成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
，
故为增函数，当时，，可得为增函数.
又为偶函数，故，
恒成立.
因为，，
所以有，
故答案为：
14．已知函数两个不同的零点，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【详解】
令，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 在上恒成立，递减，不可能有两个零点，
当时，存在使得 ，即 ，
当时， ，当 时， ，
若两个不同的零点，即有两个零点，
则 ，即，
解得，
故答案为：
15．已知函数，，若函数只有唯一零点，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【详解】
令，得，
则
当时，令，所以，
则在单调递减，
所以函数与的图象，
由图象可知，
当，即时，图象有1个交点，即存在1个零点.
故答案为：
16．已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【详解】
由得，
令，∴
∴在单调递增，
又∵
∴，在上恒成立，即
令，则
∴在单调递减，又因为，
∴．
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【详解】
解：（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.
所以综上所述：.
18．已知函数．
（1）若，求函数在区间上的最大值；
（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】
解：（1）当时，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值为，当时，所以函数在区间上的最大值为；
（2）由，所以，
当时所以函数在定义域上单调递增，则只有一个零点，故舍去；
所以，令得或，
函数有三个零点，等价于的图象与轴有三个交点，函数的极值点为，，
当时，令得或，所以函数在和上单调递增，
令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，解得；
当时，令得或，所以函数在和上单调递增，
令得，所以函数在上单调递减，所以函数在处取得极小值，所以的图象与轴不可能有三个交点；
综上可得，即
19．已知函数.
(1)若在上为单调函数，求实数a的取值范围；
(2)记的两个极值点为，，求证：.
【解析】
(1)
的定义域为，，又单调，
∴对恒成立，即()恒成立，
而，当且仅当时取等号，
∴.
(2)
由（1）知：，是的两个根，则，，且，
∴，故，
，而，
∴，得证.