（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第18讲 等差数列及其求和（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝eq \f(x＋y,2).
②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
考点和典型例题
1、等差数列的基本运算
【典例1-1】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
【典例1-2】（2022·北京育才学校模拟预测）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-3】（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）
A．10B．14C．23D．26
【典例1-4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【典例1-5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【典例1-6】（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
2、等差数列的判定与证明
【典例2-1】（2022·安徽·高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为单增数列B．数列为单减数列
C．对任意正整数n，都有D．对任意正整数n，都有
【典例2-2】（2022·辽宁实验中学高二期中）已知等差数列，其前n项的和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．数列不可能是等差数列
C．
D．若公差，且，则当时，取得最小值
【典例2-3】（2022·湖北·高二阶段练习）已知数列满足，（）.
(1)求证数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知数列满足，设．
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)若是数列的前项和，求的通项公式．
【典例2-5】（2018·河南洛阳·一模（理））已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
3、等差数列的性质及应用
【典例3-1】（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【典例3-2】（2007·辽宁·高考真题（理））设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
【典例3-3】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【典例3-4】（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【典例3-5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
第18讲 等差数列及其求和
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝eq \f(x＋y,2).
②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(n（n－1）d,2)＝eq \f(n（a1＋an）,2).
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列.
(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1).
(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(n,n－1).
考点和典型例题
1、等差数列的基本运算
【典例1-1】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（ ）
A．31B．C．D．63
【答案】C
【详解】
∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
【典例1-2】（2022·北京育才学校模拟预测）设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
解：由题意得：
设的公差为
又
又，
故选：D
【典例1-3】（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（ ）
A．10B．14C．23D．26
【答案】A
【详解】
解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．
由题意可知，等差数列中，前5项和为100，
设公差为，前项和为，
则，解得，
所以，
所以公士出的钱数为，
故选：A．
【典例1-4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（ ）
A．9B．8C．7D．6
【答案】C
【详解】
因为，又，
所以，
所以，即，
设等差数列的公差为，
则，
所以，又，
所以，
所以．
故选：C.
【典例1-5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
故选：D.
【典例1-6】（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
由得：，.
故选：B.
2、等差数列的判定与证明
【典例2-1】（2022·安徽·高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为单增数列B．数列为单减数列
C．对任意正整数n，都有D．对任意正整数n，都有
【答案】BD
【详解】
在等差数列中，因为，，
可得，，
即且，即且，
所以，，且，此时数列为递减数列，
可得对任意正整数n，都有.
故选：BD.
【典例2-2】（2022·辽宁实验中学高二期中）已知等差数列，其前n项的和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．数列不可能是等差数列
C．
D．若公差，且，则当时，取得最小值
【答案】ACD
【详解】
设数列的公差为，则，
所以，，，
所以，C正确；
若，则，
所以，
因为，所以当时，取得最小值，D对，
因为，所以，
所以，
所以数列是等差数列，A对，
，所以，，，
令可得，化简可得，
此时，所以，
所以数列可能是等差数列，B错，
故选：ACD.
【典例2-3】（2022·湖北·高二阶段练习）已知数列满足，（）.
(1)求证数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
【解析】(1)由已知可得，即，即，
是等差数列.
(2)由（1）知，，，
相减得，
【典例2-4】（2021·河北保定·高二期中）已知数列满足，设．
(1)判断数列是否为等差数列，并说明理由；
(2)若是数列的前项和，求的通项公式．
【解析】(1)由可得： ，
故由可知，，
故数列为等差数列；
(2)由（1）知，数列为首项 ，公差为2的等差数列，
故 ，即，
由于是数列的前项和，故，
当 时， ，
适合上式，
故 .
【典例2-5】（2018·河南洛阳·一模（理））已知数列满足，，数列满足.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）因为，
即，∴，
由等差数列的定义可得是首项为，公差为的等差数列.
∴.
（2）由（1）知，
所以，
两边同时乘以得，，
两式相减得，
即 ，
所以.
3、等差数列的性质及应用
【典例3-1】（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则
A．64B．96C．128D．160
【答案】C
【详解】
由题意，五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，设公差为，
因为，，可得，
可得，
又由长与宽之比都相等，且，可得，所以.
故选：C.
【典例3-2】（2007·辽宁·高考真题（理））设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．63B．36C．45D．27
【答案】C
【详解】
由等差数列的项和的性质可知，成等差数列，
即，，成等差数列，所以，所以.
即.
故选：C
【典例3-3】（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块
【答案】C
【详解】
设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【典例3-4】（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）等差数列的前项和为，已知，为整数，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
由，为整数知，等差数列的公差为整数.
又，故，.
于是，，解得，
因此，故数列的通项公式为.
(2)
，
于是
.
【典例3-5】（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．
(1)求{}和{}的通项公式；
(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2)
【解析】(1)
解：等差数列{}中，设公差为d，
则
数列{}中的前n项和为，且①
当时，
当时，②
②－①得：
故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以.
(2)
解：数列{}中，.
则
所以
故
所以
∵对恒成立．
当n为奇数时，，
当n为偶数时，
综上：实数m的取值范围为．