（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第22讲 空间中的平行关系（讲义+解析）

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一、知识梳理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
如果平面α与平面β没有公共点，则α∥β.
(2)判定定理与性质定理
考点和典型例题
1、直线与平面平行
【典例1-1】已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则直线B．若，，，则a与b是异面直线
C．若，，则D．若，，则a，b一定相交
【典例1-2】如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
【典例1-3】已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m//，m//n，则n//B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//nD．若m//，m，＝n，则m//n
【典例1-4】已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）
A．，则
B．，，则
C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行
【典例1-5】如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（ ）
A．B．
C．D．
2、平面与平面平行
【典例2-1】已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（ ）
A．，
B．，，，
C．，，
D．，，，，
【典例2-2】设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【典例2-3】在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面与平面B．平面与平面
C．平面与平面D．平面与平面
【典例2-4】在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分B．一个点
C．线段的一部分D．圆的一部分
【典例2-5】如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
平行关系的综合应用
【典例3-1】如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．三棱锥的表面积为
D．三棱锥的体积为
【典例3-2】已知，，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【典例3-3】如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
(1)当P为EF的中点时，证明：平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【典例3-4】如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：；
(3)求三棱锥的体积．
【典例3-5】如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行
如果l⊄α，m⊂α，l∥m，则l∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线就与两平面的交线平行
如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β，则α∥β
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则m∥l
第22讲 空间中的平行关系
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
(2)判定定理与性质定理
2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
如果平面α与平面β没有公共点，则α∥β.
(2)判定定理与性质定理
考点和典型例题
1、直线与平面平行
【典例1-1】已知a，b是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则直线B．若，，，则a与b是异面直线
C．若，，则D．若，，则a，b一定相交
【答案】C
【详解】
若，，则直线或，A错误；
若，，，则a与b平行或a与b是异面直线，B错误；
若，，由面面平行的性质可得：存在使得，由线面平行的判定可得，C正确；
若，，则a，b相交或平行，D错误.
故选：C
【典例1-2】如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
【答案】A
【详解】
连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；

以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；
直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
【典例1-3】已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若m//，m//n，则n//B．若m//，n//，则m//n
C．若m//，n，则m//nD．若m//，m，＝n，则m//n
【答案】D
【详解】
如图，长方体中，平面视为平面，
对于A，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，m//n，而，A不正确；
对于B，直线AB视为m，直线BC视为n，满足m//，n//，而m与n相交，B不正确；
对于C，直线AB视为m，直线视为n，满足m//，n，显然m与n是异面直线，C不正确；
对于D，由直线与平面平行的性质定理知，D正确.
故选：D
【典例1-4】已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ）
A．，则
B．，，则
C．平面内的不共线三点到平面β的距离相等，则与平行
D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行
【答案】D
【详解】
，则或，故选项A错误；
，，则或，故选项B错误；
当平面与平面相交时，可以在平面内找到不共线三点到平面β的距离相等，故选项C错误；
如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确.
故选：D.
【典例1-5】如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
对于A选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，所以，，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于C选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，所以，，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于D选项，连接、交于点，则为的中点，设，连接，
因为、分别为、的中点，则，
若平面，平面，平面平面，则，
在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.
假设不成立，故D选项中的直线与平面不平行.
2、平面与平面平行
【典例2-1】已知直线l，m和平面、，下列命题正确的是（ ）
A．，
B．，，，
C．，，
D．，，，，
【答案】D
【详解】
A：，，则或，错误；
B：若时，或相交；若相交时，，错误；
C：，，，则平行、相交、重合都有可能，错误；
D：，且，，根据面面平行的判定知：，正确.
故选：D
【典例2-2】设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】D
【详解】
A选项，若，，则，或m，n相交或m，n异面，A错误；
B选项，若，，则或，相交，B错误；
C选项，若，，则或，C错误；
D选项，若，，则，D正确.
故选：D
【典例2-3】在正方体中，下列四对截面彼此平行的是（ ）
A．平面与平面B．平面与平面
C．平面与平面D．平面与平面
【答案】A
【详解】
如图，正方体，
所以四边形是平行四边形，平面，
面，所以平面，同理平面.
因为平面，
所以平面平面.
故选：A
【典例2-4】在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分B．一个点
C．线段的一部分D．圆的一部分
【答案】C
【详解】
如图，过作交于，连接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，
所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），
故选：C．
【典例2-5】如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
【解析】(1)
证明：连接交于点，则为的中点，
因为为的中点，则，
平面，平面，因此，平面.
(2)证明：因为且，为的中点，为的中点，
所以，，，所以，四边形为平行四边形，
所以，，平面，平面，所以，平面，
因为，因此，平面平面.
平行关系的综合应用
【典例3-1】如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论错误的是（ ）
A．直线与为异面直线
B．平面
C．三棱锥的表面积为
D．三棱锥的体积为
【答案】D
【详解】
因为平面,平面,平面,,所以直线与为异面直线,故A对.平面，平面，平面，故B对.
,,所以三棱锥的表面积为，故C对.
,故D 错.
故选:D
【典例3-2】已知，，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】C
【详解】
如图所示：
A. 若，满足，，则异面，故错误；
B. 若平面ABCD，满足，，则a，b相交；故错误；
C. 因为，，由垂直同一直线的两个平面平行，则，故正确；
D. 若平面ABCD，满足，，，故错误；
故选：C
【典例3-3】如图，在四棱锥中，，，点F为棱CD的中点，与E，F相异的动点P在棱EF上.
(1)当P为EF的中点时，证明：平面ADE；
(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得平面PBD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)
如图，设点为棱的中点，连接，，
∴,，
∵，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又平面，平面，
∴平面.
(2)
如图，延长，相交于点，连接，则直线为平面与平面的交线，连接，交于点，
若平面，由线面平行的性质可知，
设，
∵点为棱的中点，，，
∴，
∵，，三点共线，
∴，即，
所以当时，，∴，
又平面，平面，∴平面，
∴存在满足条件的点使得平面，此时.
【典例3-4】如图，四边形ABCD为长方形，平面ABCD，，，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面平面．
(1)证明：平面PBE；
(2)证明：；
(3)求三棱锥的体积．
【解析】(1)
取PB中点，连接FG，EG，因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以，，因为四边形ABCD为长方形，所以，且，所以，，所以四边形DEGF为平行四边形，所以
因为平面PBE，平面PBE，平面PBE
(2)由（1）知平面PBE，又平面PDC，平面平面
所以
(3)因为平面ABCD，所以PD为三棱锥的高，
所以．
【典例3-5】如图所示的几何体中，，，都是等腰直角三角形，，且平面平面，平面平面．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
【解析】(1)
证明：分别取的中点，连接，
设，则，
，
又平面平面，平面平面平面，
平面，
同理可证平面，，
又因为，所以四边形是平行四边形，，
又平面平面，平面；
(2)
如图，取的中点为，则，
以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行
如果l⊄α，m⊂α，l∥m，则l∥α
性质定理
一条直线和一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线就与两平面的交线平行
如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
如果l⊂α，m⊂α，l∩m≠∅，l∥β，m∥β，则α∥β
性质
两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β，a⊂α⇒a∥β
性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
如果α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m，则m∥l