(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题12 随机事件的概率与事件的相互独立性（重难点突破）原卷版+解析

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题12 随机事件的概率与事件的相互独立性（重难点突破）原卷版+解析，共26页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，题型突破，课堂训练等内容，欢迎下载使用。

二、考点梳理
事件的相互独立性：
1.相互独立的概念：对于任意两个事件如果P(AB)=P(A)P(B)成立, 则称事件A与事件B相互独立.简称独立 .
2. 相互独立事件的性质
①必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立
【微点拨】如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但当三个事件A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
三、题型突破
重难点题型突破1 事件的基本关系与运算
例1．（1）、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为( )
A．B．C．D．
（2）、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．必然事件的概率为0
B．事件是一个基本事件
C．随机事件A的概率满足
D．每一个随机事件都是样本空间的一个子集
【变式训练1-1】、（2022·全国·高三专题练习（理））战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：①从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；②每匹马参加且只参加一次比赛；③三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者.已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌嬴得比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列说法正确的为（ ）
A．在袋子中放有2白2黑大小相同的4个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为.
B．做n次随机试验，事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率
C．必然事件的概率为1.
D．在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型.
重难点题型突破2 古典概型
例2．（1）、（2022·重庆·三模）中国传统文化中，在齐鲁大地过年包饺子要包三样，第一是麸子，寓意幸福；第二是钱币，寓意求财：第三是糖，寓意甜蜜.小明妈妈在除夕晚煮了10个饺子，其中5个麸子饺子，3个钱币饺子，2个糖饺子，小明从中随机夹了3个饺子，则小明夹到的饺子中既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是（ ）
A．B．C．D．
（2）、（2022·河南·模拟预测（文））甲、乙两人是某学校的门岗保安，根据值班安排，甲每连续工作4天后休息1天，乙每连续工作2天后休息1天．若这学期开学第一天甲、乙都休息，在不调整作息时间的情况下，则在整个学期内（按120天算），甲、乙在同一天工作的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-1】、（2022·河北·邢台市南和区第一中学高一阶段练习）某校为了庆祝六一儿童节，计划在学校花坛的左右两边布置红色､黄色､蓝色､绿色4种颜色的气球，要求每一边布置两种颜色的气球，则红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为___________.
【变式训练2-2】、（2022·全国·高三专题练习（文））2019年中共中央、国务院印发了《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，《意见》提出坚持“五育并举”，全面发展素质教育．为了落实相关精神，某校举办了科技、艺术、劳动、美食文化周活动，在本次活动中小明准备从水火箭、机甲大师、绘画展、茶叶采摘、茶叶杀青、自助烧烤个项目中随机选择个项目参加，那么小明的选择中没有“茶叶采摘”这一项目的概率是______．
重难点题型突破3 事件的相互独立性
例3．（1）、（2022·全国·高三专题练习）有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件
B．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件
C．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率
D．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率
（2）、（2021·全国·模拟预测）如图，开关，被称为双联开关，可以与a，b点相连，概率分别为，可以与c，d点相连，概率分别为，普通开关要么与e点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为．若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯不亮的概率是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3-1】、（2022·全国·高一课时练习）袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件表示“3次抽到的球全是红球”，事件表示“次抽到的球颜色全相同”，事件表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件不对立
C．D．
【变式训练3-2】、（2022·全国·高三专题练习）中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数．为推动湘西体育武术事业发展，加强全民搏击健身热度，让搏击这项运动融人人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月2—3日在花垣县体育馆举行．某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看“2021年中国湘四边城全国拳王争霸赛”，已知小郑小汤、小王三人通过考核的概率分别为，，，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为________．
重难点题型突破4 概率的综合应用
例4．（2022·湖南·高二期中）朝阳小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．
(1)求选到的两个学生来自同一个班的概率；
(2)在已知其中一个是男生的条件下，求另一个也是男生的概率；
(3)通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，从同一个班中选两个同学参赛，求两个都是男生的概率．
【变式训练4-1】、（2022·全国·高三专题练习）冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场比赛共10局，在每局比赛中，每个团队由多名运动员组成，轮流掷壶、刷冰、指挥．两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜．冰壶运动考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧．同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶．已知甲、乙两队参加冰壶比赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为，每局比赛不考虑平局．在该场比赛中，前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分．
(1)求第七局、第八局均为甲方得分的概率；
(2)求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．
四、课堂训练（30分钟）
1．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（文））为深入挖掘中华优秀传统文化所蕴含的思想观念、人文精神和道德规范，某校开展“新六艺”教育活动，学校开设“德商”“艺商”“职商”“逆商”“文商”“速商”六门课程，要求学生通学其中两门．则每位学生不同的选课方案的种数为（ ）．
A．10B．15C．20D．30
2．（2022·全国·高一专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（ ）
A．
B．事件和事件互为互斥事件
C．事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”
D．事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”
4．（2022·全国·高一课时练习）某学校共3000名学生，为了调查本学校学生携带手机进校园情况，对随机抽出的500名学生进行调查，调查中使用了2个问题，问题1：你生日的月份是否为奇数？问题2：你是否携带手机？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的硬币，被调查者背对着调查人员掷一次硬币，如果正面朝上，则回答问题1；如果反面朝上，则回答问题2.共有175人回答“是”，则下列说法正确的有（ ）
A．估计被调查者中约有175人携带手机
B．估计本校学生约有600人携带手机
C．估计该学校约有的学生携带手机
D．估计该学校约有的学生携带手机
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）某校举行篮球比赛，甲、乙两班各出5名运动员（3男2女）进行比赛，为增加趣味性，下半场从两班各抽取两人交换队伍后进行比赛，则下半场从乙班抽取一名运动员为女生的概率是_________．
6．（2022·全国·高二课时练习）下列事件中，随机事件的序号为______．
①某项体育比赛出现平局．
②全球变暖会导致海平面上升．
③一个三角形的三边长分别为1、2、3．
④抛掷一枚硬币，出现反面向上．
7．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该兴趣小组称这种方法为“长队法”.为了检验他们的想法，该兴趣小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验.“传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图.
(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；
(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率.
内 容
考点
关注点
随机事件与概率
随机事件、必然事件、不可能事件
事件的分类
随机事件的并、交与互斥的含义
元素的互异性
古典概型
求概率
概率性质
互斥事件、对立事件的概率
专题12 随机事件的概率与事件的相互独立性
一、考情分析
二、考点梳理
事件的相互独立性：
1.相互独立的概念：对于任意两个事件如果P(AB)=P(A)P(B)成立, 则称事件A与事件B相互独立.简称独立 .
2. 相互独立事件的性质
①必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立
②如果事件A与B相互独立，那么A与eq \x\t(B)，eq \x\t(A)与B，eq \x\t(A)与eq \x\t(B)也都相互独立
【微点拨】如果三个事件A、B、C两两互斥，那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但当三个事件A、B、C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
三、题型突破
重难点题型突破1 事件的基本关系与运算
例1．（1）、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，是充分体现我国劳动人民智慧的一种计数方法.在算筹计数法中，用一根根同样长短和粗细的小棍子(用竹子，木头，兽骨，象牙，金属等材料制成)以不同的排列方式来表示数字，如果用五根小木棍随机摆成图中的两个数(小木棍全部用完)，那么这两个数的和不小于9的概率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
分用(1根+4根)和(2根+3根)两种情况组成不同的两个数，求出总的组合数，并求出各个组合中两数的和，根据古典概型概率计算方法计算即可．
【详解】
用五根小木棍摆成两个数，共有两种摆放方法：
第一种是用1根和4根小木棍可以组成：1与4、1与8，其和分别为5、9，共2种；
第二种是用2根和3根小木棍可以组成：2与3、2与7、6与3、6与7，其和分别为5、9、9、13，共4种；
故用五根小木棍随机摆成图中的两个数，有2+4=6种不同组合，其中两个数的和不小于9的有4种，故所求概率为．
故选：A．
（2）、（2022·全国·高二课时练习）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．必然事件的概率为0
B．事件是一个基本事件
C．随机事件A的概率满足
D．每一个随机事件都是样本空间的一个子集
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据随机事件、必然事件及不可能事件的定义与性质，逐一分析各选项即可求解.
【详解】
解：对A：必然事件的概率为1，故选项A错误；
对B：事件中不包含任何样本点，故事件不是一个基本事件，故选项B错误；
对C：随机事件A的概率满足，故选项C正确；
对D：每一个随机事件都是样本空间的一个子集，故选项D正确.
故选：CD.
【变式训练1-1】、（2022·全国·高三专题练习（理））战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：①从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；②每匹马参加且只参加一次比赛；③三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者.已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌嬴得比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出基本事件总数，再求出田忌获胜的事件数，据此即可求出概率.
【详解】
双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，即田忌下等马对阵刘王上等马，田忌上等马对阵刘王中等马，田忌中等马对阵刘王下等马，所以田忌赢得比赛的概率为.
故选：D.
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一课时练习）（多选题）下列说法正确的为（ ）
A．在袋子中放有2白2黑大小相同的4个小球，甲乙玩游戏的规则是从中不放回的依次随机摸出两个小球，如两球同色则甲获胜，否则乙获胜，那么甲获胜的概率为.
B．做n次随机试验，事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率
C．必然事件的概率为1.
D．在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型.
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，根据古典概型的概率求解即可；
对于B，根据概率的性质判断即可；
对于C，根据必然事件的性质判断即可；
对于D，根据古典概型的定义判断即可
【详解】
逐一分析判断每一个选项：
对于A，从4个小球中选取两个小球共有种方案，其中两个小球颜色相同的方案数为2种，故甲获胜的概率为，故A选项错误；
对于B，随着事件次数的增加，频率会越来越接近概率，故事件A发生的频率可以估计事件A发生的概率，故B选项正确；
对于C，必然事件一定发生，故其概率是1，故C选项正确；
对于D，古典概型要求随机事件的结果可能性相等，在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验发芽与不发芽可能性不一定相等，故D选项错误；
故选：BC.
重难点题型突破2 古典概型
例2．（1）、（2022·重庆·三模）中国传统文化中，在齐鲁大地过年包饺子要包三样，第一是麸子，寓意幸福；第二是钱币，寓意求财：第三是糖，寓意甜蜜.小明妈妈在除夕晚煮了10个饺子，其中5个麸子饺子，3个钱币饺子，2个糖饺子，小明从中随机夹了3个饺子，则小明夹到的饺子中既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分三种情况讨论，利用古典概型的概率公式得解.
【详解】
解：小明从中随机夹了3个饺子共有种；
如果是1个麸子1个钱币饺子1个糖饺子，共有种；
如果是1个麸子2个钱币饺子，共有种；
如果是2个麸子1个钱币饺子，共有种.
由古典概型的概率公式得:
小明夹到的饺子中既有麸子饺子又有钱币饺子的概率是.
故选：C
（2）、（2022·河南·模拟预测（文））甲、乙两人是某学校的门岗保安，根据值班安排，甲每连续工作4天后休息1天，乙每连续工作2天后休息1天．若这学期开学第一天甲、乙都休息，在不调整作息时间的情况下，则在整个学期内（按120天算），甲、乙在同一天工作的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
通过列举找到甲乙工作时间相同的规律，再利用古典概型的概率公式求解.
【详解】
解：甲工作是时间为2,3,4,5—7,8,9,10—12,13,14,15—17,18,19,20—22,23,24,25—27,28,29,30—
乙工作的时间为2,3—5,6—8,9—11,12—14,15—17,18—20,21—23,24—26,27—29,30—
所以甲乙同一天工作是时间为2,3,5,8,9,12,14,15—17,18,20,23,24,27,29,30—
从中可以看出甲乙工作时间以15天为一个周期，一个周期里有8天相同，
所以120天可以看作8个工作周期，共有天相同.
由古典概型的概率公式得甲、乙在同一天工作的概率为.
故选：C
【变式训练2-1】、（2022·河北·邢台市南和区第一中学高一阶段练习）某校为了庆祝六一儿童节，计划在学校花坛的左右两边布置红色､黄色､蓝色､绿色4种颜色的气球，要求每一边布置两种颜色的气球，则红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
列举出所有结果，然后由古典概型的概率公式可得.
【详解】
在学校花坛的左右两边布置气球的所有可能结果有（红黄，蓝绿），（红蓝，黄绿），（红绿，黄蓝），（黄蓝，红绿），（黄绿，红蓝），（蓝绿，红黄），共6种，其中红色气球和黄色气球恰好在同一边的所有可能结果有（红黄，蓝绿），（蓝绿，红黄），共2种，所以红色气球和黄色气球恰好在同一边的概率为.
故答案为：
【变式训练2-2】、（2022·全国·高三专题练习（文））2019年中共中央、国务院印发了《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，《意见》提出坚持“五育并举”，全面发展素质教育．为了落实相关精神，某校举办了科技、艺术、劳动、美食文化周活动，在本次活动中小明准备从水火箭、机甲大师、绘画展、茶叶采摘、茶叶杀青、自助烧烤个项目中随机选择个项目参加，那么小明的选择中没有“茶叶采摘”这一项目的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】
用符号表示各个项目，利用列举计数得到从6个项目中任选2各项目的所有结果种数，并计算其中满足条件的选法种数，根据古典概型的计算公式计算.
【详解】
设六个项目依次用符号a,b,c,d,e,f表示，其中d是“茶叶采摘”.
从中最忌选择两个项目参加，有ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15中不同的结果，每一种结果都是等可能的，包含d的有ad ,bd,cd,de,df共5种，不包含d的有10种，
所以所求概率为,
故答案为：.
重难点题型突破3 事件的相互独立性
例3．（1）、（2022·全国·高三专题练习）有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（ ）
A．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件
B．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件
C．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率
D．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率
【答案】C
【解析】
【分析】
根据互斥事件的概念可判断AB；分别计算对应的概率可判断CD.
【详解】
当取出的两球为一红一蓝时，可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生，即A错误；
当取出的两球为一红一蓝时，可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生，即B错误；
记“至少取到1个红球”为事件A，“至少取到1个蓝球”为事件B，“至多取到1个红球”为事件C，“至多取到1个蓝球”为事件D，
故，，
，，
显然，，即C正确，D错误；
故选：C.
（2）、（2021·全国·模拟预测）如图，开关，被称为双联开关，可以与a，b点相连，概率分别为，可以与c，d点相连，概率分别为，普通开关要么与e点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为．若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯不亮的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对立事件，结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
先考虑对立事件“电灯亮”：首先需要“与e点相连”，同时满足“与点相连且与c点相连”或“与b点相连且与d点相连”，因此电灯亮的概率，故电灯不亮的概率为.
故选：C
【变式训练3-1】、（2022·全国·高一课时练习）袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件表示“3次抽到的球全是红球”，事件表示“次抽到的球颜色全相同”，事件表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（ ）
A．事件与事件互斥B．事件与事件不对立
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件与事件不互斥，故错误；
对于B，事件与事件不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件与事件互为对立事件，故错误；
对于C，因为，所以，故正确；
对于D，因为事件与事件C互斥，，所以，所以，故D错误.
故选：C
【变式训练3-2】、（2022·全国·高三专题练习）中国传统文化博大精深，民间高人更是不计其数．为推动湘西体育武术事业发展，加强全民搏击健身热度，让搏击这项运动融人人们的生活，“2021年中国湘西边城全国拳王争霸赛”于5月2—3日在花垣县体育馆举行．某武术协会通过考核的方式从小郑、小汤、小王三人中挑选人员到现场观看“2021年中国湘四边城全国拳王争霸赛”，已知小郑小汤、小王三人通过考核的概率分别为，，，且三人是否通过考核相互独立，那么这三人中仅有两人通过考核的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意三人中仅有两人通过考核可看做3个互斥事件的和，利用互斥事件和的概率公式求解.
【详解】
设这三人中仅有两人通过考核为事件，小郑、小汤、小王三人通过考核分别为事件，，，则，，，
所以，，，
所以．
故答案为：
重难点题型突破4 概率的综合应用
例4．（2022·湖南·高二期中）朝阳小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．
(1)求选到的两个学生来自同一个班的概率；
(2)在已知其中一个是男生的条件下，求另一个也是男生的概率；
(3)通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，从同一个班中选两个同学参赛，求两个都是男生的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【解析】
【分析】
（1）利用互斥事件和古典概型的概率公式求解；
（2）利用条件概率公式求解；
（3）利用互斥事件和古典概型的概率公式求解.
(1)
解：记“选到两个学生来自同一个班”为事件A，则；
(2)
解：记“其中一个是男生”为事件，“另一个是男生”为事件，
；
(3)
解：记“随机从甲、乙两班中选两人参赛”分别为事件，，“两个都是男生”为事件C，
则．
【变式训练4-1】、（2022·全国·高三专题练习）冰壶被喻为冰上的“国际象棋”，是以团队为单位在冰上进行的投掷性竞赛项目，每场比赛共10局，在每局比赛中，每个团队由多名运动员组成，轮流掷壶、刷冰、指挥．两边队员交替掷壶，可击打本方和对手冰壶，以最终离得分区圆心最近的一方冰壶数量多少计算得分，另外一方计零分，以十局总得分最高的一方获胜．冰壶运动考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧．同时由于冰壶的击打规则，后投掷一方有优势，因此前一局的得分方将作为后一局的先手掷壶．已知甲、乙两队参加冰壶比赛，在某局中若甲方先手掷壶，则该局甲方得分概率为；若甲方后手掷壶，则该局甲方得分概率为，每局比赛不考虑平局．在该场比赛中，前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，其中第六局乙方得分．
(1)求第七局、第八局均为甲方得分的概率；
(2)求当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用独立事件的概率公式求解；
（2）求出后面四局甲全胜和甲胜三局的概率即得解.
(1)
解：第六局乙方得分，所以第七局乙方先掷壶，甲方后掷壶，则第七局甲方得分概率为；
第七局甲方得分，则第八局甲先掷壶，乙后掷壶，第八局甲方得分的概率为，
所以第七局、第八局均为甲方得分的概率为.
(2)
解：前面已经比赛了六局，双方各有三局得分，所以后面四局甲全胜或者甲胜三局.
后面四局甲全胜，且第七局乙先掷壶，则概率为；
后面四局甲胜三局，且第七局乙先掷壶，分为第七局乙得分或者第八局乙得分或第九局乙得分或第十局乙得分，
所以概率为
则当十局比完，甲方的得分局多于乙方的概率为.
四、课堂训练（30分钟）
1．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（文））为深入挖掘中华优秀传统文化所蕴含的思想观念、人文精神和道德规范，某校开展“新六艺”教育活动，学校开设“德商”“艺商”“职商”“逆商”“文商”“速商”六门课程，要求学生通学其中两门．则每位学生不同的选课方案的种数为（ ）．
A．10B．15C．20D．30
【答案】B
【解析】
【详解】
学生从六门课程中选两门同学，设这六门课程分别为a，b，c，d，e，f，
则选课方案有，，，，，，，，，，，，，，，共15种．
故选：B.
2．（2022·全国·高一专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用列举法，先列出四项中选两项的所有情况，再找出没选择冰壶的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】
记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A,B,C,D，则这四个项目中任意选两项的情况有：AB,AC,AD,BC,BD,CD，6种情况，
其中没有选择冰壶的有：BC,BD,CD，3种情况，
所以所求概率为.
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）已知有6个电器元件，其中有2个次品和4个正品，每次随机抽取1个测试，不放回，直到2个次品都找到为止，设随机试验“直到2个次品都找到为止需要测试的次数”的样本空间为，设事件“测试次刚好找到所有的次品”，以下结论正确的是（ ）
A．
B．事件和事件互为互斥事件
C．事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”
D．事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据题意逐项分析即可判断出结果.
【详解】
A：由题意可知，直到2个次品都找到为止需要测试的次数，最少是测试2次，即前2次均测试出次品，最多测试5次，即前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品，所以，故A错误；
B：事件为前两次均测试出次品，事件为前2次有1次测试出次品，第3次测试出次品，符合对立事件的条件，故B正确；
C：事件“前3次测试中有1次测试到次品，2次测试到正品，且第4次测试到次品”或“前4次测试到全是正品”，故C错误；
D：事件“前4次测试中有1次测试到次品，3次测试到正品”，故D正确.
故选：BD.
4．（2022·全国·高一课时练习）某学校共3000名学生，为了调查本学校学生携带手机进校园情况，对随机抽出的500名学生进行调查，调查中使用了2个问题，问题1：你生日的月份是否为奇数？问题2：你是否携带手机？调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的硬币，被调查者背对着调查人员掷一次硬币，如果正面朝上，则回答问题1；如果反面朝上，则回答问题2.共有175人回答“是”，则下列说法正确的有（ ）
A．估计被调查者中约有175人携带手机
B．估计本校学生约有600人携带手机
C．估计该学校约有的学生携带手机
D．估计该学校约有的学生携带手机
【答案】BC
【解析】
【分析】
先根据正反面的等可能性和奇数月份的等可能性计算回答第一个问题且回答是的人数，即得到500名学生中带手机的学生人数及比例，即得到结果.
【详解】
随机抽取的500名学生中，回答第一个问题的概率为，生日月份为奇数的概率也是，
所以回答第一个问题且回答是的人数为，
所以回答第二个问题且回答是的人数为，
所以随机抽取的500名学生中，带手机的学生人数的比例为，
故该学校3000名学生中，带手机的学生人数为.
所以BC正确.
故选：BC.
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）某校举行篮球比赛，甲、乙两班各出5名运动员（3男2女）进行比赛，为增加趣味性，下半场从两班各抽取两人交换队伍后进行比赛，则下半场从乙班抽取一名运动员为女生的概率是_________．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】
根据古典概型的计算公式即可求解.
【详解】
解：乙班共5名运动员，其中2名女生，故抽取一名女生的概率.
故答案为：
6．（2022·全国·高二课时练习）下列事件中，随机事件的序号为______．
①某项体育比赛出现平局．
②全球变暖会导致海平面上升．
③一个三角形的三边长分别为1、2、3．
④抛掷一枚硬币，出现反面向上．
【答案】①④
【解析】
【分析】
由随机事件、必然事件、不可能事件的定义即可得出答案.
【详解】
体育比赛出现平局、抛掷一枚硬币出现反面向上均为随机事件；全球变暖会导致冰川溶化，海平面上升是必然事件；因为三角形两边之和大于第三边，而1+2=3，所以一个三角形的三边长分别为1、2、3是不可能事件．
故答案为：①④．
7．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该兴趣小组称这种方法为“长队法”.为了检验他们的想法，该兴趣小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验.“传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图.
(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；
(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率.
【答案】(1)（分钟），选择“传统排队法”更适合
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据柱状图中的数据和平均数的公式求解使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，从而进行比较，
（2）利用列举法求解，先列出6人中随机选2人的所有情况，然后找出先出的两人都是等待时间在[8，10）的情况，再利用古典概型的概率公式求解
(1)
（分钟）
因为使用“长队法”顾客的平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间，
所以选择“传统排队法”更适合；
(2)
记事件A=“获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满意顾客，用a表示等待时间在[10，12]的满意顾客，
Ω={（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（1，a），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（3，4），（3，5），（3，a），（4，5），（4，a），（5，a）}
n（Ω）=15，事件A包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），
，
.
内 容
考点
关注点
随机事件与概率
随机事件、必然事件、不可能事件
事件的分类
随机事件的并、交与互斥的含义
元素的互异性
古典概型
求概率
概率性质
互斥事件、对立事件的概率
齐王的马
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的马
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上