(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题13 频率与概率（重难点突破）原卷版+解析

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题13 频率与概率（重难点突破）原卷版+解析，共17页。试卷主要包含了考情分析，题型梳理等内容，欢迎下载使用。

二、题型梳理
例1．（1）、（2022·河南·高三阶段练习（理））我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157石B．164石C．170石D．280石
（2）、（2021·广西·昭平中学高二阶段练习（理））小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了次，每次朝上的点数都是，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上点数是的概率为B．朝上点数是的频率为
C．抛掷第次，朝上点数一定不会是D．抛掷第次，朝上点数一定是
（3）、（2022·福建南平·三模）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
（4）、（2022·江西·景德镇一中高一期中）从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件.则下列说法中不正确的是（ ）
A．事件C发生的概率为B．事件C发生的频率为
C．事件C发生的概率接近D．每抽10台电视机，必有1台次品
【变式训练1-1】、（2022·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一专题练习）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）
A．型或型B．型或型
C．型或型D．型或型
【变式训练1-3】、（2022·湖南·高一课时练习）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【变式训练1-4】、（2021·湖北十堰·高二期中）下列说法不合理的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6．
B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．
C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨．
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．
例2．（1）、（2022·全国·高二课时练习）鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计______．
（2）、（2021·贵州毕节·高二期中）一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
【变式训练2-1】、（2022·浙江宁波·高二期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
【变式训练2-2】、（2021·全国·高一课时练习）商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双．
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））某企业为了检测甲、乙两条生产线上零件的质量情况，现从甲、乙两条生产线上各抽取20个零件作为样本，检测一项质量指标值（质量指标值越高，产品质量越好），得到下表．
(1)将产品质量指标值分成三个等级：
假设甲、乙两条生产线相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，分别求甲、乙两条生产线生产的零件为一等品的概率；
(2)分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪条生产线上的产品质量好？
【变式训练3-1】、（2022·湖南·高一课时练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)你获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
甲
67
78
83
92
95
85
79
68
58
94
81
86
95
87
97
93
88
81
82
91
乙
73
83
82
54
91
76
83
75
68
82
93
95
92
81
84
66
89
87
65
91
质量指标值
低于60
60到80
不低于80
产品等级
不合格品
二等品
一等品
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
专题13 频率与概率
一、考情分析
二、题型梳理
例1．（1）、（2022·河南·高三阶段练习（理））我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为（ ）
A．157石B．164石C．170石D．280石
【答案】C
【解析】
【分析】
用样本中夹谷的比例乘以总体容量可得结果.
【详解】
样本中夹谷的比例为，用样本估计总体，可得这批谷内夹谷约为（石）.
故选：C.
（2）、（2021·广西·昭平中学高二阶段练习（理））小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了次，每次朝上的点数都是，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上点数是的概率为B．朝上点数是的频率为
C．抛掷第次，朝上点数一定不会是D．抛掷第次，朝上点数一定是
【答案】B
【解析】
【分析】
根据频率与概率的区别与联系即可求解.
【详解】
解：小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了30次，每次朝上的点数都是2，则朝上的点数是2的频率为，故选项B正确；
抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是2的概率为，故选项A错误；
抛掷第31次，朝上点数可能是2，也可能不是2，故选项C、D错误.
故选：B.
（3）、（2022·福建南平·三模）支气管炎患者会咳嗽失眠，给患者日常生活带来严重的影响.某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则（ ）
A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人
B．该医院青年患者所占的频率为
C．该医院的平均治愈率为28.7%
D．该医院的平均治愈率为31.3%
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由分层抽样即可判断A选项；直接计算频率即可判断B选项；直接计算平均治愈率即可判断C、D选项.
【详解】
对于A，由分层抽样可得，老年患者应抽取人，正确；
对于B，青年患者所占的频率为，正确；
对于C，平均治愈率为，正确；
对于D，由C知错误.
故选：ABC.
（4）、（2022·江西·景德镇一中高一期中）从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品，若用C表示抽到次品这一事件.则下列说法中不正确的是（ ）
A．事件C发生的概率为B．事件C发生的频率为
C．事件C发生的概率接近D．每抽10台电视机，必有1台次品
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据概率与频率的关系，即概率的意义即可判断.
【详解】
事件C发生的频率为，由于只做了一次实验，故不能得到概率为或概率接近；
当然每抽10台电视机，必有1台次品也不一定发生.
故B正确，ACD错误.
故选：ACD
【变式训练1-1】、（2022·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．随机事件的概率与频率是一样的
B．在试验中，某事件发生的频率的取值范围是
C．必然事件的概率是1
D．不可能事件的概率是0
【答案】A
【解析】
【分析】
依据频率和概率，必然事件和不可能事件的定义，依次判断即可
【详解】
对于选项A，概率是唯一的确定的值，而频率是统计出来的，通过一次次的试验得到，因此随机事件的概率与频率是两个不同的概念，故A错误；
对于选项B，频率是指是指每个对象出现的次数与总次数的比值，故取值范围是，故B正确；
对于选项C，D，由必然事件和不可能事件的定义可知，说法正确.
故选：A
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一专题练习）经过科学的研究论证，人类的四种血型与基因类型的对应为：型的基因类型为，型的基因类型为或，型的基因类型为或，型的基因类型为，其中、是显性基因，是隐性基因.若一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为.则他们的子女的血型为（ ）
A．型或型B．型或型
C．型或型D．型或型
【答案】D
【解析】
【分析】
利用已知条件，求出他们的子女的基因类型，即可得到答案.
【详解】
因为一对夫妻的血型一个型，基因类型为，一个型，基因类型为，
则他们的子女的基因类型为：、，
所以对应的血型为型或型.
故选：D.
【变式训练1-3】、（2022·湖南·高一课时练习）(多选)甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【答案】ACD
【解析】
【分析】
求出每一个选项的情况下，甲胜和乙胜的概率即可判断得解.
【详解】
解：对于选项A，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，所以游戏不公平；
对于选项C，甲胜和乙胜的概率都是，所以游戏是公平的；
对于选项D，甲胜的概率是，乙胜的概率是，所以游戏是公平的.
故选：ACD
【变式训练1-4】、（2021·湖北十堰·高二期中）下列说法不合理的是（ ）
A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就有一次掷得点数6．
B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．
C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的区域下雨．
D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
在A中，意即每掷6次就可能有一次掷得点数6，故A错误；
在B中，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率，故B正确；
在C中，是指明天本地有的可能性会下雨，故C错误；
在D中，可以举例说明D错误．
【详解】
解：在A中，抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是，意即每掷6次就可能有一
次掷得点数6，故A错误；
在B中，抛掷一枚硬币，由概率的定义得：试验200次出现正面的频率不一定比100次得
到的频率更接近概率，故B正确；
在C中，某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为，是指明天本地有的可能性
会下雨，故C错误；
在D中，随机事件，中至少有一个发生的概率不一定比，中恰有一个发生的概率
大，如掷一枚骰子一次，向上的点数是偶数 ，=掷一枚骰子一次，向上的点数是奇数，
则A，B中至少有一个发生的概率的概率是1，A，B中恰有一个发生的概率也是1，故D错误.
故选：ACD．
例2．（1）、（2022·全国·高二课时练习）鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据样本中带记号的鱼所占的比例等于总体中带记号鱼所占的比例，即可计算出鱼池中鱼的总条数.
【详解】
解：依题意可得，所以；
故答案为：
（2）、（2021·贵州毕节·高二期中）一个口袋中装有若干个除颜色不同外其他都完全相同的红球和黑球，某同学每次随机取出一个球，观察颜色后放回，连续取了10次，发现取出红球3次，则估计红球在口袋中的占比为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据已知条件求出摸出红球的频率，进而估计红球在口袋中的占比.
【详解】
取球10次，取出红球3次，取出红球的频率为，
故估计红球在口袋中的占比为
故答案为：
【变式训练2-1】、（2022·浙江宁波·高二期末）在下列三个问题中：
① 甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，如果规定：同时出现正面或反面算甲胜，一个正面､一个反面算乙胜，那么这个游戏是公平的；
② 掷一枚骰子，估计事件“出现三点”的概率，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率接近其概率；
③ 如果气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日中就有6天是下雨的；
其中，正确的是___________.（用序号表示）
【答案】①②
【解析】
【分析】
以甲乙获胜概率是否均为来判断游戏是否公平，并以此来判断① 的正确性；以频率和概率的关系来判断② ③的正确性.
【详解】
① 中：甲乙二人玩胜负游戏：每人一次抛掷两枚质地均匀的硬币，
可得4种可能的结果：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）
则“同时出现正面或反面”的概率为，“一个正面､一个反面”的概率为
即甲乙二人获胜的概率均为，那么这个游戏是公平的.判断正确；
② 中：“掷一枚骰子出现三点”是一个随机事件，当抛掷次数很大时，此事件发生的频率会稳定于其概率值，故此事件发生的频率接近其概率.判断正确；
③ 中：气象预报1日—30日的下雨概率是，那么1日—30日每天下雨的概率均是，每天都有可能下雨也可能不下雨，故1日—30日中出现下雨的天数是随机的，可能是0天，也可能是1天、2天、3天……，不一定是6天. 判断错误.
故答案为：① ②
【变式训练2-2】、（2021·全国·高一课时练习）商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第，，组的频数分别为，，，若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为______双．
【答案】
【解析】
【分析】
先计算这周内某天第，，组的频率，根据频率之和等于可得第组的频率，再由该频率乘以即可得解.
【详解】
因为第，，组的频数分别为，，，
所以第，，组的频率分别为，，，
又因为第组的频率为，
所以第组的频率为，
所以售出的这双皮鞋中尺码为的皮鞋约为双，
故答案为：.
例3．（2022·全国·高三专题练习（文））某企业为了检测甲、乙两条生产线上零件的质量情况，现从甲、乙两条生产线上各抽取20个零件作为样本，检测一项质量指标值（质量指标值越高，产品质量越好），得到下表．
(1)将产品质量指标值分成三个等级：
假设甲、乙两条生产线相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，分别求甲、乙两条生产线生产的零件为一等品的概率；
(2)分别计算两组数据的平均数，从计算结果来看，哪条生产线上的产品质量好？
【答案】(1)甲生产线生产的零件为一等品的概率为，乙生产线生产的零件为一等品的概率为
(2)，，甲生产线上的产品质量好
【解析】
【分析】
（1）分别计算两条生产线一等品得频率，用频率估计概率；
（2）根据计算两组数据的平均数，平均数大的质量好．
(1)
甲生产线零件一等品的概率为，乙生产线零件一等品的概率为．
(2)
，
，
因为，甲生产线上的产品质量好．
【变式训练3-1】、（2022·湖南·高一课时练习）某商场设立了一个可以自由转动的转盘（如图所示），并做如下规定：顾客购物80元以上就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．
下表是活动进行中的一组统计数据：
(1)计算并完成表格．
(2)当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近多少？
(3)你获得区域“1”相应奖品的概率大约为多少？
【答案】(1)答案见解析
(2)0.12
(3)0.12
【解析】
【分析】
（1）根据表中的数据直接计算出频率；
（2）根据频率稳定值可得答案；
（3）根据频率与概率的有关系可得答案.
(1)
落在区域“1”的频率如下表：
(2)
由（1）中计算的频率，可判断当n很大时，落在区域“1”的频率将会接近0.12.
(3)
由（1），（2）及频率与概率的关系可知获得区域“1”相应奖品的概率大约为0.12.
甲
67
78
83
92
95
85
79
68
58
94
81
86
95
87
97
93
88
81
82
91
乙
73
83
82
54
91
76
83
75
68
82
93
95
92
81
84
66
89
87
65
91
质量指标值
低于60
60到80
不低于80
产品等级
不合格品
二等品
一等品
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
转动转盘的次数m
100
150
200
500
800
1000
落在区域“1”的频数n
13
19
24
62
100
120
落在区域“1”的频率
0.13
0.13
0.12
0.12
0.13
0.12