(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题01 平面向量的概念及线性运算（课时训练）（原卷版+解析）

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题01 平面向量的概念及线性运算（课时训练）（原卷版+解析），共23页。试卷主要包含了有下列命题等内容，欢迎下载使用。
1．（2020·山西·灵丘县豪洋中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，（），则与是平行向量
2．（2020·宁夏育才中学高一阶段练习）有下列命题：
①若，则；
②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则；
④若，，则.
其中，假命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2021·广西·田东中学高二期末（理））下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若∥∥，则∥． A．0个B．1个
C．2个D．3个
4．（2022·广东番禺·高二期末）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．||=||B．与共线
C．与共线D．与共线
6．（2021·四川乐山·高一期末）如图，、、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·浙江·高三专题练习）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·安徽·亳州二中高一期末）已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三点共线，则x＝（ ）
A．2B．－2
C．4D．－4
9．（2021·福建福州·高三期中）在中，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·辽宁辽阳·高一期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2022·辽宁大连·高一期末）在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·湖南·高一课时练习）下列条件中能得到的是（ ）
A．B．与的方向相同；
C．，为任意向量D．且
13．（2022·全国·高一）在下列说法中正确的有（ ）
①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ；
④平面上的数轴都是向量.
A．个B．个C．个D．个
14．（2022·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
15．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD､BE､CF的交点，在以A､B､C､D､E､F､O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.
16．（2021·全国·高二课时练习）下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形是平行四边形的充要条件是；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
B组 能力提升
17．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）在下列结论中，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．平行向量又称为共线向量
C．两个相等向量的模相等D．两个相反向量的模相等
18．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
19．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．四边形是平行四边形的充要条件
D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件
20．（2021·湖南·雷锋学校高一阶段练习）（多选题）下列四个命题中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
21．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
22．（2020·全国·高一课时练习）飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
23．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知，为两个非零向量．
(1)求作向量及；
(2)向量，成什么位置关系时，？（不要求证明）
24．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
专题01 平面向量的概念、线性运算
A组 基础巩固
1．（2020·山西·灵丘县豪洋中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若，则
C．若，则
D．若，（），则与是平行向量
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相等向量，共线向量的定义判断可得；
【详解】
解：对于，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，所以错误；
对于，当时，其模长与可能相等或，或，所以错误；
对于，当时，不一定有，因为要且与同向，所以错误；
对于，，（），则与是平行向量，正确．
故选：．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本概念应用问题，属于基础题．
2．（2020·宁夏育才中学高一阶段练习）有下列命题：
①若，则；
②若，则四边形是平行四边形；
③若，，则；
④若，，则.
其中，假命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量的概念及向量平行的相关知识逐个判断即可.
【详解】
，则的方向不确定,则不一定相等, ①错误;
若,则的方向不一定相同,所以四边形不一定是平行四边形,②错误;
若,,则,③正确；
若，，则时,不一定成立,所以④错误.
综上,假命题的是①②④,共3个.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查平面向量的概念,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
3．（2021·广西·田东中学高二期末（理））下列命题中，正确的个数是（ ）
①单位向量都相等；
②模相等的两个平行向量是相等向量；
③若，满足且与同向，则；
④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
⑤若∥∥，则∥． A．0个B．1个
C．2个D．3个
【答案】A
【解析】
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.
【详解】
解：对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；
对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；
对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误；
对于④，向量是可以自由平移的矢量，
当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；
对于⑤，时，若，则与不一定平行．
综上，以上正确的命题个数是0．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本概念，涉及零向量、单位向量、平行向量、相等向量等，意在考查学生对于基础知识的掌握情况.
4．（2022·广东番禺·高二期末）在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答.
【详解】
解：因为空间四边形OABC如图，，，，
点M在线段OA上，且，N为BC的中点，
所以.
所以.
故选：B.
5．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是（ ）
A．||=||B．与共线
C．与共线D．与共线
【答案】C
【解析】
【分析】
结合平面图形的几何性质逐项分析即可求出结果.
【详解】
因为四边形ABCD，CEFG都是全等的菱形，所以||=||，故A正确；
因为，且与共线，故与共线，所以B正确；
直线BD与EH不一定平行，因此不一定与共线，C项错误；
因为= ，所以与共线，故D正确；
故选：C.
6．（2021·四川乐山·高一期末）如图，、、分别是等边各边的中点，则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
本题可通过相等向量的性质得出结果.
【详解】
A项：与方向不同，A错误；
B项：因为、分别是、的中点，所以且，
故，B正确；
C项：与方向相反，C错误；
D项：与方向相反，D错误，
故选：B.
7．（2022·浙江·高三专题练习）如图，设是正六边形的中心，则与不相等的向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由正六边形的性质结合平面向量相等的概念即可得解.
【详解】
由题意，，.
故选：D.
8．（2021·安徽·亳州二中高一期末）已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，x)，若A，B，C三点共线，则x＝（ ）
A．2B．－2
C．4D．－4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量共线定理的坐标表示进行求解即可.
【详解】
因为A，B，C三点共线，
所以,
又因为，
所以，解得：.
故选：C.
9．（2021·福建福州·高三期中）在中，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算即可得到答案.
【详解】
因为在中，AD为边BC上的中线，E为AD的中点，
所以.
故选：A
10．（2022·辽宁辽阳·高一期末）在中，为的中点，为上靠近点的三等分点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法的三角形法则，转化为和即可．
【详解】
.
故选：B
11．（2022·辽宁大连·高一期末）在中，，分别是边，上的点，且，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算直接运算.
【详解】
如图所示：
，
故选：A.
12．（2022·湖南·高一课时练习）下列条件中能得到的是（ ）
A．B．与的方向相同；
C．，为任意向量D．且
【答案】D
【解析】
【分析】
根据相等向量的概念，即可得到结果.
【详解】
由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确.
故选：D.
13．（2022·全国·高一）在下列说法中正确的有（ ）
①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西的向量与北偏东的向量是共线向量 ；
④平面上的数轴都是向量.
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量的定义可判断②④的正误，利用共线向量的定义可判断①③的正误.
【详解】
解：既有大小，又有方向的量统称为向量，
结合向量的定义可知仅有②④错误，
结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，
故选：B.
14．（2022·全国·高一专题练习）如图，在矩形中，可以用同一条有向线段表示的向量是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.
【详解】
对于A中，向量和的方向相反，但长度相等，所以和不是相等向量；
对于B中，向量和的方向相同且长度相等，所以和是相等向量，
对于C中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
对于D中，向量和的方向不同，且长度不相等，所以和不是相等向量；
所以只有向量和可以用同一条有向线段表示.
故选：B.
15．（2021·全国·高一课时练习）如图，在正六边形ABCDEF中，点O是对角线AD､BE､CF的交点，在以A､B､C､D､E､F､O为端点的向量中与向量相等的向量的个数是___________.
【答案】3
【解析】
【分析】
由相等向量的模长、方向均相同，结合几何图形写出的相等向量，即知个数.
【详解】
由题图知：与向量相等的向量有，
∴共有3个.
故答案为：3
16．（2021·全国·高二课时练习）下列命题中正确的是______．
①空间向量与是共线向量，则，，，四点必在一条直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形是平行四边形的充要条件是；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
【答案】④⑤
【解析】
【分析】
根据共线向量的概念，以及单位向量、零向量的定义，以及充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】
由共线向量即为平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上，所以①不正确．
由单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，所以②不正确．
零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，所以③不正确，．
若，可得且，所以四边形为平行四边形，
当时若为平行四边形，可得，所以④正确．
由模为0是一个向量为，其中的方向时不确定的，所以⑤正确．
故答案为：④⑤.
B组 能力提升
17．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）在下列结论中，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．平行向量又称为共线向量
C．两个相等向量的模相等D．两个相反向量的模相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：
【点睛】
本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.
18．（2021·全国·高一课时练习）（多选题）如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中（ ）
A．向量的模相等B．
C．向量共线D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于ABD，通过计算向量的模进行判断即可，对于C，通过判断直线的位置关系来判断两向量是否共线
【详解】
对于A，因为，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，所以∥，所以向量共线，所以C正确，
对于D，因为，所以D错误，
故选：BC
19．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．任一向量与它的相反向量不相等
C．四边形是平行四边形的充要条件
D．模为0是一个向量的方向是任意的充要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】
A.由单位向量的定义判断；B.由零向量的定义判断；C.由相等向量的定义判断； D.由零向量的定义判断.
【详解】
A.单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同，故错误；
B.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故错误；
C. 若四边形是平行四边形，则一组对边平行且相等，有，
若，则，则四边形是平行四边形，故正确；
D.由零向量的规定，知正确．
故选：CD
20．（2021·湖南·雷锋学校高一阶段练习）（多选题）下列四个命题中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据相等向量、共线向量、向量模长的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于A：若，可得到，共线，但，的模长不一定相等，所以得不出，故选项A不正确；
对于B：若，但，方向不一定相同，所以得不出，故选项B不正确；
对于C：若，但，方向不确定，不一定平行，所以得不出，故选项C不正确；
对于D：若，则且，方向相同，故选项D正确，
所以ABC不正确，
故选：ABC.
21．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【解析】
【分析】
根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可.
【详解】
解：由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
【点睛】
本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想.
22．（2020·全国·高一课时练习）飞机从A地按北偏西15°的方向飞行到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
【答案】C地在A地北偏东方向上，距A地
【解析】
根据题意画出示意图，根据方位角的定义、结合三角形内角和定理，最后求出问题.
【详解】
解：由题图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则.
表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则.
所以为飞机从A地到C地的位移.
在中，，且，
故为等边三角形，所以，.
所以C地在A地北偏东方向上，距A地.
【点睛】
本题考查了方位角的概念，考查了三角形内角和定理，考查了数学阅读能力.
23．（2022·湖南·高一课时练习）如图，已知，为两个非零向量．
(1)求作向量及；
(2)向量，成什么位置关系时，？（不要求证明）
【答案】(1)作图见解析；
(2)，相互垂直.
【解析】
【分析】
（1）将向量起点平移到重合位置，应用平行四边形法则画出、.
（2）由（1）所得的图，要使即平行四边形对角线相等，根据矩形性质即可判断向量的位置关系.
(1)
将向量，的起点平移到重合的位置，再由向量加减法的平行四边形法则可得、，如下图示：
(2)
要使，由（1）所得图知：平行四边形的两条对角线相等，
所以，当平行四边形为矩形时成立，故，相互垂直.
24．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知，，，，，试用，，，，表示以下向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】
【分析】
由向量减法法则依次计算即可得出各小问的结果.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
(5)
.