(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题04 复数（重难点突破）原卷版+解析

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题04 复数（重难点突破）原卷版+解析，共11页。试卷主要包含了复数的有关概念，复数的运算，复数的几何意义等内容，欢迎下载使用。

1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的______和______.
若______，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若____________，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R).
(4)．复数：形如 的数叫做复数，其中a , b分别叫它的 和 ．
(5)．分类：设复数：
(1) 当 ＝0时，z为实数；
(2) 当 0时，z为虚数；
(3) 当 ＝0, 且 0时，z为纯虚数.
(5)复数的模
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作____或________，即|z|＝|a＋bi|＝__________.
2.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f((a＋bi)(c－di),(c＋di)(c－di))＝________________________(c＋di≠0).
3.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)__________.
一、复数的有关概念
例1．（2022·四川·宁南中学高二开学考试（文））已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1-1】、（2021·辽宁·建平县实验中学高二期中）（多选题）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A．B．z的虚部是4
C．是纯虚数D．z在复平面上对应点在第四象限
二、复数的四则运算
例2．（1）、（2022·陕西·高新一中高三阶段练习（文））若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．5
（2）、（2022·河南·一模（理））已知为虚数单位，复数满足，则_________．
【变式训练2-1】、（2022·浙江·高二期末）i 为虚数单位，复数 ______．
【变式训练2-2】、（2022·广东五华·一模）若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
三、复数的几何意义
例3．（2022·浙江省龙游中学高二期末）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【变式训练3-1】、（2021·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
四、复数的综合应用
例4．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数，是实数.
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【变式训练4-1】、（2022·上海·复旦附中高二期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､.
(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；
(2)若，求实数a的值.
专题04 复数
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的______和______.
若______，则a＋bi为实数，若________，则a＋bi为虚数，若____________，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R).
(4)．复数：形如 的数叫做复数，其中a , b分别叫它的 和 ．
(5)．分类：设复数：
(1) 当 ＝0时，z为实数；
(2) 当 0时，z为虚数；
(3) 当 ＝0, 且 0时，z为纯虚数.
(5)复数的模
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作____或________，即|z|＝|a＋bi|＝__________.
2.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di (a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝____________；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝__________________；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f((a＋bi)(c－di),(c＋di)(c－di))＝________________________(c＋di≠0).
3.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)__________.
一、复数的有关概念
例1．（2022·四川·宁南中学高二开学考试（文））已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的模长公式可求得结果.
【详解】
因为，则.
故选：B.
【变式训练1-1】、（2021·辽宁·建平县实验中学高二期中）（多选题）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A．B．z的虚部是4
C．是纯虚数D．z在复平面上对应点在第四象限
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.
【详解】
复数，则，故A正确；
的虚部是，故B错误；，是实数，故C错误；
z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.
故选：AD
二、复数的四则运算
例2．（1）、（2022·陕西·高新一中高三阶段练习（文））若复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
直接对原式两边求模，再根据复数模的计算公式求解即可.
【详解】
因为，
所以，所以，即.，
故选：B.
（2）、（2022·河南·一模（理））已知为虚数单位，复数满足，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】
根据复数相等，应用复数的除法求复数z即可.
【详解】
由题设，.
故答案为：.
【变式训练2-1】、（2022·浙江·高二期末）i 为虚数单位，复数 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.
【详解】
故答案为：.
【变式训练2-2】、（2022·广东五华·一模）若，其中a，，是虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数相等，列式求，即可求解.
【详解】
，
所以，得.
故选：B
三、复数的几何意义
例3．（2022·浙江省龙游中学高二期末）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义即可确定复数所在象限
【详解】
复数在复平面内对应的点为
则复数在复平面内对应的点位于第四象限
故选：D
【变式训练3-1】、（2021·云南·高三期中（文））已知复数满足（为虚数单位），则在复平面上对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的模化简求出，即可判断对应的点所在象限.
【详解】
，
，
，
对应点在第四象限，
故选：D
四、复数的综合应用
例4．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数，是实数.
(1)求复数z；
(2)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，
（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果
(1)
因为，
所以，
因为是实数，所以，解得.
故.
(2)
因为，
所以.
因为复数所表示的点在第二象限，
所以
解得，即实数m的取值范围是.
【变式训练4-1】、（2022·上海·复旦附中高二期末）已知关于x的方程在复数范围内的两根分别为､.
(1)若该方程没有实根，求实数a的取值范围；并在复数范围内对进行因式分解；
(2)若，求实数a的值.
【答案】(1)，
(2)或
【解析】
【分析】
（1）若该方程没有实根，则，解之即可，由，可得，即可在复数范围内对进行因式分解；
（2）分和两种情况讨论，结合韦达定理从而可得出答案.
(1)
解：若该方程没有实根，
则，解得，
由，得，
所以，即，
所以在复数范围内对；
(2)
解：当，即时，
则都是实数，
由韦达定理可知，
故都是非负数，
所以，所以；
当，即时，方程有两个共轭虚根，设为，
则，
故，解得或（舍去），
综上所述，或.