(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积（重难点突破）（原卷版+解析）

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积（重难点突破）（原卷版+解析），共33页。试卷主要包含了考情分析，考点梳理，空间几何体的三视图，空间几何体的表面积等内容，欢迎下载使用。

二、考点梳理
一、水平放置的平面图形的直观图
1．斜二测画法及其规则
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′= ，它们确定的平面表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 x′轴或y′轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度为原来的 .
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°.
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点.
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图.
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为 ．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为 ；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为 ．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在 上．
4．常见平面图形的直观图
二、中心投影与平行投影
1．投影的概念
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做 .其中，我们把光线叫做 ，把留下物体影子的屏幕叫做 .
2．中心投影
（1）概念
光由一点向外散射形成的投影，叫做 ,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子.

（2）性质
①中心投影的投影线相交于 .
②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越 .
例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同.
3．平行投影
（1）概念
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做 ．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做斜投影．如图所示. 在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线.

（2）性质
①平行投影的投影线互相 .
②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全 的.
③当图形中的直线或线段不平行于投影线时：
(ⅰ)直线或线段的平行投影仍是 ；
(ⅱ)平行直线的平行投影是 的直线；
(ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段 ；
(ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ；
(ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比 这两条线段的长度比.
三、空间几何体的三视图
1．三视图的概念
(1)光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的 ;
(2)光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的 ;
(3)光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的 .
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.

2．三视图的画法规则
（1）排列规则：一般地，侧视图在正视图的 ，俯视图在正视图的 .如下图：
（2）画法规则
①正视图与俯视图的长度一致，即“ ”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“ ”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“ ”.
（3）线条的规则
①能看见的轮廓线用 表示；
②不能看见的轮廓线用 表示.
3．常见几何体的三视图
四、空间几何体的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之 ,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个 、 、 所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和.
（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有 和 展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：
，，.
3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积
（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 (c为底面周长，h为侧棱长).
（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 (c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高).
（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形.如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为 (c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高,即侧面等腰梯形的高).

4．圆柱、圆锥、圆台的侧面面积
四、空间几何体的体积
1．柱体、椎体、台体的高
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的 即圆柱的高.
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
（3）棱台（圆台）的高是指两个 之间的距离.
2．柱体、锥体、台体的体积
【知识点四、组合体的表面积与体积】
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.
求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
三、题型突破
重难点题型突破1 空间几何体的认识
例1．（1）、（2022·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱
（2）、（2022·全国·高一）棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点
【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一）（多选题）如图所示的图形中有（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台
重难点题型突破2 直观图与斜二测画法
例2．（1）、（2021·全国·高一课时练习）如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；
（2）．（2021·浙江·高一期末）如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图的面积为4，则该平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图为水平放置的的直观图，则原三角形的面积为（ ）
A．3B．C．6D．12
【变式训练2-2】、（2021·全国·高一课时练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于轴，与平行于轴．已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为________．
重难点题型突破3 三视图与空间几何体的表面积与体积
例3．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
（2）．（2021·全国·高一课时练习）圆台体积公式为；古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（ ）
A．立方丈B．立方丈C．立方丈D．立方丈
（3）．（2021·全国·高二课时练习）一个圆柱的母线长为3，底面半径为2，则此圆柱的轴截面的面积为___________.
【变式训练3-1】、（2021·全国·高二课时练习）正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的底面积是______.
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课时练习）（多选题）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（ ）
A．若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元
B．用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满
C．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
D．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米
四、课堂训练（30分钟）
1．（2021·全国·高一课时练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥
2．（2021·全国·高一课时练习）以下关于正棱锥的叙述不正确的是（ ）
A．正棱锥的高与底面的交点是底面的中心
B．正四棱锥的各侧面都是锐角三角形
C．正棱锥的各侧面都是等腰三角形
D．底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
3．（2021·全国·高一课前预习）如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图形中一定不是其截面图的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·湖南·高一课时练习）下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国·高二课时练习）若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为___________.
6．（2021·江苏·高一课时练习）如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是________.
7．（2019·江苏·高考真题）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
8．（2021·福建·龙岩市第一中学锦山学校高三阶段练习）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为，则原梯形的面积为__________.
原图
直观图
正
侧
俯
常见几何体
正视图
侧视图
俯视图
长方体
矩形
矩形
矩形
正方体
正方形
正方形
正方形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆
圆台
等腰梯形
等腰梯形
两个同心的圆
球
圆
圆
圆
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
S底=_____
S底=πr2
S上底=πr′2，S下底=πr2
侧面面积
S侧=2πrl
S侧=_____
S侧=πl(r′+r)
表面积
S表=2πr(r+l)
S表=πr(r+l)
S表=____________
几何体
体积
柱体
V柱体= (S为底面面积，h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)
锥体
V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥= (r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)
专题05 立体几何的直观图与简单几何体的表面积、体积
一、考情分析
二、考点梳理
一、水平放置的平面图形的直观图
1．斜二测画法及其规则
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′= ，它们确定的平面表示水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 x′轴或y′轴的线段.
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度 ，平行于y轴的线段，长度为原来的 .
2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤
（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°.
（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点.
（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图.
3．建立坐标系的原则
（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为 ．
（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为 ；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为 ．
（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在 上．
4．常见平面图形的直观图
二、中心投影与平行投影
1．投影的概念
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做 .其中，我们把光线叫做 ，把留下物体影子的屏幕叫做 .
2．中心投影
（1）概念
光由一点向外散射形成的投影，叫做 ,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子.

（2）性质
①中心投影的投影线相交于 .
②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越 .
例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同.
3．平行投影
（1）概念
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做 ．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做 ，否则叫做斜投影．如图所示. 在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线.

（2）性质
①平行投影的投影线互相 .
②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全 的.
③当图形中的直线或线段不平行于投影线时：
(ⅰ)直线或线段的平行投影仍是 ；
(ⅱ)平行直线的平行投影是 的直线；
(ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段 ；
(ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形 ；
(ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比 这两条线段的长度比.
三、空间几何体的三视图
1．三视图的概念
(1)光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的 ;
(2)光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的 ;
(3)光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的 .
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.

2．三视图的画法规则
（1）排列规则：一般地，侧视图在正视图的 ，俯视图在正视图的 .如下图：
（2）画法规则
①正视图与俯视图的长度一致，即“ ”；
②侧视图和正视图的高度一致，即“ ”；
③俯视图与侧视图的宽度一致，即“ ”.
（3）线条的规则
①能看见的轮廓线用 表示；
②不能看见的轮廓线用 表示.
3．常见几何体的三视图
四、空间几何体的表面积
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体,它们的表面积就是各个面的面积之 ,因此,我们可以把多面体展开成平面图形,利用平面图形求面积的方法求多面体的表面积.
2．棱柱、棱锥、棱台的表面积
（1）侧面积：棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图分别是由若干个 、 、 所组成的.侧面展开图的面积称为几何体的侧面面积（即侧面积）.由此可知，棱柱、棱锥、棱台的侧面积就是它们的各个侧面的面积之和.
（2）表面积：棱柱、棱锥、棱台的平面展开图是将其所有 和 展开后形成的一个平面图形，因而平面展开图的面积就是它们的表面积.可见，棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成这些几何体的各个平面的面积之和，也可表示为：
，，.
3．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面面积
（1）直棱柱的侧面积：把直棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)沿一条侧棱剪开后，得到的侧面展开图是一个矩形.如图(1)所示，则直棱柱的侧面面积为 (c为底面周长，h为侧棱长).
（2）正棱锥的侧面积：正棱锥(底面是正多边形，顶点在底面的正投影是底面的中心)的侧面展开图是几个全等的等腰三角形.如图(2)所示，则正棱锥的侧面面积为 (c为底面周长，h′为斜高,即侧面等腰三角形底边上的高).
（3）正棱台的侧面积：正棱台(由正棱锥截得)的侧面展开图是几个全等的等腰梯形.如图(3)所示，则正棱台的侧面面积为 (c′，c分别为上、下底面周长，h′为斜高,即侧面等腰梯形的高).

4．圆柱、圆锥、圆台的侧面面积
四、空间几何体的体积
1．柱体、椎体、台体的高
（1）棱柱（圆柱）的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.圆柱的 即圆柱的高.
（2）棱锥（圆锥）的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
（3）棱台（圆台）的高是指两个 之间的距离.
2．柱体、锥体、台体的体积
【知识点四、组合体的表面积与体积】
求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.
求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，再相加或相减.
三、题型突破
重难点题型突破1 空间几何体的认识
例1．（1）、（2022·全国·高一）关于如下图所示的4个几何体，说法正确的是（ ）
A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱
C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用棱柱的定义判断选项即可．
【详解】
棱柱是多面体中最简单的一种，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
图①中，满足棱柱的定义，正确；
图②中，满足棱柱的定义，正确；
图③中，不满足棱柱的定义，不正确；
图④中，满足棱柱的定义，是四棱柱，正确．
故选：D
（2）、（2022·全国·高一）棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱长都相等D．侧棱延长后都交于一点
【答案】C
【解析】
【分析】
根据棱台的定义结构特征求解.
【详解】
根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点，
但是侧棱长不一定相等，
故选：C
【变式训练1-1】、（2021·全国·高一课时练习）(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的
【答案】AB
【解析】
【分析】
根据几何体的特征，利用切割或补全几何体的方法即可求解.
【详解】
如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，如下图所示：
故选:AB.
【变式训练1-2】、（2022·全国·高一）（多选题）如图所示的图形中有（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据几何体的定义可得选项.
【详解】
解：根据几何体的定义知，图中所示的图形有：（1）是球；（2）是圆柱；（3）圆锥；
故选：ABC.
重难点题型突破2 直观图与斜二测画法
例2．（1）、（2021·全国·高一课时练习）如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；
【答案】20
【解析】
【分析】
利用斜二测画法还原出原图形，结合题干中数据以及斜二测画法的规则，计算即可
【详解】
由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；
与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.
还原出原图形如上图所示，其中cm，cm
cm
所以原图形的周长为cm
（2）．（2021·浙江·高一期末）如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图的面积为4，则该平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
由原图的面积是直观图面积的倍即可求解.
【详解】
已知直观图的面积为4,
所以原图的面积为，
故选：C
【点睛】
本题主要考查了斜二测画法，切要掌握原图的面积是直观图面积的倍，属于基础题.
【变式训练2-1】、（2021·全国·高一课时练习）如图为水平放置的的直观图，则原三角形的面积为（ ）
A．3B．C．6D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下，还原三角形的图象，求得面积.
【详解】
根据直观图的画法，可以得到直角坐标系下，如图所示：
故原三角形面积为：
故选：C
【点睛】
本题考查了还原直观图为直角坐标系的图像问题，考查了学生概念理解，直观想象，数学运算的能力，属于基础题.
【变式训练2-2】、（2021·全国·高一课时练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边平行于轴，与平行于轴．已知四边形的面积为，则原平面图形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】
设，，，求得，作出原图形，分析梯形的两底边长与高，利用梯形的面积公式可求得原图形的面积.
【详解】
设，，，在四边形中，，
因为在四边形中，边平行于轴，与平行于轴，
所以，，可得，
设原图形为梯形，在平面直角坐标系中，如下图所示：

则平行于轴，、平行于轴，且，，，
因此，原图形的面积为.
故答案为：.
重难点题型突破3 三视图与空间几何体的表面积与体积
例3．（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积．
【详解】
正四棱锥的底面积为，正四棱锥的高为
因此，该正四棱锥的体积为．
故选：A．
（2）．（2021·全国·高一课时练习）圆台体积公式为；古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（ ）
A．立方丈B．立方丈C．立方丈D．立方丈
【答案】B
【解析】
【分析】
求得圆台上下底面半径，由此求得圆台的体积.
【详解】
圆台下底面周长丈，下底面半径为，
圆台上底面周长丈，下底面半径为，
所以圆台的体积为
立方丈.
故选：B
（3）．（2021·全国·高二课时练习）一个圆柱的母线长为3，底面半径为2，则此圆柱的轴截面的面积为___________.
【答案】12
【解析】
【分析】
由圆柱的轴截面的面积为求解.
【详解】
因为圆柱的母线长为3，底面半径为2，
所以圆柱的轴截面的面积为，
故答案为：12
【变式训练3-1】、（2021·全国·高二课时练习）正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的底面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】
设正六棱柱的底面边长为，得到底面对角线的长度，再由题意，根据勾股定理，求出，即可求出结果.
【详解】
设正六棱柱的底面边长为，
则底面上最长对角线长为，
所以由，解得，
所以底面积为.
故答案为：.
【变式训练3-2】、（2021·全国·高一课时练习）（多选题）在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（ ）
A．若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元
B．用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满
C．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
D．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据圆锥的母线长为20，底面半径为，分别求圆锥的侧面积，体积和轴截面判断.
【详解】
如图所示：
由题意知：，
A. 圆锥的侧面积为：，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元，故正确；
B. ，圆锥的体积为，所以用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确；
C. ，则，所以，所以斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，故正确；
D.由C知斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，所以过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米，故错误；
故选：ABC
四、课堂训练（30分钟）
1．（2021·全国·高一课时练习）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）
A．一个圆台、两个圆锥B．一个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】
画出等腰梯形，考虑较长的底边，旋转可得形状．
【详解】
设等腰梯形，较长的底边为，
则绕着底边旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，
轴截面如图，
故选：D
2．（2021·全国·高一课时练习）以下关于正棱锥的叙述不正确的是（ ）
A．正棱锥的高与底面的交点是底面的中心
B．正四棱锥的各侧面都是锐角三角形
C．正棱锥的各侧面都是等腰三角形
D．底面是正多边形且各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正棱锥的几何性质可判断各选项的正误.
【详解】
对于A选项，正棱锥的高与底面的交点是底面的中心，A对；
对于B选项，在正四棱锥中，设点在底面的射影点为点，如下图所示：
设，，则，，
，则为锐角，
易知等腰三角形中，，、均为锐角，即为锐角三角形，B对；
对于C选项，因为正棱锥的侧棱长相等，故正棱锥的各侧面都是等腰三角形，C对；
对于D选项，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，，
则三棱锥的底面是等边三角形，且每个侧面均为等腰三角形，但该三棱锥不是正棱锥，D错.
故选：D.
3．（2021·全国·高一课前预习）如图所示的几何体是一个正方体挖掉一个圆锥(圆锥的底面圆与正方体的上底面正方形各边相切，顶点在下底面上)，用一个垂直于正方体某个面的平面截该几何体，下列图形中一定不是其截面图的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
分析用不同方式去截几何体得到截面的形状即可求解.
【详解】
用过圆锥的轴且与上底面一组对棱垂直的平面截该儿何体可得A图，用平行于圆锥底面的平面截该几何体可得C图，用垂直于圆锥底面且不过圆锥的轴的平面截该几何体可得D图，而B图用垂直于正方体的任何面的平面截都无法得到.
故选：B
4．（2022·湖南·高一课时练习）下列图形中是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
空间想象直接可知.
【详解】
可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现AB可折成正四面体，CD不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
故选：AB
5．（2021·全国·高二课时练习）若一个圆锥的侧面展开图是半径为3的半圆，则此圆锥的高为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据侧面展开图是半径为3的半圆，得到母线长和底面半径求解.
【详解】
设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
因为侧面展开图是半径为3的半圆，
所以母线长为l=3，，
解得 ，
所以此圆锥的高为，
故答案为：
6．（2021·江苏·高一课时练习）如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是________.
【答案】.
【解析】
根据斜二测法，所得直观图中三角形的高为4，即有的高为8，而底边为4不变，根据三角形面积公式即可求的面积.
【详解】
由斜二测法画图原则：横等纵半，
∴的高为8，即，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了根据斜二测法所得直观图求原图面积，属于基础题.
7．（2019·江苏·高考真题）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.
【答案】10.
【解析】
【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
【详解】
因为长方体的体积为120，
所以，
因为为的中点，
所以，
由长方体的性质知底面，
所以是三棱锥的底面上的高，
所以三棱锥的体积.
【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
8．（2021·福建·龙岩市第一中学锦山学校高三阶段练习）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为，则原梯形的面积为__________.
【答案】4.
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的原理将图形还原，平面图是一个直角梯形，由题，得平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的倍，由此即可得到本题答案.
【详解】
由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图长度的2倍，在直观图中，易得的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的倍，故其面积是梯形面积的倍，因为梯形的面积为，所以原梯形的面积是4.
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查斜二测画法的应用，掌握斜二测画法的原理及结合图形求解，是解决此题的关键.
原图
直观图
正
侧
俯
常见几何体
正视图
侧视图
俯视图
长方体
矩形
矩形
矩形
正方体
正方形
正方形
正方形
圆柱
矩形
矩形
圆
圆锥
等腰三角形
等腰三角形
圆
圆台
等腰梯形
等腰梯形
两个同心的圆
球
圆
圆
圆
圆柱（底面半径为r，母线长为l）
圆锥（底面半径为r，母线长为l）
圆台（上、下底面半径分别为r′,r,母线长为l）
侧面展开图
底面面积
S底=_____
S底=πr2
S上底=πr′2，S下底=πr2
侧面面积
S侧=2πrl
S侧=_____
S侧=πl(r′+r)
表面积
S表=2πr(r+l)
S表=πr(r+l)
S表=____________
几何体
体积
柱体
V柱体= (S为底面面积，h为高),V圆柱=πr2h(r为底面半径，h为高)
锥体
V锥体=Sh(S为底面面积，h为高)，V圆锥= (r为底面半径，h为高)
台体
(S′、S分别为上、下底面面积，h为高)，
V圆台=πh(r′2+r′r+r2)(r′、r分别为上、下底面半径，h为高)