(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直（课时训练）原卷版+解析

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A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线平行，直线平面
2．（2021·安徽合肥·高二期末（理））设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·浙江嘉兴·高三期末）如图，在正方体中，点E，F分别是AB和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与EF共面，平面B．与垂直，平面
C．与EF异面，平面D．EF与垂直，平面
5．（2022·天津河西·高三期末）设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则下列说法正确的序号为( )
①，，则；
②，，，则；
③，，，则；
④，，，则.
A．①③B．②③C．②④D．③④
6．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β；D．若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.
8．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））已知，是相异两平面，，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若∥，，则
B．若，，则∥
C．若，，则
D．若∥，，则∥
9．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．（2022·全国·模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，若三棱锥为“鳖臑”，平面，，，，则此“鳖臑”的表面积为______.
11．（2022·四川德阳·二模（文））如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是______．
①翻折到某个位置，使得
②翻折到某个位置，使得平面
③四棱锥体积的最大值为
④点M在某个球面上运动
12．（2022·山西晋中·模拟预测（文））如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C重合），点M，N分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______．
①； ②三棱锥的体积随P点位置的变化而变化；
③的最小值为； ④的取值范围是．
13．（2021·安徽省怀宁中学高三阶段练习（理））在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则以下结论正确是______（填序号）．
①
②平面平面ABC
③三棱锥的体积为
④三棱锥的外接球的表面积为
14．（2022·重庆市天星桥中学一模）如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，.D为的中点，M，N分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当M，N运动时，下列结论中正确的是___________（填写序号）.
①平面平面
②在内总存在与平面ABC平行的线段
③三棱锥的体积为定值
④可能为直角三角形
15．（2022·甘肃酒泉·高三期中）已知l、m表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：
① 若，则，② 若，则；③ 若，则；④ 若，则．
其中所有正确的命题是______．
16．（2022·北京昌平·高二期末）已知正方体的棱长为2，E为的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：
①的面积的最大值为；
②满足使的面积为2的点P有且只有两个；
③点P可以是的中点；
④线段的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是________．
17．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：
①若，，，则直线与可能平行；
②若，，，则直线与可能相交､平行或异面；
③若，，则直线与一定垂直；
④若，，，则直线与一定平行.
以上说法正确的是___________.（填序号）
18．（2021·四川省遂宁市第二中学校高二期中（理））如图，点P在正方体的面对角线上运动，有以下4个结论：
①三棱锥的体积不变 ②平面
③ ④平面平面
则所有正确结论的序号是 ______________ .
19．（2021·江西·井冈山大学附属中学高二阶段练习（理））如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是____．
①平面平面；
②；
③的取值范围是；
④三棱锥的体积为定值．
B组 能力提升
20．（2022·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知在棱长为1的正方体中，M，N分别为线段和上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．MN与AB为异面直线
B．
C．三棱锥体积的最大值为
D．当N为的中点时，线段MN长度的最小值为
21．（2022·广东江门·模拟预测）如图，三棱锥中，，，，则下列说法正确的是( )
A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积为
D．以为直径的球被平面所截得的圆在内的弧的长度为
22．（2022·重庆八中高三阶段练习）（多选题）棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A．与是异面直线B．与所成角为
C．平面平面D．若，则点的运动轨迹长度为
23．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（ ）
A．B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥D．平面平面
24．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在矩形ABCD中，，，将沿直线AC翻折，形成三棱锥.下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，三棱锥外接球的体积为定值
B．在翻折过程中，存在某个位置，使得
C．当平面平面ABC时，
D．当平面平面ABC时，三棱锥的体积为
25．（2022·湖北襄阳·高二期末）（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上不与A，重合的动点，则下列选项中正确的是（ ）
A．异面直线CP与所成角的取值范围是
B．当点P运动时，平面平面
C．当点P运动时，三棱锥的体积不变
D．当点P运动时，的面积存在最小值为
26．（2022·宁夏银川·一模（文））如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，.
(1)证明：平面ABCD；
(2)求三棱锥与三棱锥组成的几何体的体积.
27．（2022·陕西西安·一模（文））如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，D，E分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
28．（河南省大联考2021-2022学年高中毕业班阶段性测试（五）文科数学试题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．
(1)求证：平面；
(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．
29．（2021·天津一中高三阶段练习）如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成的角的正弦值.
30．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)求二面角P－BC－A的平面角的大小.
31．（2022·新疆·一模（文））如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A､B的一点，平面PAB，，.
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若，求三棱锥的体积.
32．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于2的正三角形，底面为菱形，侧面与底面所成的二面角为．
(1)求点P到平面的距离；
(2)求面与面所成二面角的大小．
专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直
A组 基础巩固
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正方形，、分别是、的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线平行，直线平面
【答案】A
【解析】
【分析】
连接，利用线面平行的判定可判断平面，利用线面垂直的性质可得出，分析出与不垂直，可判断与平面不垂直，由此可得出合适的选项.
【详解】
如图，连接，则为的中点，又因为为的中点，则，
平面，平面，平面，
因为，则与所成角为，故与平面不垂直，
由图可知，与异面，
因为四边形为正方形，则，
又因为平面，平面，则，
，平面，平面，则，
故选：A.
2．（2021·安徽合肥·高二期末（理））设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
ABC选项，均可以举出反例；D选项，可以由线面垂直的性质进行证明.
【详解】
选项A中若，，则，还有直线在平面内的情况，故A不正确，
选项B中若，，，则，有可能两个平面相交，故B不正确，
选项C中若，，则，还有两个平面相交的可能，故C不正确．
选项D，若，，则，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确；
故选：D．
3．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不垂直的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正方体的性质，结合线面垂直的判定定理依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，如图，因为为所在棱的中点，故由正方体的性质易得，所以，由于，故平面，故A选项正确；
对于B选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，由正方体的性质得，所以平面，故，所以，同理得，，故平面，故B选项正确；
对于C选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，所以在中，与夹角为，故异面直线与所成的角为，故平面不成立，故错误；
对于D选项，同A选项，可判断平面.
故选：C
4．（2022·浙江嘉兴·高三期末）如图，在正方体中，点E，F分别是AB和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．与EF共面，平面B．与垂直，平面
C．与EF异面，平面D．EF与垂直，平面
【答案】B
【解析】
【分析】
反证法：假设平面有，根据正方体的性质及勾股定理证明是否相等，即可确定矛盾结论，排除C、D；应用异面直线的证明判断与EF异面排除A，即可得答案.
【详解】
假设平面，而面，则，
若正方体棱长为2，则，，，显然，
∴不垂直，与矛盾，故平面不成立，排除C、D；
由面，面，，而，面，
∴与EF异面，排除A.
故选：B.
5．（2022·天津河西·高三期末）设，，为不重合的平面，，为不重合的直线，则下列说法正确的序号为( )
①，，则；
②，，，则；
③，，，则；
④，，，则.
A．①③B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间里面线和面的位置关系、面和面的位置关系逐个判断即可.
【详解】
对于①，若，，则与相交或平行，故①错误；
对于②，若，，，则，故②正确；
对于③，若，，，则与相交、平行或，故③错误；
对于④，若，，，由面面垂直的判定定理和线面垂直的判定定理得可知，故④正确；
故选：C.
6．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（文））已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.
【详解】
A，若，则或异面，故该选项错误；
B，若，则或相交，故该选项错误；
C，若，则α，β不一定垂直，故该选项错误；
D，若，则利用面面垂直的性质可得，故该选项正确.
故选：D.
7．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））设m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．若α⊥β，l⊂α，m⊂β，则l⊥m；B．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β；D．若l⊂α，l⊥m，l⊥n，m∥β，n∥β，则α⊥β.
【答案】C
【解析】
【分析】
对于选项A，B，D，举出符合选项条件的事例判断；对于C，推理说明判断作答.
【详解】
对于A，在长方体中，令平面为平面，平面为平面，如图，
直线AB为直线l，直线为直线m，满足，而l与m不垂直，A不正确；
对于B，在A选项的长方体中，令平面为平面，平面为平面，
直线AB为直线l，直线为直线m，满足，而，B不正确；
对于C，过l作平面，如图，因，则，又，而，于是得，所以，C正确；

对于D，在A选项的长方体中，令平面为平面，平面为平面，
直线AB为直线l，直线AD，BC分别视为m，n，满足，而，D不正确.
故选：C
8．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））已知，是相异两平面，，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若∥，，则
B．若，，则∥
C．若，，则
D．若∥，，则∥
【答案】D
【解析】
【分析】
将上面条件放到长方体或正方体中，再结合性质定理和判定定理即可判断结论是否成立.
【详解】
因为，是相异两平面，，是相异两直线，知：
对于A：若∥，，则，故A正确；
对于B：若，，则∥，故B正确；
对于C：若，，则，故C正确；
对于D：若∥，，则与相交、平行或异面，故D不正确.
故选：D.
9．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【解析】
【分析】
依据线面垂直判定定理、面面垂直判定定理和线面垂直性质定理、面面平行性质定理去判断四个选项的说法.
【详解】
选项A: 若，则或或与相交.说法错误；
选项B: 若，则.说法正确；
选项C: 若，则.说法错误；
选项D: 若，则或是异面直线.说法错误.
故选：B
10．（2022·全国·模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图，若三棱锥为“鳖臑”，平面，，，，则此“鳖臑”的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据“鳖臑”的定义和已知数据可求得，，，从而可求出其表面积
【详解】
因为平面，平面，
所以,
因为，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，
所以，，，
所以“鳖臑”的表面积为
.
故答案为：
11．（2022·四川德阳·二模（文））如图，矩形中，，为边的中点，将沿翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是______．
①翻折到某个位置，使得
②翻折到某个位置，使得平面
③四棱锥体积的最大值为
④点M在某个球面上运动
【答案】①③④
【解析】
【分析】
对于①，当时，即时满足条件；对于②，由于不成立，进而可判断；对于③，当平面平面时，四棱锥体积的最大，再求解即可；对于④，取中点，连接，即可得在以点为球心的球面上．
【详解】
解：对于①，由题知，若存在某个位置使得，由于，平面，所以平面，又平面，即，由于，故，
由于在折叠过程中，，所以存在某个位置，使得，
故存在某个位置，使得，故①正确；
对于②，若存在某个位置，使得平面，因为平面，
所以，另一方面，在矩形中，，
故不成立，所以②错误；
对于③，四棱锥体积的最大时，平面平面，
由于是等腰直角三角形，所以此时点到平面的距离为，
所以四棱锥体积的最大值为，
故③正确；
对于④，取中点，连接，由于为线段的中点，
所以，
所以在以点为球心的球面上，
故④正确．
故答案为：①③④．
12．（2022·山西晋中·模拟预测（文））如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C重合），点M，N分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______．
①； ②三棱锥的体积随P点位置的变化而变化；
③的最小值为； ④的取值范围是．
【答案】①③④
【解析】
【分析】
①可以根据线面垂直的性质可得证，②可以先证明平面，得到三棱锥的体积为定值来判断正误，③通过，得到进而可以判断正误，④可用余弦定理来求得其范围.
【详解】
易知，平面，而平面，所以，①正确；
在中，点M，N分别为线段，的中点，所以，
因为平面，而平面，所以平面，所以点P到平面的距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，②错误；
易知，所以，所以，③正确；
设，易知x的取值范围为，
则，
所以的取值范围是，④正确．
故答案为：①③④．
13．（2021·安徽省怀宁中学高三阶段练习（理））在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则以下结论正确是______（填序号）．
①
②平面平面ABC
③三棱锥的体积为
④三棱锥的外接球的表面积为
【答案】①②③④
【解析】
【分析】
由余弦定理得，过D作，面面垂直得出平面ABC， ，
假设DB，DE不重合，可得平面DBC，，这样与矛盾，
可判断①②；三棱锥的体积可判断③；设三角形ABC的外心为F，过F作平面ABC，设O为外接球的球心，利用
，求得和，可判断④．
【详解】
因为，，所以，
所以，过D作于E．
因为平面平面ABC，平面平面，
所以平面ABC，所以，
假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC，
所以，这样与矛盾，
所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，所以平面平面ABC，
所以①②正确；
三棱锥的体积为，所以③正确；
设三角形ABC的外心为F，则，
过F作平面ABC，设O为外接球的球心，，
则，，
所以，
所以，
解得，，所以外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以④正确．
故答案为：①②③④.
14．（2022·重庆市天星桥中学一模）如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，.D为的中点，M，N分别是线段和线段上的动点（含端点），且满足，当M，N运动时，下列结论中正确的是___________（填写序号）.
①平面平面
②在内总存在与平面ABC平行的线段
③三棱锥的体积为定值
④可能为直角三角形
【答案】①②③
【解析】
【分析】
对于①：作NK⊥AK，MH⊥AD，利用面面垂直的判定定理即可证明平面DMN⊥平面BCC1B1；
对于②：连接DO，可以判断出DO∥平面ABC，即可判断；
对于③：直接求出，即可证明；
对于④：判断出当M和N在中点时，△DMN为等边三角形，为最大角，即可判断.
【详解】
如图所示：
对于①：作NK⊥AK，MH⊥AD，所以，整理得:，所以△DMN为等腰三角形，所以DO⊥MN，同理DO⊥BC1，所以DO⊥平面BCC1B1，所以平面DMN⊥平面BCC1B1，故①正确；
对于②：连接DO，由于D、O为中点，所以DO∥平面ABC，故在△DMN内存在DO与平面ABC平行的线段，故②正确；
对于③：VA−DMN=VN−ADM=13×12AD×AB×32AB=312AB2·AD（定值）.故③正确；
对于④：当M和N在中点时，△DMN为等边三角形，为最大角，不可能为直角三角形，故④错误.
故答案为:①②③
15．（2022·甘肃酒泉·高三期中）已知l、m表示两条不同的直线，、表示两个不同的平面，，，则有下面四个命题：
① 若，则，② 若，则；③ 若，则；④ 若，则．
其中所有正确的命题是______．
【答案】① ③
【解析】
【分析】
以面面平行的性质去判断选项① ；以面面垂直的性质去判断选项② ；以线面垂直的性质去判断选项③ ④ .
【详解】
选项① ：， 又，.判断正确；
选项② ：， 或，又直线位置关系为相交或平行或异面，直线不能判定为平行关系.判断错误；
选项③ ：， 又，.判断正确；
选项④ ：， 或，又，或位置关系为相交.判断错误.
故答案为：① ③．
16．（2022·北京昌平·高二期末）已知正方体的棱长为2，E为的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面平面．给出下列四个结论：
①的面积的最大值为；
②满足使的面积为2的点P有且只有两个；
③点P可以是的中点；
④线段的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
先找出P的运动轨迹，再结合图像逐项分析，即可得解.
【详解】
解：连接,,,、分别为的中点，易得,
从而知,又，又，得平面平面，
故点P在矩形(除线段)上运动,
对于①，由图可知，当P与H重合时，此时三角形面积最大，最大值为，
故①对；
对于②，由图可知，当或时，的面积为2，故②对；
对于③，由图易知，点P不可能在线段,故③错；
对于④, 由图易知，当P与H重合时，此时长度最大，最大值为，
故④对；
故答案为：①②④；
17．（2022·全国·高三专题练习（理））已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法：
①若，，，则直线与可能平行；
②若，，，则直线与可能相交､平行或异面；
③若，，则直线与一定垂直；
④若，，，则直线与一定平行.
以上说法正确的是___________.（填序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】
①可以举出直线与平行的情况；②若与平行，在，的前提下是不能使，故②错误；③可以利用利用线面垂直和线面平行的的性质进行证明；④可以举出不成立的反例.
【详解】
对于①，若是两个平面的交线时，能够找到且的直线，故①正确；对于②，若，，，直线与不可能平行，故②错误；对于③，根据线面垂直､线面平行的性质可知直线与一定垂直，故③正确；对于④，若，，，则直线与可能平行也可能异面，故④错误.
故答案为：①③
18．（2021·四川省遂宁市第二中学校高二期中（理））如图，点P在正方体的面对角线上运动，有以下4个结论：
①三棱锥的体积不变 ②平面
③ ④平面平面
则所有正确结论的序号是 ______________ .
【答案】①②④
【解析】
【分析】
利用三棱锥体积公式，结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、平行线的性质逐一判断即可.
【详解】
对于①，由题意知，从而平面，
故BC上任意一点到平面的距离均相等，
所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；
对于②，连接，，，由于知：，
所以面，从而由面面平行的性质可得，平面，故正确；
对于③，由于平面，所以，
若，则平面DCP，
，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；
对于④，连接，由且，
可得面，从而由面面垂直的判定知，平面平面，故正确．
故答案为：①②④
19．（2021·江西·井冈山大学附属中学高二阶段练习（理））如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是____．
①平面平面；
②；
③的取值范围是；
④三棱锥的体积为定值．
【答案】①②④
【解析】
【分析】
由正方体的特征知平面，对角面，由面面垂直的判定和线面垂直的性质可知①②正确；当点为线段的一个四等分点且靠近点时，由长度关系可求得，知③错误；由体积桥和三棱锥体积公式可确定④正确.
【详解】
对于①，几何体是正方体，平面，又平面，
平面平面，①正确；
对于②，在正方体中，对角面，对角面，，②正确；
对于③，当点为线段的一个四等分点且靠近点时，
可得：，，，
由余弦定理得：，
此时，③错误；
对于④，的面积是定值，点到面的距离为，
三棱锥的体积，④正确．
故答案为：①②④．
B组 能力提升
20．（2022·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知在棱长为1的正方体中，M，N分别为线段和上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．MN与AB为异面直线
B．
C．三棱锥体积的最大值为
D．当N为的中点时，线段MN长度的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据M，N分别为线段和上的动点，由直线与直线、直线与平面之间的位置关系判断A，B选项的正误；利用等体积转化法确定C选项的正误；当M为的中点时，MN的长度最小，从而判断D选项.
【详解】
对于选项A，当N与B重合时，MN与AB为相交直线，故选项A错误；
对于选项B，易知平面，平面，
∴，连接，则，
而，平面，，
∴平面，
又平面，∴，
而点M在线段上，
∴，故选项B正确；
对于选项C，∵点M为线段上的动点，
∴当M与D重合时，的面积最大，
而当N与B重合时，点N到平面的距离最大，
故，故选项C正确；
对于选项D，当N为的中点时，取的中点E，连接NE，，
则，故，
∵M在线段上运动，
∴当M与E重合时，线段MN长度最小，
此时，故选项D错误.
故选：BC.
21．（2022·广东江门·模拟预测）如图，三棱锥中，，，，则下列说法正确的是( )
A．
B．平面平面
C．三棱锥的体积为
D．以为直径的球被平面所截得的圆在内的弧的长度为
【答案】AC
【解析】
【分析】
A：设O为BC中点，连接AO，DO，由△ACD和△ABD全等，证明平面即可；
B：证明DO与AO不垂直即可；
C：；
D：求出球心到平面ACD的距离，求出球被平面ACD截得圆的半径即可根据弧长公式求弧长.
【详解】
设O为BC中点，连接AO，DO，由△ACD和△ABD全等，可知DC＝DB，AC＝AB，则DO⊥BC，AO⊥BC，∴平面，∴，∴A正确.
∵平面，∴∠AOD为二面角A－BC－D的平面角.计算可得，，，，故∠AOD≠90°，故错误.
，
∴，∴C正确；
，
设B到平面ACD的距离为，则以AB为直径的球的球心到平面ACD的距离d＝，即，∴由得.
如图所示，设AD交球与F，AC交球于E，平面ACD截得球的圆为圆，设圆半径为r，
则＝，，
则，
∴，∴D错误.
故选：AC.
22．（2022·重庆八中高三阶段练习）（多选题）棱长为的正方体的展开图如图所示.已知为线段的中点，动点在正方体的表面上运动.则关于该正方体，下列说法正确的有（ ）
A．与是异面直线B．与所成角为
C．平面平面D．若，则点的运动轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由展开图还原正方体，根据可知A错误；由可知异面直线与所成角为，由此可求得B正确；由线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可知C正确；根据平面，平面平面可得点轨迹，进而求得D正确.
【详解】
由展开图还原正方体如下图所示，
对于A，，四边形为平行四边形，，
与是共面直线，A错误；
对于B，，与所成角即为，
，为等边三角形，
，即与所成角为，B正确；
对于C，平面，平面，；
又，，平面，平面，
又平面，平面平面，C正确；
对于D，由正方体性质可知平面，
取中点，连接，
则平面平面，点的轨迹为正六边形的边，
点的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD.
23．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（ ）
A．B．是等边三角形
C．三棱锥是正三棱锥D．平面平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用面面垂直以及线面垂直的性质可判断A选项；设，利用勾股定理可判断B选项；利用正棱锥的定义可判断C选项；利用面面垂直的性质结合面面垂直的性质可判断D选项.
【详解】
对于A选项，翻折前，因为，为的中点，则，
翻折后，对应地有，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，因为平面，故，A对；
对于B选项，设，翻折前，因为为等腰直角三角形，
为的中点，则，且，，
由勾股定理可得，
翻折后，因为平面，平面，则，
由勾股定理得，
在三棱锥中，，则为等边三角形，B对；
对于C选项，在三棱锥中，因为为等边三角形，，
故三棱锥为正三棱锥，C对；
对于D选项，假设平面平面，如下图所示：
取的中点，连接、，因为，为的中点，则，
若平面平面，因为平面平面，平面，
所以，平面，
设等边的中心为点，连接，由正棱锥的性质可知，平面，
因为过点作平面的垂线，有且只有一条，故假设不成立，
即平面与平面不垂直，D错.
故选：ABC.
24．（2022·全国·高三专题练习）（多选题）如图，在矩形ABCD中，，，将沿直线AC翻折，形成三棱锥.下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，三棱锥外接球的体积为定值
B．在翻折过程中，存在某个位置，使得
C．当平面平面ABC时，
D．当平面平面ABC时，三棱锥的体积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
设O为AC的中点，三棱锥外接球的半径为5，所以三棱锥外接球的体积为定值，故A正确；
在翻折过程中，存在某个位置，使得，从而斜边CD的长大于直角边BC，这与，矛盾，故B错误；
当平面平面ABC时，过D作AC的垂线DE，垂足为E，在平面ABC上，过B作AC的垂线BF，垂足为F，所以，故C正确；
当平面平面ABC时， 平面DBC，三棱锥的体积为，故D正确.
【详解】
解：设O为AC的中点，则，所以三棱锥外接球的半径为5，所以三棱锥外接球的体积为定值，故A正确；
若在翻折过程中，存在某个位置，使得，又，则平面ABD，
而平面ABD， 所以，从而斜边CD的长大于直角边BC，
这与，矛盾，故B错误；
当平面平面ABC时，过D作AC的垂线DE，垂足为E，则平面ABC，，，
在平面ABC上，过B作AC的垂线BF，垂足为F，
则平面DAC，，，
所以，故C正确；
当平面平面ABC时，平面平面.
又，平面ABC， 所以平面DBC，计算得，
因为，，所以，
所以三棱锥的体积为，故D正确.
故选：ACD
25．（2022·湖北襄阳·高二期末）（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上不与A，重合的动点，则下列选项中正确的是（ ）
A．异面直线CP与所成角的取值范围是
B．当点P运动时，平面平面
C．当点P运动时，三棱锥的体积不变
D．当点P运动时，的面积存在最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
对A，先证明，进而找到异面直线所成的角，然后得到答案；
对B，先证明平面，然后根据面面垂直的判定定理得到答案；
对C，先证明平面，进而判断答案；
对D，先证明，然后结合三角形的面积公式求得答案.
【详解】
对A，如图1，
因为，所以四边形是平行四边形，则，所以（易知其为锐角）是与所成的角，而若P与A重合，容易判断为等边三角形，，则与所成角的范围是.故A错误；
对B，如图2，
因为平面，所以，又，则面，于是.
因为平面，所以，又，则面，于是.
又，所以平面，当P在线段上运动时，恒有平面，所以平面平面.故B正确；
对C，如图3，
因为，所以四边形是平行四边形，则，而平面，所以平面，当P在线段上运动时，点P到平面的距离d不变，所以三棱锥的体积不变.故C正确；
对于D，如图4，
因为平面，平面，所以，于是三角形的面积，当最小时，三角形面积最小，当P为线段的中点时，，最小，此时三角形的面积最小，最小值为.故D正确．
故选：BCD.
26．（2022·宁夏银川·一模（文））如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，，.
(1)证明：平面ABCD；
(2)求三棱锥与三棱锥组成的几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，，可证明，再证明，从而可证明结论.
（2）由，可得答案.
(1)
连接，，由题意，，，，
知与为全等三角形，所以，故.
不妨设，则，，，
在中由余弦定理可得，故，
在中，，故，
AO与BD相交于点O，且AO与BD都包含于平面ABCD，
所以平面.
(2)
由（1）可知，，
，
所以，三棱锥与三棱锥组成的
几何体的体积为.
27．（2022·陕西西安·一模（文））如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，D，E分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、等腰三角形的性质进行证明即可；
（2）根据三棱锥的等积性进行求解即可.
(1)
在正三棱柱中，平面，
又平面，∴．
∵D是的中点，为正三角形，
∴．
又，，平面，
∴平面．
(2)
在正三棱柱中，平面，
又平面，，
∴点D到直线的距离为．
∴．
由（1）知点B到平面的距离为，
∴．
28．（河南省大联考2021-2022学年高中毕业班阶段性测试（五）文科数学试题）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面平面，F为棱的中点，P为棱上一点．
(1)求证：平面；
(2)当P到平面的距离为时，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，再由勾股定理逆定理得到线线垂直，最后证明出线面垂直；（2）用等体积法求解线段长度.
(1)
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
又∵平面，∴．
在中，，根据勾股定理逆定理可得：，又，
∴平面，即，
在中，，F为的中点，∴，
又∵，∴平面．
(2)
根据题意，，∵平面，∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
29．（2021·天津一中高三阶段练习）如图所示，在三棱柱中，侧棱垂直于底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)求直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）取交点P，构造三角形中位线可证；
（2）将面面垂直转化为线面垂直，结合已知根据等边三角形三线合一，以及勾股定理可证；
（3）借助面面垂直的性质作出线面角直接求解即可.
(1)
设交于点P，连结PD，
∵D是AC的中点
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
(2)
∵底面ABC，平面ABC
∴，
又底面是边长为2的正三角形，D是AC的中点.
∴.
∵，平面，平面
∴平面，
∴
易知，，满足勾股定理，
∴
又平面，平面，
∴平面，
又平面
∴平面平面；
(3)
作，M为垂足，
由（2）知平面平面；
∵平面平面，
∴平面，连接MP，则∠APM就是直线与平面所成的角，
∵，，
∴在中，，
∵
∴.
∴直线与平面所成的角的正弦值.
30．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一期末）如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥BC，，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC；
(2)求二面角P－BC－A的平面角的大小.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得，证明，再根据线面垂直的判定定理可得平面PAC，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）由线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理可得平面，则有，从而可得即为二面角P－BC－A的平面角，从而可得出答案.
(1)
证明：因为PA⊥AB，PA⊥AC，，
所以平面，
又因平面，所以，
因为D为线段AC的中点，，
所以，
又，所以平面PAC，
又因为平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC；
(2)
解：由（1）得平面，
又平面，所以，
因为AB⊥BC，，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角P－BC－A的平面角，
在中，，
所以，所以，
即二面角P－BC－A的平面角的大小为.
31．（2022·新疆·一模（文））如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A､B的一点，平面PAB，，.
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直及圆的性质可得、，根据线面垂直的判定可得平面PAD，最后由面面垂直的判定即可证结论.
（2）在平面PAB内过P作于E，利用线面垂直的性质和判定可知PE是三棱锥的高，进而求，再根据及棱锥的体积公式求三棱锥的体积即可.
(1)
因为平面PAB，平面PAB，所以.
因为AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上不同于A､B的一点，
所以，即，又，AD、平面PAD，
所以平面PAD，又平面PBC，
所以平面平面PAD.
(2)
在平面PAB内过P作于E.

因为平面PAB，平面PAB，所以.
因为，所以平面ABCD，
所以PE是三棱锥的高.
在中，所以，
所以.
因为四边形ABCD是直角梯形，，，
所以，.
所以.
32．（2022·全国·高二课时练习）如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于2的正三角形，底面为菱形，侧面与底面所成的二面角为．
(1)求点P到平面的距离；
(2)求面与面所成二面角的大小．
【答案】(1)；
(2)面与面所成二面的平面角是钝角，其余弦值是.
【解析】
【分析】
(1)取AD中点O，作出二面角的平面角，再作，求出AH作答.
(2)取PB，PC中点E，F，作出面与面所成二面角的平面角，利用题中信息计算作答.
(1)
取AD中点O，连接PO，BO，如图，
因是边长为2的正三角形，则，而，，平面，
则平面，又平面，即有，是二面角的平面角，，
因平面，于是得平面平面，过P作的延长线于H，平面平面，
因此，平面，而，，则，
所以点P到平面的距离是.
(2)
由(1)知，BO垂直平分AD，连BD，则，又四边形为菱形，即有是正三角形，
，取PB中点E，连OE，则，，，
取PC中点F，连EF，AE，DF，则有，而，即有，又，即，
从而得为平面与平面所成二面角的平面角，，梯形中，，
中，，，
所以平面与平面所成二面角的平面角是钝角，其余弦值是.