(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题03 平面向量与三角形“四心”（重难点突破）原卷版+解析

这是一份(人教A版必修第二册)高一数学下册同步讲义 专题03 平面向量与三角形“四心”（重难点突破）原卷版+解析，共16页。试卷主要包含了四心的概念介绍，四心与向量的结合，题型突破等内容，欢迎下载使用。
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）是的重心.
（2）为的垂心.
（3）为的内心.
（4）为的外心。
三、题型突破
例1．（1）、（福建省名校联盟优质校2022届高三第四次调研数学试题）给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
（2）、（2017·山西·（文）），，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
（3）、（2016·重庆·（理））已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的
A．重心B．外心C．垂心D．内心
（4）、（2014·福建福州·（文））已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．重心B．垂心C．外心D．内心
例2．（1）、（2021·河南·高三阶段练习（理））已知平面向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
（2）、（2022·山西太原·高三期末（理））已知向量满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例3．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.
(1)证明：点为的垂心；
(2)证明：.
例4．（2021·江苏溧阳·高一期末）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
例5．（2021·全国·高一课时练习）梅赛德斯-奔驰（Mercedes-Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
归纳总结：
通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若点为内任意一点，若点满足:
1．;
2.两点分别是的边上的中点,且
;
3. ;
4. .
专题03 平面向量与三角形“四心”
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。
二、四心与向量的结合
（1）是的重心.
（2）为的垂心.
（3）为的内心.
（4）为的外心。
三、题型突破
例1．（1）、（福建省名校联盟优质校2022届高三第四次调研数学试题）给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（ ）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】A
【解析】
【分析】
设为△ABC的重心，是平面上的任一点，则得到，即可得到结论.
【详解】
设为△ABC的重心，是平面上的任一点，
则
当且仅当即与重合时，到A，B，C三点距离的平方和最小，
∴平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的重心.
故选：A.
（2）、（2017·山西·（文）），，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的
A．外心B．内心C．重心D．垂心
【答案】B
【解析】
【详解】
∵表示以A为起点，分别与方向相同的两个单位向量的和，
∴向量的起点为A，终点必定在∠BAC的平分线上
∵，，
∴向量与向量在同一条直线上，
因此，动点P满足即P在∠BAC的平分线上，
∵由于A、B、C是平面上不共线的三个点，
∴P的轨迹一定通过△ABC的内心．
本题选择B选项.
（3）、（2016·重庆·（理））已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的
A．重心B．外心C．垂心D．内心
【答案】A
【解析】
【详解】
试题分析：作出如图的图形，由于，所以，由加法法则知，在三角形的直线上，所以动点的轨迹一定经过的重心，故选A．
考点：向量的运算及向量加法的几何意义．
（4）、（2014·福建福州·（文））已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．重心B．垂心C．外心D．内心
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．
则BC⋅AB|AB|csB=|BC||AB|cs(π−B)|AB|csB=−|BC|,同理BC⋅AC|AC|csC=|BC|,
∵动点P满足
∴
∴
所以,因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．
考点：向量的线性运算性质及几何意义.
例2．（1）、（2021·河南·高三阶段练习（理））已知平面向量，，满足，，，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算律得到，将两边平方即可得到，从而求出的取值范围，再根据求出的取值范围，即可得解；
【详解】
解：因为，所以，即，即，所以，即，即，即，所以，所以，所以，所以，即的最大值为；
故选：B
（2）、（2022·山西太原·高三期末（理））已知向量满足，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先变形，利用数量积公式，变形得，利用的取值范围，即可得到的最大值.
【详解】
，
得，，
因为，所以，即，解得：，
所以的最大值为3.
故选：C
例3．（2021·云南·昆明八中高一阶段练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.
(1)证明：点为的垂心；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）证明：根据，得到，再根据垂心的定义求解；
（2）根据四边形的对角互补，得到，则． 进而得到，再由三角形面积公式和奔驰定理求解.
(1)
证明：如图，
因为，
所以，
同理，，
所以为的垂心.
(2)
因为四边形的对角互补，
所以，
．
同理，，
，
．
，
．
又，
，
，
．
由奔驰定理得.
例4．（2021·江苏溧阳·高一期末）（多选题）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ）
A．为的外心
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项．
【详解】
解：因为，
同理，，故为的垂心，故A错误；
，所以，
又，所以，
又，所以，故B正确；
故，同理，
延长交与点，则
，
同理可得，所以，故C正确；
，
同理可得，所以，
又，所以，故D正确．
故选：BCD．
例5．（2021·全国·高一课时练习）梅赛德斯-奔驰（Mercedes-Benz）创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化.已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成（如图），点为圆心，，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出圆与阴影部分的面积，作商即可得到结果.
【详解】
由已知可得，则.
又，.
不妨设，则由正弦定理可得，
则，
所以阴影部分的面积为，圆的面积为，
则在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为.
故选D.
【点睛】
本题考查几何概型的面积概型，合理求出阴影部分的面积是解题的关键，考查学生的计算能力，属于中档题.
归纳总结：
通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若点为内任意一点，若点满足:
1．;
2.两点分别是的边上的中点,且
;
3. ;
4. .