(人教A版2019选择性必修第一册)高二数学上册数学同步精讲 第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷（综合卷）（原卷版+解析）

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第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列说法中正确的是（       ）A．直线的方向向量是唯一的B．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C．直线的方向向量有两个D．平面的法向量是唯一的2．三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　)A．－2 B．2 C． D．3．已知点在基底下的坐标为，其中，，，则点在基底下的坐标是A． B．C． D．4．有下列命题：①若，则与， 共面；②若与，共面，则；③若，则 共面；④若共面，则.其中真命题的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．45．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ）A． B． C． D．6．已知空间三点、、，设，.若向量与互相垂直，则的值为（       ）A．或 B．或C．或 D．或7．正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．8．如图在棱长均为2的正四棱锥中，点为中点，则下列命题正确的是（       ）A．面，且直线到面距离为B．面，且直线到面距离为C．不平行于面，且与平面所成角大于D．不平行于面，且与平面所成角小于二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知，且∥，则（       ）A．x＝ B．x＝C．y＝－ D．y＝－410．下列关于空间向量的命题中，正确的是（       ）A．若非零向量，，满足，，则有B．任意向量，，满足C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面D．已知向量，，若，则为锐角11．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（       ）A．的长最小值为B．的最小值为C．若，则平面截正方体所得截面的面积为D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是12．如图，已知正方体棱长为4，Q是上一动点，点H在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，P是侧面内一动点，且点P到平面距离等于线段的长，下列说法正确的是（       ）A．平面B．与平面所成角的正切值得最大值为C．的最小值为D．当点P运动时，的范围是三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．长方体中，，，则点B到平面的距离为________．14．两个非零向量，，定义．若，，则___________．15．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________．16．已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．如图，在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是与的交点，，是的中点．(1)设，，，用，，表示向量；(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标．18．如图，在棱长为的正方体中，为的中点．(1)求证：//平面；(2)求与平面所成角的正弦值．19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，M为侧棱PD的中点.(1)证明：平面MAC平面PCD；(2)求直线PB与平面PCD所成的角的大小.20．如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点.(1)证明：AB1//平面；(2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求.21．如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.(1)证明：；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.22．如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点（1）求证：平面．（2）求平面与平面所成二面角的余弦值（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由.第一章 空间向量与立体几何 章节验收测评卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列说法中正确的是（       ）A．直线的方向向量是唯一的B．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C．直线的方向向量有两个D．平面的法向量是唯一的【答案】B若直线上的向量以及与向量共线的非零向量都可以作为直线的法向量，故A、C错；表示向量的有向线段所在直线垂直于平面时，则向量是平面的法向量，则D选项错.故选：B.2．三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　)A．－2 B．2 C． D．【答案】A3．已知点在基底下的坐标为，其中，，，则点在基底下的坐标是A． B．C． D．【答案】A∵点在基底下的坐标为，∴，∴点在基底下的坐标是。故选：A。4．有下列命题：①若，则与， 共面；②若与，共面，则；③若，则 共面；④若共面，则.其中真命题的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B解：①若,则与,肯定在同一平面内,正确；②中若,共线, 与不共线,则就不成立；③若,则三个向量在同一平面内,共面 ,正确；④中若共线,点不在此直线上,则不正确.所以真命题的个数为个.故选B5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（       ）A． B． C． D．【答案】A根据题意，， 在上的投影向量可为故选：A.6．已知空间三点、、，设，.若向量与互相垂直，则的值为（       ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C由已知可得，，，，由题意可得，解得或.故选：C.7．正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】A如图，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，则，由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，其中，所以当时，取得最大值，因为，所以的最大值为，所以，，平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值为故选：A8．如图在棱长均为2的正四棱锥中，点为中点，则下列命题正确的是（       ）A．面，且直线到面距离为B．面，且直线到面距离为C．不平行于面，且与平面所成角大于D．不平行于面，且与平面所成角小于【答案】D连接AC，BD，交点为O，以O为坐标原点，OC，OD，OP方向分别x，y，z轴正方向建立空间坐标系，由正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，点E为PC的中点，则O（0，0，0），A（，0，0），B（0，，0），C（，0，0），D（0，，0），P（0，0，），E（，0，），则（，，），（，0，），（0，，），设（x，y，z）是平面PAD的一个法向量，则，取x＝1，得，设BE与平面PAD所成的角为θ，则sinθ＝|cos，|＝||，故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°．由此排除选项A，B，C．故选：D．二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知，且∥，则（       ）A．x＝ B．x＝C．y＝－ D．y＝－4【答案】BD解：因为所以，，因为 ∥，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝，y＝－4．故选：BD10．下列关于空间向量的命题中，正确的是（       ）A．若非零向量，，满足，，则有B．任意向量，，满足C．若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面D．已知向量，，若，则为锐角【答案】ACDA：因为，，是非零向量，所以由，，可得，因此本选项说法正确；B：因为向量， 不一定是共线向量，因此不一定成立，所以本选项说法不正确；C：因为，，是空间的一组基底，所以三点不共线，又因为，所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；D：，当时，，若向量，同向，则有，所以有，而，所以向量，不能同向，因此为锐角，故本选说法正确，故选：ACD11．在棱长为1的正方体中，为侧面的中心，是棱的中点，若点为线段上的动点，则下列说法正确的是（       ）A．的长最小值为B．的最小值为C．若，则平面截正方体所得截面的面积为D．若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是【答案】BCD建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为1，则，，，，，设，，所以，，，所以时，，A错；，，所以时，，B正确；，则是上靠近的三等分点，，取上靠近的三等分点，则，，显然与平面的法向量垂直，因此平面，所以截面与平面的交线与平行，作交于点，设，则，由得，解得，则与重合，因此取中点，易得，截面为，它是等腰梯形，，，，梯形的高为，截面面积为，C正确；，，，，，，，同理，所以是平面的一个法向量，即平面，设垂足为，则，是正方体的外接球的直径，因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转．D正确．故选：BCD．12．如图，已知正方体棱长为4，Q是上一动点，点H在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，P是侧面内一动点，且点P到平面距离等于线段的长，下列说法正确的是（       ）A．平面B．与平面所成角的正切值得最大值为C．的最小值为D．当点P运动时，的范围是【答案】ABD对于A,连接 ,则 ,且平面 ,而平面 ,故平面平面 , 平面,故平面，故A正确；对于B， 连接,由于 平面，则即为与平面所成角，故 ，当, ,此时最小，故取到最大值 ，故B正确；对于C，当把平面折起，和平面在同一个平面上时，如图示：取到最小值，最小值为 ，故C错误；对于D，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立空间直角坐标系，则 ,设 ，由题意可知 ,故点P落在以点F为焦点，以为准线的抛物线上，故 ，由得，即 ，故 ，当时，取最小值22，当时，取最大值 ，故，故D正确.故选：ABD三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）13．长方体中，，，则点B到平面的距离为________．【答案】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，， ，，，， 设平面的法向量为：，，令得：又点B到平面的距离为：.故答案为：.14．两个非零向量，，定义．若，，则___________．【答案】因为，，所以，故，所以，故答案为：15．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________．【答案】##连接EO，因，则，而平面，且平面平面，平面平面，于是得平面，又平面，平面，即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形，以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，因，，则，则，设，，，设平面BMN的一个法向量，则，令，得，设平面ABE的一个法向量，则，令，得，因为平面平面ABE，则有，即，解得，所以线段AN的长为．故答案为：16．已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.【答案】          设A在面内的投影为E，故E为三角形BCD的中心，设正四面体的棱长为，球的半径为.则，，依题可得，球心在上，，代入数据可得，则，，又，，故的轨迹为平面BCD内以E为圆心，为半径的圆，，三点共线时，且P在BE之间时，的最小值是.以E为圆心，BE所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，，，，，设，，故，，设直线与直线所成角为，∵，∴，又，故，故答案为：，.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．如图，在正四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是与的交点，，是的中点．(1)设，，，用，，表示向量；(2)在如图的空间直角坐标系中，求向量的坐标．【答案】(1) (2)(1)解： ，，，，，．(2)解：因为，，，，．．．18．如图，在棱长为的正方体中，为的中点．(1)求证：//平面；(2)求与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(1)因为是正方体，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又面，平面，//平面；(2)以为正交基底建立空间直角坐标系，则，轴面，故面的法向量为 又，        设求与平面所成角为，则=，所以与平面所成角的正弦值为．19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，，M为侧棱PD的中点.(1)证明：平面MAC平面PCD；(2)求直线PB与平面PCD所成的角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：因为，M为侧棱PD的中点，所以，又因为平面ABCD，所以CD，又ADCD，，所以平面，所以，且，所以平面PCD，平面MAC，所以平面MAC平面PCD；(2)建立如图空间坐标系， ，，，，则，由知平面PCD，平面PCD的法向量为，设直线PB与平面PCD所成的角为，，所以直线PB与平面PCD所成的角为.20．如图，直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，D为棱AC中点.(1)证明：AB1//平面；(2)若面B1BC1与面BC1D的夹角余弦值为，求.【答案】(1)证明见解析(2)(1)证明：如图，连，使，连，由直三棱柱，所以四边形为矩形，所以为中点，在中，、分别为和中点，，又因平面平面，面，面，平面． (2)解：设，以为坐标原点如图建系， 则，，所以、，设平面的法向量则，故可取． 设平面的法向量，则，故可取，因为面与面的夹角余弦值为，所以，即，解得，．21．如图，在六面体中，是等边三角形，二面角的平面角为30°，.(1)证明：；(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面所成角的正切的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)2(1)证明：取中点，连接，因为，所以，且，所以平面，又平面，所以.(2)连接，则，由，可得，于是，所以，又，所以平面，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，由，可得，平面的法向量为，设，则，设与平面所成角为，则，令，则，令，由对称轴知，当，即时，，，于是直线与平面所成角的正切的最大值为2.22．如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点（1）求证：平面．（2）求平面与平面所成二面角的余弦值（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且.【详解】（1）证明：过作，垂足为，则，如图，以为坐标原点，分別以，，为轴建立空间直角坐标系，则，，， ，，，为的中点，，则，设平面的一个法向量为，，，则，令，解得：.，即，又平面，所以平面．（2）设平面的一个法向量为，，，所以，令，解得.所以.即平面与平面所成二面角的余弦值为.（3）假设线段上存在一点，设，，.，，则又直线与平面所成角的正弦值为，平面的一个法向量，化简得，即，，，故存在，且.