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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步达标检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆同步达标检测题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·陕西渭南·高一期末）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·一模（理））已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ）
A．1B．C．D．
4．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（ ）
A．15B．12C．6D．3
5．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
6．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习（文））如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·高三专题练习）已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、．若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·福建省福州第八中学高二期末）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最小值是4
D．的周长为
10．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
三、填空题
11．（2022·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.
12．（2022·四川雅安·三模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
四、解答题
13．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，.
(1)求椭圆C的离心率和焦点坐标；
(2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度.
14．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
B能力提升
1．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______.
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.
3．（2022·广西·浦北中学高二期中（文））在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
C综合素养
1．（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
2．（2021·上海·复旦附中高二期末）如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.
（1）求椭圆M的方程；
（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上.3.1.2椭圆的简单几何性质（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·陕西渭南·高一期末）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；
对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；
故答案为：D.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
点椭圆上的点，
，且
在 中，
即 ，整理得：
即
故选：D
3．（2022·全国·一模（理））已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
4．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（ ）
A．15B．12C．6D．3
【答案】B
由三角形面积公式可知，
当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，
其中，
则△面积的最大值是，
故选：.
5．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
【答案】B
由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
6．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习（文））如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是
A．B．C．D．
【答案】D
设这条弦的两端点，斜率为，
则：
两式相减得：
变形得：，又弦中点为：，故
故这条弦所在得直线方程为：，即
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由，得，，，左焦点为．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，
设，，则，，
又，
根据弦长公式得：，
且，
∴，
故选：A．
8．（2022·浙江·高三专题练习）已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、．若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由已知可得，
设点，则，且有，可得，
设点、，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：A.
二、多选题
9．（2022·福建省福州第八中学高二期末）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最小值是4
D．的周长为
【答案】ABD
由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；
，由椭圆性质可知，所以，B正确；
记，则
取，则，C错误；
由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.
故选：ABD
10．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
【答案】AC
A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
故选：AC．
三、填空题
11．（2022·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.
【答案】[3，5]
椭圆方程
椭圆的焦点
由在圆上，设，
•
的取值范围[3，5].
故答案为：[3,5].
12．（2022·四川雅安·三模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
【答案】
设，可得，
则,
因为，
所以，
则可得，则内切圆半径为，
由椭圆定义可得，又，
所以，
即，则可得，所以离心率为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，.
(1)求椭圆C的离心率和焦点坐标；
(2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度.
【答案】(1)；
(2)
(1)设椭圆方程为
根据题意可得，解得
∴椭圆方程为，则，且焦点在轴上
∴求椭圆C的离心率，焦点坐标
(2)设，根据题意可得，即
则
∵
∴当，即时，取到最大值
由题意可知切线l的斜率存在，设切线l：，即
联立方程，消去得
根据题意可得：，解得
∴切线l：，与y轴交于点
∴
14．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
(1)设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题可得，，
所以，可得，即，
则，
所以椭圆的标准方程为．
(2)设点坐标为，，，
∵，
∴所在的直线方程为，
则解方程组，可得，
∴.
B能力提升
1．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______.
【答案】##
作变换之后椭圆变为圆，方程为，，
由于，因此时面积最大，
此时，
那么，
故答案为：
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.
【答案】
设与直线平行的直线与椭圆相切，
由得，
由得，，解得
设直线与直线的距离为，
当时，直线为，则，
当时，直线为，则，
因为，
所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
3．（2022·广西·浦北中学高二期中（文））在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.
【答案】
令与椭圆相切，消去x整理得：，
所以，可得，显然与椭圆无交点，
当，切线为，与距离为；
当，切线为，与距离为；
所以点P到直线的距离d的最小值为.
故答案为：
4．（2022·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
【答案】##
不妨设点为，，则，则
设圆的圆心为，则坐标为
则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.
又
当时，，当且仅当时取得等号；
故.
故答案为：.
C综合素养
1．（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：由题意可得，，即，又
，解得，，，
则椭圆的方程为；
(2)证明：由（1）可得，
①当直线的斜率存在时，设，，，
由，所以，
又，代入整理得，
由消去整理得，
所以，，
所以，
整理得，
当时，直线过，不符合题意，
所以，即，
故直线的方程为，符合题意，
故恒过点；
②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，
即直线的方程为，必过定点，
综上可得，直线恒过定点；
2．（2021·上海·复旦附中高二期末）如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.
（1）求椭圆M的方程；
（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
（1）因为圆：，令，则或，所以圆与轴正半轴的交点为；
令，则，即圆与轴的两个交点为，
因为椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点，所以，
即椭圆的方程为：；
（2）由（1）可设，
则点到圆的圆心的距离为：
，
当且仅当时，等号成立；
又点为圆上的动点，由圆的性质可得：
（其中为圆的半径）；
（3）设，，直线的方程为，
由消去得，
整理得：，
所以，所以，
所以中点的坐标为：；
因为直线交圆于点，，且，
因此也是的中点；
根据圆的性质可得：，
所以，即，整理得，
所以，因此点在定直线上.
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·陕西渭南·高一期末）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·一模（理））已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ）
A．1B．C．D．
4．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（ ）
A．15B．12C．6D．3
5．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
6．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习（文））如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是
A．B．C．D．
7．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·浙江·高三专题练习）已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、．若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（2022·福建省福州第八中学高二期末）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最小值是4
D．的周长为
10．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
三、填空题
11．（2022·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.
12．（2022·四川雅安·三模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
四、解答题
13．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，.
(1)求椭圆C的离心率和焦点坐标；
(2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度.
14．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
B能力提升
1．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______.
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.
3．（2022·广西·浦北中学高二期中（文））在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.
4．（2022·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
C综合素养
1．（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
2．（2021·上海·复旦附中高二期末）如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.
（1）求椭圆M的方程；
（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上.3.1.2椭圆的简单几何性质（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·陕西渭南·高一期末）下列与椭圆焦点相同的椭圆是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
由题意得，椭圆C中，，即焦点坐标为和；
对于A选项，椭圆焦点在轴上，不满足题意；
对于B选项，椭圆焦点在轴上，，，，不满足题意；
对于C选项，椭圆焦点在轴上，，，不满足题意；
对于D选项，椭圆焦点在轴上，，，，满足题意；
故答案为：D.
2．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
点椭圆上的点，
，且
在 中，
即 ，整理得：
即
故选：D
3．（2022·全国·一模（理））已知椭圆C：上的动点P到右焦点距离的最小值为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
4．（2022·安徽·南陵中学高二阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为、，为椭圆上的一点（不在轴上），则△面积的最大值是（ ）
A．15B．12C．6D．3
【答案】B
由三角形面积公式可知，
当最大时有最大值，即点位于椭圆上顶点或下顶点，
其中，
则△面积的最大值是，
故选：.
5．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）的左､右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．.
【答案】B
由题设，以线段为直径的圆为，与直线相交，
所以，可得，即，又，
所以.
故选：B
6．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习（文））如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是
A．B．C．D．
【答案】D
设这条弦的两端点，斜率为，
则：
两式相减得：
变形得：，又弦中点为：，故
故这条弦所在得直线方程为：，即
故选：D
7．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由，得，，，左焦点为．
则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，
设，，则，，
又，
根据弦长公式得：，
且，
∴，
故选：A．
8．（2022·浙江·高三专题练习）已知、是椭圆长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、．若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由已知可得，
设点，则，且有，可得，
设点、，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故选：A.
二、多选题
9．（2022·福建省福州第八中学高二期末）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．线段AB长度的取值范围是
C．面积的最小值是4
D．的周长为
【答案】ABD
由题知，椭圆中的几何量，得，则，A正确；
，由椭圆性质可知，所以，B正确；
记，则
取，则，C错误；
由椭圆定义知，，所以的周长，D正确.
故选：ABD
10．（2022·全国·模拟预测）过椭圆的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，，是椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆的左、右顶点，则下列说法正确的是（ ）
A．周长的最小值为18
B．四边形可能为矩形
C．若直线PA斜率的取值范围是，则直线PB斜率的取值范围是
D．的最小值为-1
【答案】AC
A：根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值8，所以周长的最小值为18，正确；
B：若四边形为矩形，则点P，Q必在以为直径的圆上，但此圆与椭圆无交点，错误；
C：设，则，因为直线PA斜率的范围是，所以直线PB斜率的范围是，正确；
D：设，则．因为，所以当时，最小值为，错误.
故选：AC．
三、填空题
11．（2022·全国·高二专题练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点是圆上的一个动点，则的取值范围是_________.
【答案】[3，5]
椭圆方程
椭圆的焦点
由在圆上，设，
•
的取值范围[3，5].
故答案为：[3,5].
12．（2022·四川雅安·三模（文））已知椭圆的左右焦点分别为，P为C上异于左右顶点的一点，M为内心，若，则该椭圆的离心率是________．
【答案】
设，可得，
则,
因为，
所以，
则可得，则内切圆半径为，
由椭圆定义可得，又，
所以，
即，则可得，所以离心率为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022·四川·射洪中学高二阶段练习（文））已知椭圆C关于x轴、y轴都对称，并且经过两点，.
(1)求椭圆C的离心率和焦点坐标；
(2)D是椭圆C上到点A最远的点，椭圆C在点B处的切线l与y轴交于点E，求线段的长度.
【答案】(1)；
(2)
(1)设椭圆方程为
根据题意可得，解得
∴椭圆方程为，则，且焦点在轴上
∴求椭圆C的离心率，焦点坐标
(2)设，根据题意可得，即
则
∵
∴当，即时，取到最大值
由题意可知切线l的斜率存在，设切线l：，即
联立方程，消去得
根据题意可得：，解得
∴切线l：，与y轴交于点
∴
14．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
(1)设椭圆的标准方程为，焦距为，
由题可得，，
所以，可得，即，
则，
所以椭圆的标准方程为．
(2)设点坐标为，，，
∵，
∴所在的直线方程为，
则解方程组，可得，
∴.
B能力提升
1．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆的右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，则面积最大值为_______.
【答案】##
作变换之后椭圆变为圆，方程为，，
由于，因此时面积最大，
此时，
那么，
故答案为：
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.
【答案】
设与直线平行的直线与椭圆相切，
由得，
由得，，解得
设直线与直线的距离为，
当时，直线为，则，
当时，直线为，则，
因为，
所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
3．（2022·广西·浦北中学高二期中（文））在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.
【答案】
令与椭圆相切，消去x整理得：，
所以，可得，显然与椭圆无交点，
当，切线为，与距离为；
当，切线为，与距离为；
所以点P到直线的距离d的最小值为.
故答案为：
4．（2022·全国·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
【答案】##
不妨设点为，，则，则
设圆的圆心为，则坐标为
则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.
又
当时，，当且仅当时取得等号；
故.
故答案为：.
C综合素养
1．（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)不过点的直线l交椭圆于P，Q两点，直线和直线的斜率之和为2，证明：直线l恒过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(1)解：由题意可得，，即，又
，解得，，，
则椭圆的方程为；
(2)证明：由（1）可得，
①当直线的斜率存在时，设，，，
由，所以，
又，代入整理得，
由消去整理得，
所以，，
所以，
整理得，
当时，直线过，不符合题意，
所以，即，
故直线的方程为，符合题意，
故恒过点；
②当直线的斜率不存在时，设，，由，解得，
即直线的方程为，必过定点，
综上可得，直线恒过定点；
2．（2021·上海·复旦附中高二期末）如图，已知椭圆M：经过圆N：与x轴的两个交点和与y轴正半轴的交点.
（1）求椭圆M的方程；
（2）若点P为椭圆M上的动点，点Q为圆N上的动点，求线段PQ长的最大值；
（3）若不平行于坐标轴的直线交椭圆M于A、B两点，交圆N于C、D两点，且满足求证:线段AB的中点E在定直线上.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
（1）因为圆：，令，则或，所以圆与轴正半轴的交点为；
令，则，即圆与轴的两个交点为，
因为椭圆经过圆与轴的两个交点和与轴正半轴的交点，所以，
即椭圆的方程为：；
（2）由（1）可设，
则点到圆的圆心的距离为：
，
当且仅当时，等号成立；
又点为圆上的动点，由圆的性质可得：
（其中为圆的半径）；
（3）设，，直线的方程为，
由消去得，
整理得：，
所以，所以，
所以中点的坐标为：；
因为直线交圆于点，，且，
因此也是的中点；
根据圆的性质可得：，
所以，即，整理得，
所以，因此点在定直线上.
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