人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线综合训练题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线综合训练题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南南阳·高二期末（理））王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论：
甲：该双曲线的实轴长是；
乙：该双曲线的虚轴长是2；
丙：该双曲线的焦距为8；
丁：该双曲线的离心率为．
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（2022·全国·高二）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）
A．B．9C．D．3
5．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
7．（2022·广东广州·高二期末）已知方程，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
8．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（2022·全国·高二）下列双曲线中以为渐近线的是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·全国·高二专题练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
三、填空题
11．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.
12．（2022·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
四、解答题
14．（2022·全国·高一）分别求满足下列条件的曲线方程
(1)以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；
(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．
14．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
B能力提升
1．(多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．内切圆的半径为
C．
D．点到轴的距离为
2．（多选）（2022·湖南·模拟预测）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线
B．当时，曲线是椭圆
C．若实数的值为2，则曲线的离心率为
D．存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线
3．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，经过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，，则（ ）
A．若时，则
B．对任意的，存在直线使得
C．对任意的，存在直线使得
D．对任意的，存在直线使得
C综合素养
1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
2．（2021·江苏镇江·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：和圆F：都外切.
(1)求圆心M的轨迹方程C；
(2)已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求的最小值.
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3.2.2双曲线的简单几何性质（精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·海南·琼海市嘉积第三中学高三阶段练习）双曲线的离心率为，且过，则双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：由双曲线离心率为，得，所以所以，
所以双曲线方程为，
将代入得.
所以双曲线的方程为.
故选：D
2．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知双曲线C：（，）的一条渐近线为y=2x，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
因为双曲线的一条渐近线为,所以,
所以双曲线的离心率为.
故选：D.
3．（2022·河南南阳·高二期末（理））王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论：
甲：该双曲线的实轴长是；
乙：该双曲线的虚轴长是2；
丙：该双曲线的焦距为8；
丁：该双曲线的离心率为．
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】B
甲：；
乙：；
丙：；
丁：；
所以甲、丙、丁三者同时满足，
此时，所以乙同学结论错误.
故选：B
4．（2022·全国·高二）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数m的值为（ ）
A．B．9C．D．3
【答案】A
的渐近线方程满足，所以渐进线与平行，所以渐近线方程为，故
故选：A
5．（2022·福建·莆田八中高三开学考试）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为，若双曲线C以为焦点、以直线为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
依题意，以点为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，点，
设双曲线C的方程为，其渐近线为，因直线为一条渐近线，
则有，双曲线C的离心率为.
故选：B
6．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则△ABD的面积的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最大值也就是圆心O到直线AD的距离d加上半径，即，，
则
故选：A
7．（2022·广东广州·高二期末）已知方程，则E表示的曲线形状是（ ）
A．若，则E表示椭圆
B．若E表示双曲线，则或
C．若E表示双曲线，则焦距是定值
D．若E的离心率为，则
【答案】B
由题意得，当时，，
即，要表示椭圆，需满足 ，解得且，
故A错误；
若E表示双曲线，则不能为0，
故化为，
则，即或，故B正确；
由B的分析知，时， ，此时c不确定，
故焦距不是定值，C错误；
若E的离心率为，则此时曲线表示椭圆，由A的分析知，且，
当时，，此时 ，
则，解得 ，
当时，，此时 ，
则，解得 ，故D错误，
故选：B
8．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知M是双曲线右支上的一动点，F是双曲线的右焦点，N是圆上任一点，当取最小值时，的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
由双曲线的方程可得，
圆的圆心为，半径为，
设，则，
，
当时，即时，有最小值为，
所以取最小值为，此时共线，
直线的方程为，即，
所以点到直线的距离为，
所以的面积为，
故选：C
二、多选题
9．（2022·全国·高二）下列双曲线中以为渐近线的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
A选项：渐近线方程，正确；B选项：渐近线方程，正确；
C选项：渐近线方程，错误；D选项：渐近线方程，正确；
故选：ABD.
10．（2022·全国·高二专题练习）已知曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线表示双曲线，则
B．若曲线表示椭圆，则且
C．若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则
D．若曲线与椭圆有公共焦点，则
【答案】BCD
解：对于A：若曲线：表示双曲线，则，解得或，故A错误；
对于B：若曲线：表示椭圆，则，解得且，故B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线且离心率为，则，
所以，则，解得，故C正确；
对于D：椭圆的焦点为，
若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，则，则，解得（舍去）；
若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则，则，解得，符合题意，故，故D正确；
故选：BCD
三、填空题
11．（2022·陕西渭南·高一期末）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为_______.
【答案】
由题意可知，则，解得
则它的渐近线方程为
故答案为：
12．（2022·全国·高二专题练习）已知是双曲线的左右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是______．
【答案】
，是双曲线的左右焦点，以圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，
则焦点到渐近线的距离：，
所以，
，
，
可得，
即：，可得，
所以，
所以，又，
所以双曲线的离心率的取值范围是：．
故答案为：．
四、解答题
14．（2022·全国·高一）分别求满足下列条件的曲线方程
(1)以椭圆的短轴顶点为焦点，且离心率为的椭圆方程；
(2)过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程．
【答案】(1)(2)
(1)的短轴顶点为(0，－3)，(0，3)，
∴所求椭圆的焦点在y轴上，且c＝3．
又，∴a＝6．∴．
∴所求椭圆方程为．
(2)根据双曲线渐近线方程为，可设双曲线的方程，
把代入得m＝1．所以双曲线的方程为．
14．（2022·四川省资阳中学高二期末（理））已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.
【答案】(1)(2)
(1)解：双曲线的渐近线为，即，
所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
(2)解：设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
B能力提升
1．(多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．内切圆的半径为
C．
D．点到轴的距离为
【答案】ABD
解：由双曲线的方程，得，，，所以双曲线的渐近线方程为，A正确；
因为，，，所以，，解得，故，C错误；
内切圆的半径为， B正确；
设点到轴的距离为，由的面积为，可得，解得.
故选：ABD．
2．（多选）（2022·湖南·模拟预测）已知曲线的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，曲线是焦点在轴上的双曲线
B．当时，曲线是椭圆
C．若实数的值为2，则曲线的离心率为
D．存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线
【答案】AC
对A，当时，，曲线的方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故A正确；
对B，当时，曲线为，曲线表示圆，故B不正确；
对C，，曲线表示椭圆，焦点在轴上，可得，故选项C正确；
对D，假设存在实数，使得曲线表示渐近线方程为的双曲线，此时有，得或，当时，，无解；当时，，无解，所以满足题意的实数不存在，故D不正确.
故选：AC.
3．（多选）（2022·全国·模拟预测）已知为坐标原点，经过点且斜率为的直线与双曲线相交于不同的两点，，则（ ）
A．若时，则
B．对任意的，存在直线使得
C．对任意的，存在直线使得
D．对任意的，存在直线使得
【答案】AD
由题意，直线为，与双曲线联立得：，易知且.
若，则为的中点，所以，可得，A正确；
由，即，结合可得，解得或，D正确，BC错误.
故选：AD.
C综合素养
1．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高二阶段练习（文））已知双曲线过点，且离心率
(1)求该双曲线的标准方程：
(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析，
(1)由题意，解得，，
故双曲线方程为
(2)设点，，
设直线的方程为，
代入双曲线方程，得，
，，，
同理，
.
2．（2021·江苏镇江·高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆M与圆E：和圆F：都外切.
(1)求圆心M的轨迹方程C；
(2)已知点O为原点，点A（8，0），点P是曲线C上任意一点，求的最小值.
【答案】(1)(2)
(1)动圆M与圆E：和圆F：都外切，
设圆半径为，则，,
,
所以的轨迹是以为焦点，的双曲线的右支，
即.
(2)设，A（8，0）,则，
所以，且，
所以，
当时，.