数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线课后测评

这是一份数学人教A版 (2019)第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线课后测评，共34页。试卷主要包含了抛物线的定义，抛物线的数学表达式，通径等内容，欢迎下载使用。
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
重点题型二：求抛物线的标准方程
重点题型三：利用抛物线的定义解决轨迹问题
重点题型四：与抛物线定义有关的最大(小)值问题
重点题型五：抛物线的实际应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识点二：抛物线的标准方程
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
特别说明：
1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).
2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .
3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二专题练习）到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．圆C．抛物线D．直线
2．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
3．（2022·海南华侨中学高二期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·福建泉州·高二期末）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则___________.
5．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和焦点坐标.
(1)准线方程为；(2)准线方程为；(3)准线方程为．
2．（2022·全国·高二课时练习）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程；
(1)；(2)；(3)；(4)．
重点题型二：求抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件分别求抛物线的方程：
(1)准线方程为；(2)经过点．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为；
(2)焦点在轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是轴，经过点．
同类题型归类练
1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（文））求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1），焦点在轴上的双曲线的标准方程；
（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
2．（2022·河南许昌·高二期末（理））（１）求焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为 的双曲线的标准方程；
（2）求经过点的抛物线的标准方程；
重点题型三：利用抛物线的定义解决轨迹问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知动点满足，则点的轨迹是
A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
同类题型归类练
1．（2022·上海普陀·二模）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
2．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏·高二）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
重点题型四：与抛物线定义有关的最大(小)值问题
典型例题
例题1．（2022·河北石家庄·二模）已知，点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·高二期中）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为
A．3B．4C．D．
例题3．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
例题4．（2022·广西柳州·二模（理））已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一交点为，关于点的对称点为，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．6D．10
同类题型归类练
1．（2022·河北·深州长江中学高二期末）已知抛物线，P是抛物线上一点，F为焦点，一个定点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2022·北京市第一六一中学高三阶段练习）已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是 （ ）
A．B．C．D．
3．（2022·湖南郴州·高二期末）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________．
4．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
5．（2022·北京市十一学校高二期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
重点题型五：抛物线的实际应用
典型例题
例题2．（2022·江苏·高二）如图，一抛物线型拱桥的拱顶离水面高4米，水面宽度米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
例题2．（2021·安徽宿州·高二期中）某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：）.
(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程；
(2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高，此车能否安全通过隧道？请说明理由.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.
2．（2022·江苏·高二课时练习）如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降1m，求水面宽度（精确到0.01m）．
3．（2022·全国·高二课时练习）如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线，宽7m，高0.7m，求这条抛物线的方程．
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
2．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A．6B．2C．5D．8
3．（2022·新疆·三模（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.
5．（2022·上海徐汇·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为___________.方程
（）
（）
（）
（）
图形
焦点
准线
3.3.1抛物线及其标准方程（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
重点题型二：求抛物线的标准方程
重点题型三：利用抛物线的定义解决轨迹问题
重点题型四：与抛物线定义有关的最大(小)值问题
重点题型五：抛物线的实际应用
第五部分：高考（模拟）题体验
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局
第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．
2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离).
知识点二：抛物线的标准方程
设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
特别说明：
1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).
2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .
3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线（）上一点到焦点的距离，也称为抛物线的焦半径.
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二专题练习）到直线与到定点的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．圆C．抛物线D．直线
【答案】C
动点到定点的距离与到定直线：的距离相等，
所以的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
故选：C．
2．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
解：抛物线，即，则，所以，
所以抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：C
3．（2022·海南华侨中学高二期中）过点，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解：依题意设抛物线方程为，因为抛物线过点，
所以，解得，所以抛物线方程为；
故选：C
4．（2022·福建泉州·高二期末）已知抛物线上有一点与焦点之间的距离为3，则___________.
【答案】2
由题意可得：准线为，故，则
故答案为：2．
5．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．
【答案】
设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，，
由梯形中位线得，，
∴准线方程为
故答案为：．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：根据抛物线方程求焦点坐标以及准线方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)焦点为，准线方程为；
(2)焦点为，准线方程为；
(3)焦点为，准线方程为；
(4)焦点为，准线方程为.
(1)由题设，，则，
而焦点为，即为，准线方程为，即为.
(2)由题设，，则，
而焦点为，即为，准线方程为，即为.
(3)由题设，，则，
而焦点为，即为，准线方程为，即为.
(4)由题设，，故，则，
而焦点为，即为，准线方程为，即为.
例题2．（2022·江苏·高二课时练习）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为
(2)焦点坐标为，准线方程为
(3)焦点坐标为，准线方程为
(4)焦点坐标为，准线方程为
(1)抛物线开口向右，，所以焦点坐标为，准线方程为.
(2)抛物线开口向下，，所以焦点坐标为，准线方程为.
(3)抛物线开口向左，，所以焦点坐标为，准线方程为.
(4)抛物线开口向上，，所以焦点坐标为，准线方程为.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程、顶点坐标和焦点坐标.
(1)准线方程为；(2)准线方程为；(3)准线方程为．
【答案】(1)抛物线方程为，顶点坐标为，焦点坐标为
(2)抛物线方程为，顶点坐标为，焦点坐标为
(3)抛物线方程为，顶点坐标为，焦点坐标为
(1)由题意设抛物线的方程为，
因为准线方程为，
所以，得，
所以抛物线方程为，顶点坐标为，焦点坐标为.
(2)由题意设抛物线方程为，
因为准线方程为，
所以，得，
所以抛物线方程为，顶点坐标为，焦点坐标为.
(3)由题意设抛物线方程为，
因为准线方程为，
所以，得，
所以抛物线方程为，顶点坐标为，焦点坐标为.
2．（2022·全国·高二课时练习）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程；
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为：；
(2)焦点坐标为，准线方程为：；
(3)焦点坐标为，准线方程为：；
(4)焦点坐标为，准线方程为：．
(1)抛物线的标准方程为：，焦点坐标为，准线方程为：；
(2)抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：；
(3)抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：；
(4)抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：．
重点题型二：求抛物线的标准方程
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二课时练习）根据下列条件分别求抛物线的方程：
(1)准线方程为；(2)经过点．
【答案】(1)(2)y2＝－x或x2＝9y.
(1)由题意得焦点在y轴的负半轴上，所以设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)．因为，所以p＝，故抛物线的方程为.
(2)当焦点在x轴的负半轴上时，设其方程为y2＝－2px(p>0)，代入点(－3， 1)得p＝，此时方程为y2＝－x；
当焦点在y轴的正半轴上时，设其方程为x2＝2py(p>0)，代入点(－3， 1)得p＝，此时方程为x2＝9y.
综上，所求抛物线的方程为y2＝－x或x2＝9y.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图：
(1)准线方程为；
(2)焦点在轴上且其到准线的距离为6；
(3)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；
(4)对称轴是轴，经过点．
(1)解：因为抛物线的准线方程为，
所以，p=3，
所以抛物线的方程是；其图象如下：
(2)因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6，
所以，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
(3)因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2
所以，p=4，
所以抛物线的方程是或；其图象如下：
(4)因为对称轴是y轴，
设抛物线方程为，
因为抛物线经过点，
所以，解得，
所以抛物线的方程是，其图象如下：
同类题型归类练
1．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（文））求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1），焦点在轴上的双曲线的标准方程；
（2）焦点在轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程．
【答案】（1）；（2）或．
（1）解：由题意，设方程为（，），
，，
，，
所以双曲线的标准方程是．
（2）焦点到准线的距离是2，
，
∴当焦点在轴上时，抛物线的标准方程为或．
2．（2022·河南许昌·高二期末（理））（１）求焦点在 x轴上,虚轴长为12，离心率为 的双曲线的标准方程；
（2）求经过点的抛物线的标准方程；
【答案】（1）；（2）或.
焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1（a>0,b>0）．
由题意，得 解得b=6,
解得，
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为．
（2）由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或（p>0）
当方程为，将点代入得16=4p，即p=4,抛物线方程为：；
当方程为，将点代入得4=8p，即p=,抛物线方程为：；
重点题型三：利用抛物线的定义解决轨迹问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知动点满足，则点的轨迹是
A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆
【答案】B
试题分析：表示的几何意义是点到的距离,表示的几何意义为点到直线的距离,因为两者相等,可推断的轨迹为抛物线,故选B.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
∵点到点的距离比它到直线的距离大1，
∴点到点的距离等于它到直线的距离，
∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，则点的轨迹方程是.
故选：D.
例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________．
【答案】
设直线，则动点到点的距离为，动点到直线的距离为，又因为，
所以动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其轨迹方程为．
故答案为：
同类题型归类练
1．（2022·上海普陀·二模）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
【答案】C
由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C
2．（2022·新疆·哈密市第一中学高二期末（理））点到点 的距离比它到直线的距离小2，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
因为点到点的距离比它到直线的距离少2，
所以将直线左移2个单位，得到直线，即，
可得点到直线的距离等于它到点的距离，
根据抛物线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，设抛物线方程为，可得，得，
所以抛物线的方程为，即为点的轨迹方程.
故选：B．
3．（2022·江苏·高二）与点和直线的距离相等的点的轨迹方程是______．
【答案】
解：由抛物线的定义可得平面内与点和直线的距离相等的点的轨迹为抛物线，且为焦点，直线为准线，
设抛物线的方程为，
可知，解得，
所以该抛物线方程是，
故答案为：
重点题型四：与抛物线定义有关的最大(小)值问题
典型例题
例题1．（2022·河北石家庄·二模）已知，点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线，垂足记为点，点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
由抛物线知，焦点，准线方程为
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，
由抛物线定义知，
当F,P,M三点共线时,最小为，
故选：A
例题2．（2022·全国·高二期中）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为
A．3B．4C．D．
【答案】A
解：抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，
所以过焦点作直线的垂线，
则该点到直线的距离为最小值，如图所示；
由，直线，所以，故选A.
例题3．（2022·江西赣州·高二期中（理））已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
如图，过点向准线作垂线，垂足为，则，
当垂直于抛物线的准线时，最小，
此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，，
半径为，所以的最小值为.
故选：C
例题4．（2022·广西柳州·二模（理））已知抛物线的焦点为，为抛物线上的动点，直线与抛物线的另一交点为，关于点的对称点为，则的最小值为（ ）
A．3B．5C．6D．10
【答案】D
取的中点为，过分别作准线的垂线交准线于，连接.点到准线的距离为，由定义可知，，，所以（当三点共线时取等号），即的最小值为.
故选：D
同类题型归类练
1．（2022·河北·深州长江中学高二期末）已知抛物线，P是抛物线上一点，F为焦点，一个定点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
由抛物线，化为，得到，焦点，准线，
过点P作，垂足为M，则．
，又，
当A，P，M共线时，取最小值7，
故选：C．
2．（2022·北京市第一六一中学高三阶段练习）已知为抛物线上的动点，点在轴上的射影为，点的坐标是，则的最小值是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
依题意可知焦点F(0，)，准线为y＝－，延长PM交准线于H点
则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PH|－，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－，即求|PF|＋|PA|的最小值．
因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝ ＝10.
所以|PM|＋|PA|≥10－＝.故选B.
3．（2022·湖南郴州·高二期末）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________．
【答案】3
由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，
过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，
由点到直线的距离公式可得，
即的最小值为3.
4．（2022·广西南宁·高二期末（理））已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】A
因为抛物线焦点的坐标为，所以，解得．
记抛物线的准线为l，作于，作于，则由抛物线的定义得，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．
故选：A.
5．（2022·北京市十一学校高二期末）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点，M为抛物线上一点，则|MA|+|MF|的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
过点M作准线的垂线，垂足为H，
由抛物线的定义可知|MF|＝|MH|，
则问题转化为|MA|+|MH|的最小值，
结合图形可得当且仅当三点M，A，H共线时|MA|+|MH|最小，
其最小值为.
故选：B．
重点题型五：抛物线的实际应用
典型例题
例题2．（2022·江苏·高二）如图，一抛物线型拱桥的拱顶离水面高4米，水面宽度米．现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体形的货物欲从桥下中央经过，已知长方体形货物总宽6米，高1.5米，货箱最底面与水面持平．
(1)问船只能否顺利通过该桥？
(2)已知每加一层货箱，船只吃水深度增加1cm；每减一层货箱，船只吃水深度减少1cm．若每层小货箱高3cm，且货物与桥壁需上下留2cm间隙方可通过，问船只需增加或减少几层货箱可恰好能从桥下中央通过？
【答案】(1)货箱能顺利通过该桥；
(2)需要增加26层可恰好能从桥下中央通过.
(1)以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线方程为x2＝my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上；
∴25＝﹣4m；∴；∴；
可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），
则；∴；
∵；∴货箱能顺利通过该桥．
(2)由题（1）知，货物超出高度为，
每增加一层，则船体连货物高度整体上升，
由货物与桥壁需留下2cm间隙．则需要增加层数为层，
答：船只能顺利通过该桥，可以增加26层可恰好能从中央通过．
例题2．（2021·安徽宿州·高二期中）某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线及一个矩形的三边组成，尺寸如图（单位：）.
(1)以隧道横断面抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求该段抛物线所在抛物线的方程；
(2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽，车与集装箱总高，此车能否安全通过隧道？请说明理由.
【答案】(1)；
(2)不能，理由见解析.
(1)由题设，可设抛物线方程为，由图知：，，
所以，则，故抛物线所在抛物线的方程.
(2)由题设，令，要使装载集装箱的车能安全通过隧道，则，
由（1）并将点代入可得：，故.
所以此车不能安全通过隧道.
同类题型归类练
1．（2022·江苏·高二）如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F处.已知灯口直径是，灯深，求灯泡与反射镜的顶点O的距离.
【答案】
以轴为x轴，反射镜的顶点为原点建立平面直角坐标系，
如图，由题可知，设抛物线方程为
则有，得，
所以灯泡与反射镜的顶点O的距离为.
2．（2022·江苏·高二课时练习）如图，一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降1m，求水面宽度（精确到0.01m）．
【答案】4.90m
建立如图所示平面直角坐标系：
设抛物线的方程为：，
由题意知：点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线方程为，
当水面下降1m时抛物线上点的纵坐标为-3，
代入，得，
解得，
此时水面的宽度为.
3．（2022·全国·高二课时练习）如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是一段抛物线，宽7m，高0.7m，求这条抛物线的方程．
【答案】.
根据题意，设该抛物线的方程为，将点代入可得，于是该抛物线的方程为.
第五部分：高 考 （模 拟） 题 体 验
1．（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
2．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A．6B．2C．5D．8
【答案】A
拋物线的焦点为，
圆，即
所以，圆心为，半径，
F到圆C上点的距离的最大值为.
故选：A.
3．（2022·新疆·三模（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
解：由抛物线，可知，即（为坐标原点），
过点作轴的垂线，垂足为，
因为，即，
由，可知，
所以，
所以点到准线的距离为．
故选：C．
4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.
【答案】
设，则，
因为，
所以
，当时取得最小值4，
故答案为：4
5．（2022·上海徐汇·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九卷“勾股”讲述了“勾股定理”及一些应用，其中直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”，设点是抛物线的焦点，直线是该抛物线的准线，过抛物线上一点作准线的垂线，垂足为，射线交准线于点，若的“勾”，“股”，则抛物线方程为___________.
【答案】
解：当抛物线开口向右时，如图所示：
因为，
所以，
由抛物线的定义得，
所以是等边三角形，
所以，
所以抛物线的方程是，
同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：，
综上：抛物线的方程为：，
故答案为：
方程
（）
（）
（）
（）
图形
焦点
准线