中考数学专题提升 自定义问题含解析答案

这是一份中考数学专题提升 自定义问题含解析答案，共5页。试卷主要包含了新定义，定义，特例感知等内容，欢迎下载使用。

1．定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5，若x★2＝6，则实数x的值是 ( C )
A．－1 B．4
C．－1或4 D．1或－4
2．对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)＝(a，－b)，如f(1，2)＝(1，－2)；g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)．据此得g(f(5，－9))＝ ( D )
A．(5，－9) B．(－9，－5)
C．(5，9) D．(9，5)
3．定义[ ]表示不超过实数的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，令关于k的函数f(k)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(k＋1,4)))－eq \b\lc\[(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)))](k是正整数)，例如，f(3)＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3＋1,4)))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))＝1，则下列结论错误的是 ( C )
A．f(1)＝0
B．f(k＋4)＝f(k)
C．f(k＋4)>f(k)
D．f(k)＝0或f(k)＝1
4．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c的“伴随系数”．若“伴随系数”是[m－1，m－2，m－3]的二次函数的图象经过原点，则m＝__3__．
5．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b＝a2－ab.例如，5※3＝52－5×3＝10.若(x＋1)※(x－2)＝6，则x的值为__1__．
6. 已知x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2x－3y＝1，①,3x－2y＝5，②)))求x－y时，我们可以①＋②整体计算．一般地，当我们用a×①＋b×②整体计算mx＋ny时，称eq \f(a,b)为mx＋ny的“整体求和系数”，则x＋11y的整体求和系数为__－eq \f(7,5)__．
【解析】 由①×a＋②×b，得(2a＋3b)x－(3a＋2b)y＝a＋5b，为了求x＋11y的值，只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2a＋3b＝1，,3a＋2b＝－11，)))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝－7，,b＝5，)))故eq \f(a,b)＝－eq \f(7,5).
7. 规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M，N的坐标分别为(0，1)，(0，－1)，P是二次函数y＝eq \f(1,4)x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝－1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是__①④__．(填序号)
【解析】 ③的反例是筝形；④可以证明MP＝PQ.
8．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
(1)如图ZS10－1(1)，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形；
(2)如图ZS10－1(2)，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
(3)如图ZS10－1(3)，在(1)的条件下，取EF的中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．
,
(2)(3)
(图ZS10－1)
(1)证明：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＋∠DBA＝90°，
∴∠AFE与∠BEF互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形．
(2)解：如图DT10－1(答案不唯一)，
(图DT10－1)
四边形AFEB为所求．
(3)解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD.
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD＋DE＝5BE.
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，∴eq \f(QB,NC)＝eq \f(DB,EC)＝eq \f(3,5).
∵QB＝3，∴NC＝5.
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN＝10，∴AB＝AC＝10.
9．特例感知：(1)如图1，对于抛物线y1＝－x2－x＋1，y2＝－x2－2x＋1，y3＝－x2－3x＋1，下列结论正确的序号是__①②③____．
①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0，1)；
②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移eq \f(1,2)个单位长度得到；
③抛物线y1，y2，y3与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念：(2)把形如yn＝－x2－nx＋1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．
知识应用：在(2)中，如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐标，并写出该顶点纵坐标与横坐标之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C1，C2，C3，…，Cn，其横坐标分别为－k－1，－k－2，－k－3，…，－k－n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等．若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连结CnAn，Cn－1An－1，判断 CnAn，Cn－1An－1是否平行，并说明理由．

图1 图2
(图ZS10－2)
解：(2)①yn＝－x2－nx＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(n,2)))2＋eq \f(n2＋4,4)，所以顶点Pneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(n,2)，\f(n2＋4,4)))，
令顶点Pn的横坐标x＝－eq \f(n,2)，纵坐标y＝eq \f(n2＋4,4)，
则y＝eq \f(n2＋4,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(n,2)))eq \s\up12(2)＋1＝x2＋1，
即顶点Pn满足关系式y＝ x2＋1.
②相邻两点之间的距离都相等．
根据题意，得Cn(－k－n，－k2－kn＋1)，Cn－1(－k－n＋1，－k2－kn＋k＋1)，
∴CnCn－1两点之间的铅直高度为－k2－kn＋k＋1－(－k2－kn＋1)＝k，
CnCn－1两点之间的水平距离为－k－n＋1－(－k－n)＝1.
∴由勾股定理得CnCeq \\al(2,n－1)＝k2＋1，
∴CnCn－1＝eq \r( ,k2＋1).
③Cn An与Cn－1 An－1不平行．理由如下：
根据题意，得Cn(－k－n，－k2－kn＋1)，An(－n，1)．
∴kn＝eq \f(1－（－k2－kn＋1）,－n－（－k－n）)＝eq \f(k（k＋n）,k)＝k＋n(n，k为正整数)．
∵kn＝k＋n不为定值，与n的值有关，
∴Cn An与Cn－1 An－1不平行．