人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图练习题，共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥
B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台
C．正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的
D．利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是
2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，且，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
3．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（ ）
A．6B．8C．D．
5．如图，等腰三角形ABC在平面α上方，∠BAC = 90°，若△ABC以BC为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面α内的投影不可能的是（ ）
A．B．C．D．
6．下图是棱长为2的正方体木块的直观图，其中分别是，，的中点，平面过点且平行于平面，则该木块在平面内的正投影面积是（ ）
A．B．C．D．
7．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（ ）
A．B．
C．D．
8．等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（ ）


A．①②B．②③C．②④D．③④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16B．64C．32D．无法确定
10．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
11．如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，为的中点，且轴，轴，那么在原平面图形中（ ）
A．与相等
B．的长度大于的长度
C．的长度大于的长度
D．的长度大于的长度
12．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的边上的高为2
B．的边上的高为4
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若,,,,则四边形的面积是__________.
14．如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；
15．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是___________．
16．已知正四面体的棱长为，其在平面内射影的图形为，则图形的面积的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
18．（12分）设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．，
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范围．
19．（12分）在直四棱柱中，
（1）画出四棱柱的直观图；
（2）将四梭柱补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称.
20．（12分）如图，在水平放置的平面内有一边长为1的正方形，其中对角线是水平方向．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的实际图形，并求出其面积．
21．（12分）在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)．
22．（12分）用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系.
8.2立体图形的直观图-----专项检测卷
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体一定是圆锥
B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分一定是圆台
C．正视图和侧视图的高一定是相等的，正视图和俯视图的长一定是相等的
D．利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是
【答案】C
【分析】根据圆锥的定义，圆台的性质，三视图的概念，斜二测画法的定义判断各选项．
【详解】直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥，A错；
用一个平面去截圆锥，当截面与圆锥底面平行时，圆锥底面和截面之间的部分是圆台，B错；
根据三视图的定义，C正确；
利用斜二测画法画出的正方形的直观图和原来正方形的面积之比是，D错．
故选：C．
2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，且，斜边，则这个平面图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据斜二测画法的规则，得到原来图形的形状，结合直角三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，因为是一个平面图形的直观图，其中斜边，所以,
根据斜二测画法的规则，可得，
所以直角的面积为.
故选：D.
3．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中，,.则原平面图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
作出原平面图形，然后求出面积即可．
【详解】，则是等腰直角三角形，
∴，
又，，∴，
在直角坐标系中作出原图形为：
梯形，，，高，
∴其面积为．
故选：A
4．已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（ ）
A．6B．8C．D．
8.2立体图形的直观图C卷
【答案】B
【分析】由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长．
【详解】解：由斜二测画法的规则知，与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在轴上，
可求得其长度为，所以在平面图中其在轴上，且其长度变为原来的2倍，是，
其原来的图形如图所示；
所以原图形的周长是：．
故选：．
5．如图，等腰三角形ABC在平面α上方，∠BAC = 90°，若△ABC以BC为旋转轴旋转，形成的旋转体在平面α内的投影不可能的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对直线与平面的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得到答案．
【详解】若△ABC以BC为旋转轴旋转，形成的旋转体是一个由两个相同的圆锥底面重合形成的组合体，如图所示：
若，则旋转体在平面内的投影如选项D所示；
若，则旋转体在平面内的投影为正方形；
若与所成的角在(45°，90°)时，则旋转体在平面内的投影如B所示；
若与所成的角在(0°，45°)时，则旋转体在平面内的投影如A所示；
∴投影不会出现选项C的形状．
故选：C．
6．下图是棱长为2的正方体木块的直观图，其中分别是，，的中点，平面过点且平行于平面，则该木块在平面内的正投影面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据题意平面可以平移至平面，即木块在平面内的正投影即可看成是在平面的正投影，根据投影的性质可得投影为正六边形，最后根据正六边形面积公式可求出投影的面积．
【详解】解：根据题意可知平面过点且平行于平面PQF，
则平面可以平移至平面，
木块在平面内的正投影即可看成是在平面的正投影，
根据投影的性质可得投影为正六边形如图所示，
因为正方体棱长为2，
所以，
则投影面内正六边形的边长为：
根据正六边形面积公式可得投影的面积为：
故投影面积为：
故选：A
7．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据选项中各组三角形的位置情况进行分析，利用原图形中与轴平行的线段在斜二测画法后的特点，即可判断出直观图不全等的一组.
【详解】A．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形；
B．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形；
C．左图中的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，
右图中的底边变为原来的一半，高保持不变，所以直观图不是全等的三角形；
D．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形.
故选：C.
【点睛】
本题考查斜二测画法的运用，难度一般.利用斜二测画法画直观图时，平行性不变，其中平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半.
8．等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（ ）


A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】D
根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】由题意及直观图的画法可知当时，等腰三角形的直观图是④；
当时，等腰三角形的直观图是③，
综上，等腰三角形的直观图可能是③④，故选D.
【点睛】
本题主要考查了平面图形的直观图的画法以及应用，其中解答中熟记斜二测画法的规则，画出平面图形的直观图是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积可能为（ ）
A．16B．64C．32D．无法确定
【答案】AB
【分析】正方形的直观图是一个平行四边形，有一边长为4，分两种情况讨论，根据斜二测画法的原则，即可得结果.
【详解】根据题意，正方形的直观图如图所示：
①若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为；
②若直观图中平行四边形的边,
则原正方形的边长为，所以该正方形的面积为，
故选：AB.
10．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】ACD
【分析】根据斜二测画法的原理，对四个选项逐一分析即可得到..
【详解】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.
对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；
对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；
对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；
对于D: 正三角形的直观图不是等腰三角形.故D错误.
故选：ACD
11．如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，为的中点，且轴，轴，那么在原平面图形中（ ）
A．与相等
B．的长度大于的长度
C．的长度大于的长度
D．的长度大于的长度
【答案】AC
【分析】根据斜二测画法的定义判断．
【详解】根据斜二测的定义，，，，
由勾股定理，由直角三角形，与的长度大小不确定．
故选：AC．
12．如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的边上的高为2
B．的边上的高为4
C．
D．
【答案】BD
【分析】过作‖轴，交于，即可求出相关量，画出原图，即可判断
【详解】解：如图，作‖轴，交于，则可得，
因为轴，且，
所以，
则在原图中，，且，即边上的高为4，
因为点在上，所以，
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．如下图所示,梯形是水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法),若,,,,则四边形的面积是__________.
【答案】5
【分析】根据斜二测画法知，四边形ABCD是上底为2下底为3，高的直角梯形，利用梯形公式即可求解.
【详解】由直观图知，四边形ABCD中，ABCD,,因为，所以，且,根据梯形面积公式，故填5.
14．如图∶矩形A'B'C'D'的长为4cm，宽为2cm，O'是A'B'的中点，它是水平放置的一个平面图形ABCD的直观图，则四边形ABCD的周长为∶__________cm；
【答案】20
【分析】利用斜二测画法还原出原图形，结合题干中数据以及斜二测画法的规则，计算即可
【详解】
由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；
与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.
还原出原图形如上图所示，其中cm，cm
cm
所以原图形的周长为cm
15．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，，则原图形的面积是___________．
【答案】
【分析】先求出直观图中平行四边形的面积，再利用直观图面积与原图形面积之比即可求解.
【详解】直观图是一个平行四边形，其中，，，
所以直观图的面积为
又，所以原视图的面积为
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查了斜二测画法与水平放置的平面图形的面积之比的应用，解题的关键是掌握，属于基础题.
16．已知正四面体的棱长为，其在平面内射影的图形为，则图形的面积的最大值为________．
【答案】
【分析】根据正四面体可以由正方体的面对角线构成，所以把正四面体置于正方体中，可以得到正四面体的棱长和正方体的棱长的关系，并且，此时将正四面体向正方体的各个面作投影，是得到投影图形的面积最大的时候.
【详解】将正四面体置于正方体中，如下图所示，此时正四面体为，将此正四面体向正方体的底面作投影，则正四面体在平面内投影的图形面积的最大，理由如下：取正四面体两对对棱的中点,由正四面体的几何性质得正四面体的各边均相等且对棱互相垂直，则这四个点构成的是一个正方形，边长为,由于投影保持直线的平行关系不变,故对于正方形的投影图形,要么为平行四边形（当光线不与面平行时）, 要么是一条线段（当光线与面平行时），当光线不与面平行时，此时正四面体的投影四边形的面积是面积的二倍（当四面体的投影是三角形时结论不变）,以光线与面垂直时为例作出示意图如下图所示，从图中可以看出正方形的面积是正方形面积的二倍．要使四面体投影面积最大,只要使正方形的投影图形的面积最大，根据面积射影定理,只须投影光线与面垂直时，此时，正四面体的投影四边形就是如图所示的正方形，
因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为，所以正方形的面积为，
故填：.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，已知点，，,用斜二测画法作出该水平放置的四边形的直观图，并求出面积.
【答案】图见解析，
【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.
【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，，，，，，，，，，
所以
.
18．（12分）设一正方形纸片边长为4厘米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一正方形纸片和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，为正四棱锥底面中心．，
（1）若正四棱锥的棱长都相等，请求出它的棱长并画出它的直观图示意图；
（2）设等腰三角形的底角为，试把正四棱锥的侧面积表示为的函数，并求范围．
【答案】（1），画图见解析；（2），.
【分析】（1）本题根据题意先求，再根据题意建立方程求棱长；最后根据棱长画出它的直观图即可；
（2）先设，接着建立方程用表示出，再表示出，最后根据的范围求范围即可解题.
【详解】（1）由题意，设正四棱锥的棱长为，则，
，
（2）设，则，由，可得，
从而，其中，
∴
【点睛】
本题考查画几何体的直观图、根据几何体的边角关系建立函数关系并求范围，是中档题.
19．（12分）在直四棱柱中，
（1）画出四棱柱的直观图；
（2）将四梭柱补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称.
【答案】（1）见解析；（1）见解析，三棱柱
（1）结合直观图的画法和棱柱的结构特征，即可得到四棱柱的直观图；
（2）结合长方体的几何特征，即可得到补成的长方体.
【详解】（1）由题意，结合直观图的画法，即可得到四棱柱的直观图如图（1）.

（2）由题意，结合长方体的几何特征，可得补成的长方体如图（2），
即补上的几何体是三棱柱.
【点睛】
本题主要考查了空间几何体的直观图的画法，以及四棱柱和长方体的结构特征的应用，其中解答中熟记几何体的直观图的画法，以及几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题.
20．（12分）如图，在水平放置的平面内有一边长为1的正方形，其中对角线是水平方向．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的实际图形，并求出其面积．
【答案】见解析
【分析】先还原直观图为平行四边形，在原图中，，平行四边形ABCD的面积为直角三角形CAD面积的两倍．
【详解】四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵在水平位置，'是正方形，
∴，
∴在原四边形ABCD中，，
∵，，
∴．
21．（12分）在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)．
【答案】6π(米2)
【分析】先求出射影角，再由射影比例求球的阴影部分的面积．
【详解】解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为
S′，则Scs30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)
22．（12分）用斜二测画法得到的多边形的直观图为多边形，试探索多边形与多边形的面积之间有无确定的数量关系.
【答案】有确定的数量关系
先确定三角形的直观图和原始图的面积关系，再将多边形转化为三角形得到答案.
【详解】①设在中，为高边平行于轴，用斜二测画法得到其直观图为，
则有，的高为，
所以.
②当的三边都不与轴平行时，可过其中一个顶点作与轴平行的直线与对边相交，不妨设过点作与轴平行的直线交于点，则将分成和，
由①可知.
③对多边形，可连接，，…，，得到()个三角形，
即，，…，，
由①②知
综上：可知多边形与其直观图多边形的面积之间有确定的数量关系.