河南省南阳市六校2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市六校2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列角中，与角1560°终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】与终边相同的角即为，代入即可解决.
【详解】∵是第二象限角，
∴与角1560°终边相同的角是．
故选：C．
2. 在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（ ）
A. ②③B. ①③④C. ②④D. ①③
【答案】A
【解析】
【分析】利用周期函数的定义和周期公式求解.
【详解】解：①函数不是周期函数；
②的最小正周期为，
③的最小正周期为，
④的最小正周期为，
故选：A．
3. 要得到的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.
【详解】由于函数，
故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.
故选：D．
4. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值，或者是反解法利用正弦函数的有界性即可解决.
【详解】解法一：
因为，所以
∴或，∴或
故的值域为
解法二：由，得，易知，
所以，则，解得或
故的值域为．
故选：B．
5. 在直径为4cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出圆心角的弧度，然后利用弧长公式计算出正确答案.
【详解】因为，
所以72°的圆心角所对的弧长为.
故选：A.
6. 中角为钝角，若角终边上一点的坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，根据正弦函数、余弦函数的性质及诱导公式得到、，从而得到为第二象限角，即可得到、、的取值情况，即可得解.
【详解】解：∵中角为钝角，∴得，
∴，即，，
同理可得，，
点位于第二象限，即为第二象限角，所以、、，
所以.
故选：B
7. 若函数在区间上单调递减，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得函数的单调递减区间，再根据在区间上单调递减，由为单调递减区间的子集求得的范围，由，得到，根据方程在上有唯一解，由求解.
【详解】解：由题意令，
解得，，
∵在区间上单调递减，
∴且，，
∴，，
当时，，
因为方程在上有唯一解，
则有，解得，
综上，的取值范围为，
故选：C．
8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数的图象，再根据为偶函数求解.
【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象
若为偶函数，则，
即，，由于，
所以当最小时，取得，
故选：D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列结论中正确的是（ ）
A. 终边经过点的角的集合是
B. 时，的解集为
C. ，，则
D. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角，是第一或第二象限角
【答案】ABC
【解析】
【分析】写出角的集合表示判断A；利用同角公式结合各象限角的三角函数值符号求解判断B；确定两个集合表示的角终边判断C；由范围求出、范围判断D作答.
【详解】终边经过点，则该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，A正确；
不等式化为，而，于是，
又，所以的解为，B正确：
表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，
表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即，C正确；
由于为第三象限角，即，则，即是第二或第四象限角，
，即第一或第二象限角或终边在轴非负半轴，D错误.
故选：ABC
10. 如果，下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，代入求值即可；CD选项，利用诱导公式得到；B选项，利用，求出答案.
【详解】，A错误；
CD选项，，C错误，D正确；
B选项，，B正确．
故选：BD．
11. 下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可.
【详解】A中，因为，，由在单调递增，所以，所以A正确；
B中，因为，，显然，即，所以B正确：
C中，，，故，所以C错误；
D中，因为，在内单调递增，所以，所以D正确；
故选：ABD．
12. 已知函数，对于下列说法正确有（ ）
A. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可
B. 在内的单调递减区间为
C. 的图象关于直线对称
D. 为奇函数
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，利用平移变换即可求解；对于B，求出的单调减区间即可；对于C，代入检验即可；对于D，化简即可
【详解】对于A，将的图象向左平移个单位可得函数，故A不正确；
对于B，令，可得，，
取时，减区间为，时，减区间为，
∴在内的单调递减区间为，故B不正确；
对于C，当时，，恰好是函数的最大值，∴的图象关于直线对称，故C正确；
对于D，，
∴为奇函数，故D正确．
故选：CD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 函数的定义域为______．
【答案】，．
【解析】
【分析】要使函数有意义，则有，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域.
【详解】要使原函数有意义，必须有即，
解集为,
取交集可得原函数的定义域为
故答案为：
14. 已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，可以求出，代入即可.
【详解】∵角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，
∴，
∴，，
∴
故答案为：
15. 数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形,再分别以、、为圆心,线段长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为,则其面积是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据图形分析,利用扇形面积和三角形面积求解即可.
【详解】如图,
由条件可知,弧长,等边三角形的边长,
则以点、、为圆心,圆弧所对的扇形面积为,
中间等边的面积,
所以莱洛三角形的面积是.
故答案为:.
16. 设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为__________．
【答案】6
【解析】
【分析】确定图象关于直线对称，且周期为2，通过变换得到的图像，根据图像知与交点个数为10个，计算得到答案.
【详解】是由纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将x轴下方的图象翻到x轴上方即可得到，
又有是定义在上的偶函数，且，
所以图象关于直线对称，且周期为2，
又因时，，
在同一坐标系下，画出及在的图象如下所示：
由图象可知与交点个数为10个，其零点之和为6．
故答案为：
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】(1)利用诱导公式化简即可.
(2)由(1)有,再利用“凑角”的方法与诱导公式求解即可.
【详解】（1）
；
（2）.
【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式与的运用,属于基础题型.
18. 已知函数，．
（1）求的最小正周期；
（2）求在上的单调递增区间；
（3）当时，求的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）；．
【解析】
【分析】（1）利用周期公式即可求解；
（2）由，，结合即可求解；
（3）由求得，从而利用正弦函数的性质即可求解.
【小问1详解】
的最小正周期．
【小问2详解】
由，，得，．
又
所以函数的单调递增区间为．
【小问3详解】
∵，∴
当，即时，；
当，即时，．
19. 已知函数的部分图像如图所示：
（1）求函数的解析式；
（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中做出函数在一个周期内的图像．
【答案】（1）
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合图像可知，然后由的范围即可得到，将代入即可求得；
（2）根据题意，由“五点作图法”做出图像即可.
【小问1详解】
根据的图像可知：，故可得，即，
又，故；
又，故可得，
则或，
解得或，
数形结合可知：，即，结合，解得，
显然，不满足题意，故，当且仅当时，满足题意；
故．
【小问2详解】
由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，如表所示．
20. 已知函数的最小值为，其图像经过点，且图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程在上有且仅有两个实数根，，求实数的取值范围，并求出的值．
【答案】（1）
（2），的值见解析.
【解析】
【分析】（1）由函数的最小值得出，由图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，根据勾股定理求出，即可求出，再由图像经过点及求出，即可得出的解析式；
（2）关于的方程在上有且仅有两个实数根，，即函数与的图像在上有且仅有两个交点，设，画出的图像，即可分析出实数的取值范围，再分区间讨论的值．
【小问1详解】
由题意，得，，
∴，，
∴
又函数图像经过点，则，即，
由，得，
∴．
【小问2详解】
由题意，关于的方程在上有且仅有两个实数根，，即函数与的图像在上有且仅有两个交点，
由（1）知．
设，则，
∵，
∴，
则，其函数图像如图所示，由图可知，实数的取值范围为，
①当时，，关于对称，
则，得；
②当时，，关于对称，
则，得；
综上，实数的取值范围为，
当时，的值为；当时，的值为．
21. 直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间．
（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；
（2）在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？
【答案】（1）
（2）秒．
【解析】
【分析】（1）结合图形，利用角速度公式、任意角的概念以及三角函数求解.
（2）结合图形，根据三角函数的解析式建立不等式，利用正弦函数解不等式.
【小问1详解】
由题意可知，，
设角是以Ox为始边，为终边的角，
由条件得，
将，代入，得，
∴，∴；
【小问2详解】
由题意知，即，
∴，．
即，，
∴.
答：在水轮转动的一圈内，点在水下时间为秒．
22. 已知奇函数定义域为实数集，且在上是减函数，是否存在这样的实数，使对所有的均成立？若存在，求出适合条件的实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】存在，
【解析】
【分析】利用奇函数可将不等式转化成，然后利用减函数可得，令，，得到恒成立，用二次函数的性质求解即可
【详解】为上的奇函数，则，又在上为减函数，
所以可转化成，
即有，
∴，即．
令，，故
则题意可转化为：当时，是否存在，使得恒成立，
∴且，即
∴，即存在这样的，且．
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