河南省南阳市第八中学校等六校2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市第八中学校等六校2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题（Word版附解析），共15页。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
2. 设命题，，则为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，” 则为“，”.
故选：C.
3. 下列函数是偶函数且在区间上为减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】不是偶函数；
不是偶函数；
是偶函数，且函数在上是减函数，所以该项正确；
是二次函数，是偶函数，且在上是增函数，
故选：C.
4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用函数有意义并结合抽象函数的定义域求解作答.
【详解】由函数的定义域为，即，得，
因此由函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D
5. 设，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用作差法求解即可.
【详解】因为，故．
故选：B
6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
7. 若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式即可得解.
【详解】由，可得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：B.
8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得，再根据分段函数分，和，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】由题意得：，
当时，，不成立；
当时，，即，
解得或，
所以.
当时，，即，无解
综上：.
所以的取值范围是
故选：A
【点睛】本题主要考查分段函数的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．）
9. 下列函数中，满足的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用已知条件，代入选项函数的解析式，验证即可.
【详解】解：对于A选项，，，，所以A正确；
对于B选项，，满足，所以B正确；
对于C选项，，，，不满足，所以C不正确；
对于D选项，，，，所以D正确；
故选：ABD.
10. 已知集合恰有3个非空子集，则a的值可能为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意可知集合A有2个元素，结合一元二次方程的判别式即可求得答案.
【详解】因为集合A恰有3个非空子集，所以集合A有2个元素，
则有两个不相等的实数解，
则，解得，结合选项可知a的值可能为，
故选：ABC．
11. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 不等式的解集为
B. 不等式的解集为
C. 若，则函数的最小值为2
D. 是成立的充分不必要条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出不等式的解集判断AB；利用对勾函数的单调性求出最小值判断C；求出不等式的解集结合充分条件、必要条件的定义判断D作答.
【详解】对于A，不等式的解集为，A是假命题；
对于B，不等式的解集为，B是假命题；
对于C，显然，而函数在上单调递增，则当，即时，，C是假命题；
对于D，由于的解集为，则是成立的充分不必要条件，D是真命题.
故选：ABC
12. 已知函数的最小值为，则的可能取值是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
【答案】AB
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可.
【详解】函数上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数，
，对称轴为，
当时，
当时，，
要想函数的最小值为，只需，即，
显然选项AB符合，
当时，
当时，，显然不是，
综上所述：只有选项AB符合条件，
故选：AB
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________．
【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞)
【解析】
【分析】
求得函数的对称轴，根据单调性列不等式求解即可.
【详解】∵函数 在区间上具有单调性，
函数的对称轴为或
故 的取值范围为或.
故答案为:．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
14. 已知是R上的奇函数，当，则的解析式为__________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性的性质即可求的解析式；
【详解】设，则
，
又函数为奇函数
，
当时，由，
．
故．
故答案为：
15. 设命题；命题，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
【详解】,
,
因为是的必要而不充分条件，
是的必要不充分条件,
,
实数的取值范围是,
故答案为.
考点：不等式的解法；充分条件,必要条件.
16. 已知不等式的解集为，则__________﹔若对，不等式成立，则实数的最大值为__________．
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】空1：根据题意结合三个二次之间的关系列式求参数，即可得结果；空2：根据恒成立问题结合二次函数的性质列式求的取值范围，即可得结果.
【详解】空1：不等式的解集为，则方程的两根为，1，且，
所以，解得，
故；
空2：可得不等式，即为，
故不等式对不等式恒成立，
∵二次函数的对称轴为，则有：
①，解得；或②，无解；
综上所述：，所以实数的最大值为5．
故答案为：；5.
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 如图所示，是偶函数在第一象限及坐标轴上的图像，请将图像补充完整，并回答下列问题.
（1）请写出和的值
（2）请写出函数的定义域和值域；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）定义域为，值域为；
（3）.
【解析】
【分析】根据偶函数的对称性补全的图像，结合函数图象求和的值、写出定义域和值域及对应的范围.
【小问1详解】
补全函数的图像如下：
由图像，，；
【小问2详解】
由图像，函数的定义域为，值域为；
【小问3详解】
由图像，不等式对应为，即实数取值范围为..
18. 已知，，．
（1）当时，求和；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1），或.
（2）
【解析】
【分析】（1）由并集和补集的概念进行运算即可；
（2）将转化为包含关系，分和两种情况进行讨论即可.
【小问1详解】
由解得，∴，
当时，，
∴，或.
【小问2详解】
∵，∴，
①当时，，此时，即；
②当时，若，则有，解得.
综上所述，若，实数的取值范围是
19. 已知函数．
（1）若时，对任意的都成立，求实数的取值范围；
（2）求关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次不等式恒成立，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围；
（2）由可得出，分、、三种情况讨论，利用一次不等式、二次不等式的解法解原不等式，即可出原不等式的解集.
【小问1详解】
解：因为对任意的都成立，
当时，则有，合乎题意；
当时，即对任意的都成立，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
【小问2详解】
解：由可得，
即，
当时，解得，则原不等式解集为；
当时，即，可得，则原不等式解集为；
当时，即，可得，则原不等式解集为.
综上所述：当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为.
20. 已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=-2x+1且f(2)=15．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）令g(x)=(2-2m)x-f(x)，若函数g(x)在x∈[0,2]上不是单调函数，求实数m的取值范围.
（3）求（2）中g(x)在x∈[0,2]上最小值.
【答案】（1）f(x)=-x2+2x+15；（2）0