江西省吉安市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版含解析）

这是一份江西省吉安市2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题（Word版含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到，从而根据交集概念求出答案.
【详解】由，解得，故，
∴．
故选：B
2. 命题p：“，”的否定是（ ）
A. “，”B. “，”
C. “，”D. “，”
【答案】D
【解析】
【分析】根据带量词的命题的否定要求，改量词，否定结论的判断词即得.
【详解】对命题p改写量词，否定结论，有：，.
故选：D.
3. 已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复合函数的单调性及二次函数的对称轴和单调性，求解a的取值范围.
【详解】函数在区间上单调递减，由函数在定义域内单调递增，
则函数在上单调递减，且在上恒成立，
则有，解得．
所以a的取值范围是.
故选：C
4. 已知事件A，B互斥事件，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案.
【详解】∵，，
∴，
∵事件A，B是互斥事件，
∴．
故选：C
5. 下列区间内存在方程的根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得.
【详解】令，显然函数在R上连续，因，
故 在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．
如图，作出函数和的图象，由图可知和有两个交点，
因，，即，
所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根，
由选项可知只有C项符合题意.
故选：C.
6. 某人拥有一辆价值20万元的轿车，已知轿车以每年8%的幅度贬值，则这个人至多几年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万元的价格成交（参考数据：，）（ ）
A. 3年B. 4年C. 5年D. 6年
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可得轿车价格与年份之间的函数关系式为，再根据指数函数的单调性即可得解.
【详解】由题意知，轿车价格与年份之间的函数关系式为，
∴，故，
∴，
故这个人至多3年后卖出这辆轿车，才不会以低于15万的价格成交．
故选：A.
7. 已知函数与（）交于和两点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意不妨设，从而利用对数函数性质可得，再利用基本不等式求解.
【详解】由题意知：，不妨设，则，，
所以，而，
当且仅当时取等号，由于无法取等，所以的取值范围是．故C正确.
故选：C.
8. 设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围.
【详解】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍.
当时，，故，则， ；
当时，，故，则， ；
当时，，故，则，.
如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题.
对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 如图，全集为U，集合A，B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知韦恩图分析出了阴影部分所表示的集合的元素满足的条件，进而根据集合运算的定义可得答案.
【详解】根据图中阴影可知，符合题意，
又，∴也符合题意．
故选：AC
10. 某人连续掷两次骰子，表示事件“第一次掷出的点数是2”，表示事件“第二次掷出的点数是3”．表示事件“两次掷出的点数之和为5”，表示事件“两次掷出的点数之和为9”．则（ ）
A. 与相互独立B. 与相互独立
C. 与不相互独立D. 与不相互独立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据根据独立事件的乘法公式，结合题意，逐一判断即可.
【详解】由题意知，，
，
．
对A：∵，∴与相互独立，故A正确．
对B：∵，∴与不相互独立，故B错误．
对C：∵，∴与不相互独立，故C正确．
对D：∵，∴与不相互独立，故D正确．
故选：ACD.
11. 设表示不超过x的最大整数，如，，已知函数，（）．下列结论正确的是（ ）
A. 函数是偶函数
B. 当时，函数的值域是
C. 若方程只有一个实数根，则
D. 若方程有两个不相等的实数根，则
【答案】BC
【解析】
【分析】作出的图象，结合图象判断奇偶性，由函数定义求的值域，由与的图象交点个数，求的取值范围.
【详解】画出的图象如下图：
函数图象不关于y轴对称，A选项错误．
当时，函数，∵，∴，
故，即函数的值域是，B选项正确．
由图可知，与的图象必有一个交点，若方程只有一个实数根，则，C选项正确．
若方程有两个不相等的实数根，即与的图象有两个交点，结合图象可得，D选项错误．
故选：BC
12. 设，，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用，逐项求解即得.
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A正确；
，当且仅当时取等号，B错误；
，当且仅当时取等号，C正确；
，当且仅当时取等号，D正确．
故选：ACD
【点睛】方法点睛：运用基本不等式求最值，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合图即可得解.
【详解】由题意同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数为人.
故答案为：.
14. 已知甲组样本数据（，2，…，6），如下表所示：
若乙组样本数据，则乙组样本数据的平均数_________，乙组样本数据的方差__________．
【答案】 ①. 5 ②. ##
【解析】
【分析】根据平均数和方差定义计算即可.
【详解】由题意，乙组样本数据如下表所示：
则乙组样本数据的平均数，
乙组样本数据的方差.
故答案为：5；.
15. 若函数在上单调递减，则实数取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由分段函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则____________．
【答案】64
【解析】
【分析】利用换元法可得到，再根据得到两根，利用数型结合从而可求解.
【详解】令，由可化为，∵，∴，
即必有两个不同的根，，且，
故，异号，设为负，为正，结合题意，可画出大致示意图如下：
由图可知，有唯一解，
有两个解，，且，故
，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的关键是采用换元法，设，转化为二次函数根的问题，再结合对数函数和一次函数图象与性质，最后利用韦达定理代入计算即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 按要求完成下列题目．
（1）若，求；
（2）计算：．
【答案】（1）52 （2）6
【解析】
【分析】（1）根据所求式考虑运用立方和公式展开，故需要将已知式两边平方代入即得；
（2）对于较复杂的对数式一般用换底公式化简，再运用幂的乘方性质即可求得.
【小问1详解】
∵，
∴，
则．
【小问2详解】
．
18. 已知集合，，若是的真子集，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】
分析】将集合A和集合B进行化简，分和进行讨论，列出不等式解出结果即可.
【详解】∵集合，∴，
又为的真子集，当时，， 解得或．
当时，（等号不同时成立），解得．
综上所述，实数m的取值范围是．
19. 为了解同学们每天进行户外锻炼的时长，某兴趣小组在高一年级随机调查了500位同字，得到如下的样本数据的频率分布直方图．
（1）求a，并估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数；
（2）用样本估计总体，估计高一年级同学每天进行户外锻炼的平均时长（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）求高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数．
【答案】（1），220
（2）37 （3）49.5
【解析】
【分析】（1）由概率之和为1求，然后用总人数乘以相应比例即可估计；
（2）由平均数的计算公式直接计算即可求解；
（3）由百分位数的定义直接列方程求解即可.
【小问1详解】
∵，
∴，
估计每天户外锻炼时长在40min～70min的人数为（人）．
【小问2详解】
由题意知，（min）．
【小问3详解】
∵，．
∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分们数在之间，
设高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数为x，
则，解得，
∴高一年级同学每天进行户外锻炼的时长的75%分位数是49.5min．
20. 狗牯脑茶是江西珍贵名茶之一，产于罗霄山脉南麓支脉，吉安市遂川县汤湖镇狗牯脑山，该山形似狗头，取名“狗牯脑”所产之茶即从名之．某茶叶种植户欲生产狗牯脑茶，经过市场调研，生产狗牯脑茶需投入年固定成本3万元，每生产x（）吨另需投入流动成本万元，已知在年产量不足12吨时，，在年产量不少于12吨时，，每千克狗牯脑茶售价140元，通过市场分析，该茶叶种植户的狗牯脑茶当年能全部售完．
（1）写出年利润（单位：万元）关于年产量x（）（单位：吨）的函数解析式（年利润＝年销售收入－年固定成本－流动成本）；
（2）年产量为多少吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元
【解析】
【分析】（1）根据给出的计算公式，分段写出函数解析式；
（2）分段求函数的最大值，再进行比较.
【小问1详解】
由题意知，1吨狗牯脑茶售价为14万元，当时，，
当时，，
故年利润（万元）关于年产量x（吨）的函数解析式为．
【小问2详解】
当时，，当时，取得最大值．
当时，．
当且仅当，即时取等号，
即当时，取得最大值．
∵50＜54，
∴当年产量为18吨时，该茶叶种植户在狗牯脑茶的生产中所获年利润最大，最大年利润是54万元.
21. 已知定义域为的函数对于，，都满足，且当时，．
（1）求，并用定义法判断在区间上的单调性；
（2）是否存在实数k，使得关于x的不等式，恒成立？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），在区间上单调递增
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值；利用函数的单调性的定义，令，，且，则，可知，利用所给条件进行证明即可；
（2）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，借助二次不等式恒成立问题，讨论计算即可求解.
【小问1详解】
令，则，即，
令，，且，则，
，
又当时，，∴，∴，
故在区间上单调递增．
【小问2详解】
不存在，理由如下：
∵在区间上单调递增，且关于x的不等式恒成立，
∴，
即在区间上恒成立．
当时，二次函数的图象的对称轴，
∴当时，，
又，即，解得：，
∴，故当时，无满足题意的实数k．
当时，
∵二次函数的图象的对称轴，
∴只需，解得，无解.
故当时，无满足题意的实数k．
综上所述，不存在实数k，使得关于x的不等式恒成立．
22. 已知函数（，，）是偶函数，且，．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间（，，）上的值域是，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先根据函数为偶函数求出，再根据，求出即可；
（2）结合（1）求出函数的单调区间，再根据函数的单调性结合已知分类讨论即可得出答案.
【小问1详解】
因为是偶函数，
所以，即，
所以，即，所以，
则，
又，，
所以，解得，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，定义域为，
令，
令，
则，
因为，所以，则，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
令，
则，
因为，所以，则，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
又函数在定义域内为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为函数在区间上的值域是，
所以，
又，故或，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
综上所述，当时，；
当时，.
【点睛】关键点点睛：说明函数在上单调递减，在上单调递增，，是解决第二问的关键.2
3
3
4
6
6
1
3
3
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