北京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

这是一份北京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（ ）
A．[﹣2，3]B．[0，3]C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）
2．（4分）复数的共轭复数＝（ ）
A．1﹣iB．1+iC．D．
3．（4分）已知向量＝（m，1），＝（﹣1，2）．若∥，则m＝（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣
4．（4分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinxB．f（x）＝2|x|
C．f（x）＝x3+xD．
5．（4分）记cs（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
6．（4分）已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣4x+4y+6＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．8B．6C．D．4
7．（4分）函数f（x）＝cs（ωx+φ）的部分图象如图所示（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ﹣，kπ），k∈Z
B．（2kπ﹣，2kπ），k∈Z
C．（2k﹣，2k），k∈Z
D．（k﹣，k），k∈Z
8．（4分）若x＞0，y＞0，则“（ ）
A．x＝yB．x＝2yC．x＝2，且y＝1D．x＝y或y＝1
9．（4分）已知函数，f′（x）是f（x），则下列结论正确的是（ ）
A．f（﹣x）﹣f（x）＝0
B．f′（x）＜0
C．若0＜x1＜x2，则x1f（x2）＞x2f（x1）
D．若0＜x1＜x2，则f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）
10．（4分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m．使得Sn＝am，下列正确命题的个数是（ ）
①{an}可能为等差数列；
②{an}可能为等比数列；
③ai（i≥2）均能写成{an}的两项之差；
④对任意n∈N，n≥1，总存在m∈N，使得an＝Sm．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（共5小题：共25分）
11．（5分）函数的定义域是 ．
12．（5分）已知＝，＝．若||＝5，|，且∠AOB＝90°，则|﹣ ．
13．（5分）能够说明“ex＞x+1恒成立”是假命题的一个x的值为 ．
14．（5分）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，从下部算起第5节容量是 升（结果保留分数），
15．（5分）设a＞0，函数给出下列四个结论：
①f（x）在区间（a﹣1，+∞）上单调递减；
②当a≥1时，f（x）存在最大值；
③设M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a），则|MN|＞1；
④设P（x3，f（x3））（x3＜﹣a），Q（x4，f（x4））（x4≥﹣a）．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共6小题：共85分）
16．（14分）在△ABC中，．
（1）求A；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定
条件①：；
条件②：a＝2；
条件③：．
17．（14分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M
（1）求圆A的方程；
（2）当MN＝2时，求直线l的方程．
18．（14分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
19．（14分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，需另投入流动成本为W（x）万元，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析
（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）
（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣（a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x）（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
21．（15分）已知{an}为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在ii≤k，aj≤k，其中i≤j．令bk为满足ai≤k的所有i中的最大值，ck为满足aj≥k的所有j中的最小值．
（1）若无穷递增数列{an}的前四项是1，2，3，5，求b4和c4的值；
（2）若{an}是无穷等比数列，a1＝1，公比q为大于1的整数，b3＜b4＝b5，c3＝c4，求q的值；
（3）若{an}是无穷等差数列，a1＝1，公差为，其中m为常数，m∈N*，求证：b1，b2，⋯，bk，⋯和c1，c2，⋯，ck，⋯都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．
2023-2024学年北京师大附中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共10小题；共40分）
1．（4分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＞0}，则A∪B＝（ ）
A．[﹣2，3]B．[0，3]C．（0，+∞）D．[﹣2，+∞）
【分析】根据并集的定义解答即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x＞8}，
∴A∪B＝{x|﹣2≤x}＝[﹣2，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．
2．（4分）复数的共轭复数＝（ ）
A．1﹣iB．1+iC．D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（4分）已知向量＝（m，1），＝（﹣1，2）．若∥，则m＝（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣
【分析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
【解答】解：向量＝（m，＝（﹣1，∥，
则2m＝7×（﹣1），解得m＝﹣．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4．（4分）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinxB．f（x）＝2|x|
C．f（x）＝x3+xD．
【分析】利用定义判断函数的奇偶性，利用图象和函数的性质判断单调性即可．
【解答】解：A项，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）在定义域内没有单调性；
B项，f（﹣x）＝f（x），不符合；
C项，f（﹣x）＝（﹣x）3+（﹣x）＝﹣（x3+x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，
f'（x）＝4x2+1＞3，则f（x）＝x3+x在R上单调增，不符合；
D项，f（﹣x）＝﹣f（x），
y＝e﹣x在R上单调减，y＝ex在R上单调增，则函数f（x）在定义域上单调减．
故选：D．
【点评】本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．
5．（4分）记cs（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】法一：先求sin80°，然后化切为弦，求解即可．
法二：先利用诱导公式化切为弦，求出结果．
【解答】解：法一：，
所以tan100°＝﹣tan80°＝．
法二：cs（﹣80°）＝k⇒cs（80°）＝k，＝．
故选：B．
【点评】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用．
6．（4分）已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣4x+4y+6＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．8B．6C．D．4
【分析】由题意可得AB＝，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，判断直线和圆的位置关系是相离，求出圆心到直线的距离，点C到直线AB距离的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径．
【解答】解：圆x2+y2﹣6x+4y+6＝4 即 （x﹣2）2+（y+5）2＝2，
∴圆心（6，﹣2）．
直线AB的方程为x﹣y+8＝0，
圆心到直线AB的距离为 ＝3 ，
直线AB和圆相离，
点C到直线AB距离的最小值是 3 ﹣r＝3 ﹣，
△ABC的面积的最小值为 ＝4
故选：D．
【点评】本题考查圆的标准方程，圆和直线的位置关系，点到直线的距离公式的应用．
7．（4分）函数f（x）＝cs（ωx+φ）的部分图象如图所示（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ﹣，kπ），k∈Z
B．（2kπ﹣，2kπ），k∈Z
C．（2k﹣，2k），k∈Z
D．（k﹣，k），k∈Z
【分析】由图象可得函数正确，进一步求出离y轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合可得f（x）的单调递减区间．
【解答】解：由图可知，，则T＝2，
∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．
∴f（x）的单调递减区间为（7k﹣，6k）．
故选：C．
【点评】本题考查由y＝Asin（ωx+φ）型的部分图象求函数解析式，考查三角函数的性质，是基础题．
8．（4分）若x＞0，y＞0，则“（ ）
A．x＝yB．x＝2yC．x＝2，且y＝1D．x＝y或y＝1
【分析】根据充分必要条件的定义以及不等式的性质求出答案即可．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴x+7y≥2，当且仅当x＝4y时取等号，
故“x＝2且y＝1”是“x+6y＝2”的充分不必要条件，
故选：C．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式的性质，是一道基础题．
9．（4分）已知函数，f′（x）是f（x），则下列结论正确的是（ ）
A．f（﹣x）﹣f（x）＝0
B．f′（x）＜0
C．若0＜x1＜x2，则x1f（x2）＞x2f（x1）
D．若0＜x1＜x2，则f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）
【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D．
【解答】解：对于选项A，易知x∈R，，
∴，∴f（﹣x）＝﹣f（x）；
对于选项B，∵，∴，
由ln2＞0知f′（x）＞5，故B选项错误；
对于选项C，，，
虽然8＜1＜2，但是8×f（2）＜2×f（1），
故对0＜x4＜x2，x1f（x4）＞x2f（x1）不恒成立，故C选项错误；
对于选项D，函数，
则，，
∵x2＞x1＞6，∴，∴，
∴，∴，
即，∴，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
∴f（x1）+f（x2）＞f（x4+x2），故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查利用导数的运算，函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
10．（4分）设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m．使得Sn＝am，下列正确命题的个数是（ ）
①{an}可能为等差数列；
②{an}可能为等比数列；
③ai（i≥2）均能写成{an}的两项之差；
④对任意n∈N，n≥1，总存在m∈N，使得an＝Sm．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据题设条件，逐项判断即可：取an＝0，则Sn＝0，满足题设，即可判断①；对q是否等于1进行讨论，结合有理数性质即可判断②；对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则存在正整数P使得Sn﹣1＝ap，即可判断③；取数列an＝2﹣n，当n≥3时，由于n，3﹣n必有一个为偶数，则Sn 是非正整数，一定等于{an}中某一项，但a3＝﹣1，不是{Sn}中的项，从而可以判断④．
【解答】解：对于①：取an＝0，则Sn＝0，满足题设；
对于②：假设存在，a2＝a，公比为q，
若q＝1，an＝a，an＝an，当n≥2时，使得Sn＝am，
若q≠7，，，要使Sn＝am，则需即1＝qn+qm﹣1﹣qm，q为有理数．
由于q≠8，我们有：1+q+…+qn﹣1＝qm﹣8，由高次方程有理数根的判别法，此方程无有理数根．
故②错误；
对于③：由题意，对任意的正整数n，使得Sn＝am，
则存在正整数P使得Sn﹣1＝ap（n≥2），则an＝Sn﹣Sn﹣4＝am﹣ap（n≥2），故③正确．
对于④：令an＝2﹣n，则，S1＝S3＝1＝a1，
当n≥3时，由于n，则Sn是非正整数，一定等于{an}中某一项．
但a3＝﹣1，不是{Sn} 中的项，故④错误．
故选：C．
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了等差，等比数列的基本概念，推论，属于难题．
二、填空题（共5小题：共25分）
11．（5分）函数的定义域是 [0，1） ．
【分析】根据开偶次方根被开方数大于等于0，对数函数的真数大于0，列出不等式求出定义域．
【解答】解：根据题意可得，，
解得0≤x＜1．
故答案为：[6，1）．
【点评】本题考查求函数的定义域的求法，属于基础题．
12．（5分）已知＝，＝．若||＝5，|，且∠AOB＝90°，则|﹣ 13 ．
【分析】由已知可得，再由求解．
【解答】解：已知＝，＝，∠AOB＝90°，
∴，
又||＝5，|，即，
∴||＝＝．
故答案为：13．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查两向量垂直与数量积的关系，是基础题．
13．（5分）能够说明“ex＞x+1恒成立”是假命题的一个x的值为 0 ．
【分析】利用反例判断命题的真假即可．
【解答】解：当x＝0时，ex＞x+1，不成立，
故答案为：3．
【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查．
14．（5分）《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所抓写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早期峰．全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节，上四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思为：“今有竹9节，上4节容量3升，且竹节容积从下到上均匀变化，从下部算起第5节容量是 升（结果保留分数），
【分析】根据题意，设从下部算起，第n节的容量为an，易得数列{an}为等差数列，结合等差数列的通项公式求出a1和d，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设从下部算起n，
易得数列{an}为等差数列，
则a1+a2+a4＝3a1+4d＝4，a6+a2+a8+a9＝4a1+26d＝3，
解得a7＝，d＝﹣，
则a5＝a5+4d＝．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的应用，涉及等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
15．（5分）设a＞0，函数给出下列四个结论：
①f（x）在区间（a﹣1，+∞）上单调递减；
②当a≥1时，f（x）存在最大值；
③设M（x1，f（x1））（x1≤a），N（x2，f（x2））（x2＞a），则|MN|＞1；
④设P（x3，f（x3））（x3＜﹣a），Q（x4，f（x4））（x4≥﹣a）．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ②③ ．
【分析】先分析f（x）的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论f（x）的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知|MN|的范围；对于④，取，结合图像可知此时|PQ|存在最小值，从而得以判断．
【解答】解：依题意，a＞0，
当x＜﹣a时，f（x）＝x+2；
当﹣a≤x≤a时，，易知其图像是，0）；
当x＞a时，，易知其图像是一条端点取不到的单调递减的曲线；
对于①，取，则f（x）的图像如下，
显然，当x∈（a﹣2，即时，f（x）在，故①错误；
对于②，当a≥8时，
当x＜﹣a时，f（x）＝x+2＜﹣a+2≤2；
当﹣a≤x≤a时，显然取得最大值a；
当x＞a时，，
综上：f（x）取得最大值a，故②正确；
对于③，结合图像6＝a，x2＞a且接近于x＝a处，M（x1，f（x2））（x1≤a），N（x2，f（x5））（x2＞a）的距离最小，
当x1＝a时，y＝f（x7）＝0，当x2＞a且接近于x＝a处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则f（x）的图像如下，
因为P（x4，f（x3））（x3＜﹣a），Q（x6，f（x4））（x4≥﹣a），
结合图像可知，要使|PQ|取得最小值上，点Q在，
同时|PQ|的最小值为点O到的距离减去半圆的半径a，
此时，因为，则kOP＝﹣1，故直线OP的方程为y＝﹣x，
联立，解得，3），
显然P（﹣1，1）在上，
即也满足|PQ|存在最小值，故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查函数f（x）的图像，特别是当﹣a≤x≤a时，的图像为半圆；考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
三、解答题（共6小题：共85分）
16．（14分）在△ABC中，．
（1）求A；
（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定
条件①：；
条件②：a＝2；
条件③：．
【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理即可得解；
（2）选择①，先求得sinC，进而可得sinB，由此求得a，再由三角形的面积公式即可得解；选择②，先求得sinB，判断△ABC为等腰直角三角形，进而得解；选择③，求得a，再由余弦定理可知此时△ABC不唯一．
【解答】解：（1）因为2asinB＝b，
则由正弦定理可得，，
又因为sinB≠0，所以，
又因为A为△ABC的内角，
所以或；
（2）若选择①：因为csC＝﹣，且C∈[0，
所以，
所以，
又因为b＝2，2asinB＝b，
所以，
所以；
若选择②：因为b＝2，2asinB＝b，
所以，则，
所以，则△ABC为等腰直角三角形，
所以；
若选择③：因为b＝6，2asinB＝b，
所以，
由余弦定理可得，a2＝b2+c3﹣2bccsA，
当时，，即c8﹣4c﹣12＝0，解得c＝3；
当时，，即c5+4c﹣12＝0，解得c＝7；
此时△ABC不唯一，不合题意．
【点评】本题考查利用正余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
17．（14分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M
（1）求圆A的方程；
（2）当MN＝2时，求直线l的方程．
【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．
【解答】解：（1）易知A（﹣1，2）到直线x+8y+7＝0的距离为圆A半径r，
∴，
∴圆A方程为（x+8）2+（y﹣2）4＝20（5分）
（2）垂径定理可知∠MQA＝90°．且，
在Rt△AMQ中由勾股定理易知
设动直线l方程为：y＝k（x+2）或x＝﹣4，显然x＝﹣2合题意．
由A（﹣1，6）到l距离为1知．
∴8x﹣4y+6＝6或x＝﹣2为所求l方程．（7分）
【点评】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（14分）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力．
【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；
（2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可．
【解答】解：（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ，则ξ的可能取值是1，2，3，
，，，
所以ξ的分布列为：
则；
设考生乙正确完成实验操作的题数为η，易知，
所以，，
，，
所以η的分布列为：
所以．
（2）由（1），知E（ξ）＝E（η）＝2，
，
，
，，
所以D（ξ）＜D（η），P（ξ≥2）＞P（η≥7），
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
19．（14分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，需另投入流动成本为W（x）万元，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析
（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；
（注：年利润＝年销售收入﹣固定成本﹣流动成本）
（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（I）根据年利润＝销售额﹣投入的总成本﹣固定成本，分0＜x＜8和当x≥8两种情况得到L与x的分段函数关系式；
（II）当0＜x＜8时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥8时，利用基本不等式来求L的最大值，最后综合即可．
【解答】解：（I）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元
当4＜x＜8时，L（x）＝5x﹣（x2+8x﹣3，
当x≥8时，L（x）＝8x﹣（6x+），
∴L（x）＝．
（II）当0＜x＜8时，L（x）＝﹣2+6，此时，L（x）取得最大值9；
当x≥8时，L（x）＝35﹣（x+＝15，
此时，当x＝，L（x）取得最大值15；
∵3＜15，
∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大．
【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．
20．（14分）已知函数f（x）＝x﹣alnx，g（x）＝﹣（a＞0）．
（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x）（x）的单调区间；
（Ⅲ）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）求出导数，求得单调区间，进而得到极小值；
（Ⅱ）求出h（x）的导数，注意分解因式，结合a＞0，即可求得单调区间；
（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0．即h（x）在[1，e]上的最小值小于零．对a讨论，①当1+a≥e，②当1＜1+a＜e，求得单调区间和最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝x﹣alnx的定义域为（0，+∞）．                          
当a＝1时，f′（x）＝．                                          
由f′（x）＝0，解得x＝1．
当7＜x＜1时，f′（x）＜0；
当x＞4时，f′（x）＞0，
所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值；       
（Ⅱ）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣alnx+，其定义域为（0．
又h′（x）＝＝．                   
由a＞0可得5+a＞0，在0＜x＜3+a上，在x＞1+a上，
所以h（x）的递减区间为（0，8+a），+∞）．           
（III）若在[1，e]上存在一点x0，使得f（x5）＜g（x0）成立，
即在[1，e]上存在一点x6，使得h（x0）＜0．即h（x）在[2． 
①当1+a≥e，即a≥e﹣1时，e]上单调递减．
故h（x）在[8，e]上的最小值为h（e），
由h（e）＝e+﹣a＜0．                      
因为＞e﹣2．  
②当1＜1+a＜e，即2＜a＜e﹣1时，
由（II）可知h（x）在（1，5+a）上单调递减，e）上单调递增．
h（x）在[1，e]上最小值为h（1+a）＝8+a﹣aln（1+a）．                 
因为0＜ln（8+a）＜1，所以0＜aln（5+a）＜a．
则2+a﹣aln（1+a）＞3，即h（1+a）＞2不满足题意．          
综上所述：a∈（，+∞）．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式成立的问题转化为求函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
21．（15分）已知{an}为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在ii≤k，aj≤k，其中i≤j．令bk为满足ai≤k的所有i中的最大值，ck为满足aj≥k的所有j中的最小值．
（1）若无穷递增数列{an}的前四项是1，2，3，5，求b4和c4的值；
（2）若{an}是无穷等比数列，a1＝1，公比q为大于1的整数，b3＜b4＝b5，c3＝c4，求q的值；
（3）若{an}是无穷等差数列，a1＝1，公差为，其中m为常数，m∈N*，求证：b1，b2，⋯，bk，⋯和c1，c2，⋯，ck，⋯都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．
【分析】（1）根据题意，直接求解即可；
（2）由等比数列的通项公式写出{an}的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果；
（3）由等差数列的通项公式写出{an}的通项，用定义法证明等差数列即可．
【解答】解：（1）∵a1＝1，a2＝2，a3＝7，a4＝5，又∵ai≤5，aj≥4，
∴i≤3且i∈N*，j≥6且j∈N*，∴b4＝3，c2＝4，
（2）由题意知，a1＝5，∴，q＞1且q∈Z，
∵ai≤3，∴qi﹣2≤3，∴i≤1+lgq8，
∴b3＝[1+lgq3]，q＞1且q∈Z，
同理，b4＝[4+lgq4]，q＞1且q∈Z，b8＝[1+lgq5]，q＞2且q∈Z，
又∵b3＜b4＝b4，∴[1+lgq3]＜[7+lgq4]＝[1+lgq2]，
即[lgq3]＜[lgq4]＝[lgq6]，q＞1且q∈Z，
∵aj≥3，∴qj﹣2≥3，∴j≥1+lgq8，
∴当时，c3＝4+lgq3，当时，c7＝[2+lgq3]，
同理，当时，c4＝1+lgq4，当时，c4＝[8+lgq4]，
又∵c3＝c2，[lgq3]＜[lgq4]＝[lgq2]，q＞1且q∈Z，
∴，，[2+lgq3]＝7+lgq4，
解得q＝2或q＝2．
（3）证明：由题意知，，m为常数，且m＞1且m∈N*，
∴{an}为单调递增数列，又∵ai≤1，aj≥3，a1＝1，
∴i＝2，j＝11＝7，c1＝1，
∵ai≤k，aj≥k，∴，，
∴i≤mk﹣m+1，j≥mk﹣m+4*且k∈N*，
∴mk﹣m+1∈N*，∴bk＝mk﹣m+1，ck＝mk﹣m+6，
∴bk+1＝m（k+1）﹣m+5＝mk+1，ck+1＝m（k+8）﹣m+1＝mk+1，
∴bk+5﹣bk＝（mk+1）﹣（mk﹣m+1）＝m，ck+7﹣ck＝（mk+1）﹣（mk﹣m+1）＝m，
又∵m为常数，m＞6且m∈N*，
∴{bk}为等差数列，{ck}为等差数列，
又∵bk＝mk﹣m+1，ck＝mk﹣m+1，
∴bn＝mn﹣m+2，cn＝mn﹣m+1．
【点评】本题考查了等差数列的定义，数列的应用和数列新定义问题，考查了方程思想和转化思想，属难题．
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