重庆市南开中学校2024届高三上学期第三次质量检测（11月）数学试题

这是一份重庆市南开中学校2024届高三上学期第三次质量检测（11月）数学试题，共8页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. 1D.
3. 已知向量，且，则（ ）
A. 4B. 6C. D.
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列的前项和为，公比为2，且成等差数列，则（ ）
A. 62B. 93C. 96D. 64
6. 已知定义在上的偶函数满足．则（ ）
A. 4545B. 4552C. 4553D. 4554
7. 若数列满足，则使得“对任意，都有”成立的一个充分条件是（ ）
A B. C. D.
8. 已知函数的部分图象如图所示，其中，点是图象的一个对称中心，点在左侧的图象上，是与相邻的最高点，直线经过点且与交于两点，已知直线的斜率，若的最小值为8，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
9. 已知非零向量，下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 与向量共线的单位向量是
C. “”是“与的夹角是锐角”的充分不必要条件
D. 若是平面的一组基底，则也能作为该平面的一组基底
10. 已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A.
B. 若，则最大值为
C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
D. 若是关于的方程的一个根，则
11. 已知中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 为锐角三角形
B.
C. 若，则的面积为
D. 若为的垂心，则
12. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则“”是“”的充要条件
C. 若不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是
D. 若不等式恰有2023个整数解，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知等差数列的前项和分别为，且，则______．
14. 已知中，为边上一个动点，若，则的最小值为______．
15. 已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，过作于，则的最大值等于______．
16. 如图，在锐角中，，点为外角平分线上一点，且平分，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 如图，正三棱锥中，为棱的三等分点．
（1）求异面直线夹角余弦值；
（2）求三棱锥的体积．
18. 已知数列满足（为常数）．
（1）若，求证：数列等比数列；
（2）若且为等比数列，求数列的前项和．
19. 在锐角中，已知角对边分别为，且．
（1）求角的值；
（2）若，求的取值范围．
20. 已知椭圆，其离心率，点分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上任意一点，且的最大值为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与交于两点，点是线段的中点，过点作直线的垂线交轴于点，若，求直线的方程．
21. 某校为了解高三年级1000名学生对“高中语文必背篇目”的掌握情况，举行了一次“古诗文”测试．现随机抽取100名学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．若测试成绩低于平均分，则视为“不合格”，若测试成绩排名进入前，则可获得“优秀奖”．
（1）请根据样本数据，估计全年级的平均分和获得“优秀奖”的划线成绩；
（2）甲、乙、丙三位同学因测试结果不理想，组成互助学习小组，通过挑战游戏的方式加强练习，挑战游戏规则如下：游戏共有3轮，每轮由一位同学出一道“背诵”或“默写”题，另外两位同学同时独立答题，若两位同学都答对或两位同学都答错，原出题的同学继续出题，游戏进入下一轮；若两位同学中仅有一位同学答对，则答对的同学出下一道题，另两位同学作答，游戏进入下一轮．每答对一道“默写”题得10分，每答对一道“背诵”题得5分，答错和出题均不得分，第一轮由甲开始出题．现已知出题时，甲、乙、丙出“默写”题的概率分别为，当答题时，甲、乙、丙答对“背诵”题和“默写”题的概率如下表所示：
①求第一轮结束时，乙的得分的分布列和期望；
②求第三轮仍由甲出题的概率．
22. 设函数．
（1）当时，求函数的最值；
（2）函数，其中为函数的导函数，试讨论函数在的零点个数．
重庆市高2024届高三第三次质量检测
数学试题
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】BC
【11题答案】
【答案】ACD
【12题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】12
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【19题答案】
【答案】（1）；
（2）.
【20题答案】
【答案】（1）
（2）或或或
【21题答案】
【答案】（1）平均分为74分，优秀奖的划线成绩为88分
（2）①分布列见解析，；②
【22题答案】
【答案】（1），
（2）3甲
乙
丙
背诵
默写